Парадокс Рассела относительно типа пропозиций

Учение о типах предварительно изложено во втором приложении к принципам
(§500). Предполагается, что для каждой пропозициональной функции

φ диапазон значений является

ассоциируется, т. е. с классом объектов, для которых задан

φ применяется для того, чтобы произвести
предложение; более того, именно диапазоны значений формируют типы. Однако есть
объекты, которые не являются диапазонами значимости; это просто индивиды, и они
образуют самый низкий тип. Следующий тип состоит из классов или диапазонов индивидов; затем
идут классы классов объектов самого низкого типа и так далее.

Как только иерархия принята, возникают новые трудности; в частности, если принять
, что предложения образуют тип (поскольку они являются единственными объектами, относительно которых можно
осмысленно утверждать, что они истинны или ложны). Это критический момент и приводит Рассела к
противоречию, которое явно включает в себя семантические понятия.

Во-первых, поскольку можно формировать типы пропозиций, существует больше
типов пропозиций, чем пропозиций, по аргументу Кантора. Но тогда есть
аргумент, который, если он звучит, очевидно, опровергает теорему Кантора: мы можем вводить типы
предложений в предложения, апеллируя к понятию логического произведения.

1

1

Первое обсуждение этой проблемы уже появляется в §349 из [20], где Рассел имеет дело со случаями
, в которых вывод теоремы Кантора явно ложен. В этом контексте он упоминает о критическом
парадоксальном внедрении классов в пропозиции, не имеющем решения:” я неохотно оставляю эту проблему
изобретательности читателя", С. 368.

260

А. Кантини

Действительно, пусть

m - тип пропозиций; к m мы можем связать пропозицию

м

что выражается в том, что " каждое предложение о

m является истинным” (следует рассматривать как возможное

бесконечное соединение или логическое произведение). Теперь, если

m и n (экстенсионально) различны

виды, пропозиции

м и

n должен рассматриваться как отдельный для Рассела, т. е.

Карта

м →

М является инъективным. Конечно, если принять экстенсиональную точку
зрения и, следовательно, идентифицировать эквивалентные предложения, то никакого противоречия не
возникнет. Но для Рассела никто не будет отождествлять два предложения, если они просто
логически эквивалентны; правильное равенство предложений должно быть гораздо более
тонким, чем логическая эквивалентность. Например, пропозиция " всякое
пропозицион -

m или утверждает, что каждый элемент m истинен, является истинным” не идентичен

с пропозицией " каждый элемент из

m истинно”, и все же эти два, безусловно, логически

эквивалент.

Конечно, конфликт можно легко перефразировать в форму явного парадокса:

если мы принимаем

{p | ∃m(m = p ∧ p /

∈ m)} = R как четко определенный тип,

2

у нас есть, кстати

injectivity of

,

Р ∈ Р ⇔

Р /

∈ Р,

отсюда и противоречие.

Итак, если мы придерживаемся инъективности

мы должны изменить некоторые основные положения, например,
отвергнуть предположение, что предложения образуют один тип и, следовательно, они должны
иметь различные типы, в то время как логические продукты должны иметь предложения того же типа
, что и факторы.

Это будет в конечном итоге основой решения 1908 года, но здесь Рассел опровергает

предложение столь же жесткое и искусственное; как читатель может убедиться из текста,

3

он все еще...

считает, что множество всех предложений является контрпримером к теореме Кантора.

На принципы математики, как своего ровесника Fregean второго тома
Grundgesetze, заключить с неразрешимой антиномии и Рассел заявляет, что “то, что
полное решение трудности может быть”, он не преуспел в раскрытии;
“но как это влияет на сами основы рассуждения”, он искренне благодарит “изучение
его до сведения всех студентов логики” ([20]: 528).

Формальный Прогноз

В литературе были попытки связать противоречие Рассела по
пропозициям с модальными парадоксами, см. [17]; совсем недавно Коккиарелла [5] показывает, как
разрешить противоречие в интенсиональных логиках, которые эквиконсистентны с НФУ,

2

Конечно же, в самом определении

R Квантор колеблется по типам предложений.

3

См. [20]: 527, сноска: "можно было бы усомниться в отношении предложений к их логической связи

продукты один-один или много один. Например, делает ли логическое произведение из

p и q и r отличаются от этого

от

pq и r? Ссылка на определение логического продукта (стр. 21) снимет это сомнение; ибо
два логических продукта, о которых идет речь, хотя и эквивалентны, но никоим образом не тождественны. Следовательно, существует
одно-единственное отношение всех диапазонов предложений к некоторым предложениям, которое прямо противоречит
теореме Кантора.”

О Расселовском парадоксе о Пропозициях и истине

261

Теория множеств Куайна с атомами. Существует также книга П. грима [12], которая целиком
посвящена смежным вопросам.

В следующем мы сначала покажем, что аргумент Рассела может быть естественным образом формализован
и разрешен в рамках теории операций, предложений и
истины, которая тесно связана с (классическими) структурами Фреге Акцеля [1]. Затем мы
рассмотрим вариант PT, доказывая, что само понятие пропозициональной функции определяет
пропозициональную функцию (это опровергается в PT).

ПТ будет содержать аксиомы комбинаторной логики с экстенсиональностью [2] и следующие из них:

абстрактные аксиомы для истин и предложений (

T, P соответственно). Мы предполагаем, что

язык содержит индивидуальные константы

˙

→, ˙

∧, ˙

, ∀, представляющие логические операции

→,∧,, ∀ и индивидуальные константы

=, ˙

Т,

P, представляющий основной предикат

символы

=, Т и Р. Мы неявно предполагаем подходящие аксиомы независимости среди

пунктирные символы (например,

= ˙

∨, ˙

икс = ˙

∨x, etc.), предоставление доказуемости формального

аналог уникального свойства читабельности.

Это тогда просто определить операцию

A → [A], который присваивает каждому

формула языка a терм [A] с теми же свободными переменными типа

А, который обозначает:

"пропозициональный объект", связанный с

Есть

4

Как обычно, так как мы можем определить лямбда

абстракция, мы можем определить абстракцию класса

{x / A} с λx.[Ля].

Мы также определяем:

P F (f) ⇔ (x x) (P (f x));

f: = ∀(λx(

→(f x) x));

ля ≡

е

b ⇔ (T A ↔ T b);

ля =

е

b ⇔ ∀ x (t (ax) ↔ t (bx));

f ⊆ P ⇔ ∀ x(t (f x) → p (x));

˙

∨ав:= ˙

(˙

∧(˙

ля)(˙

б));

∃f: = (λ (λx. f x)).

Что касается терминологии, то если

Предполагается, что P F (f), мы говорим, что f- пропозициональная функция;

иногда мы используем:

x ∈ f вместо T (f x).

Мы хотим подчеркнуть, что в самом начале своей фундаментальной работы
Рассел сталкивается с аргументами, которые, естественно, требуют рамок, в которых семантические
понятия, а также логическое понятие множества (как расширение пропозициональной функции) живут
на одном и том же уровне.

Определение 1. Мы перечисляем основные принципы для пропозиций и истины; мы существенно
расширяем принципы, подразумеваемые в определении структуры Фреге а-ля Акцель [1], с
несколькими дополнительными аксиомами.

P1

P ([x = y]) ∧ (T ([x = y]) ↔ x = y);

P2

T (a) → P (a);

4

Это идея Д. Скотта, см. [3].

262

А. Кантини

P3

P (a) → T ([P (a)]);

P4

P ([P (a)]) → P (a);

P5

P ([T (a)]) ↔ P (a);

P6

T ([T (a)]) ↔ T (a);

P7

P (a) → (T (a) → T (

один));

P8

T (

a) → T (a);

P9

P (

a) ↔ P (a);

P10

P (a) ∧ (T (a) → P (b)) → P (

→ав);

P11

P (

→ab) → (T (a) → P (b));

P12

P (

→ab) → (T (a) → T (b) → T (

→ав));

P13

T (

→ab) → (T (a) → T (b));

P14

P (a) ∧ P (b) ↔ P (

∧ав);

P15

T (

∧ab) ↔ T (a) ∧ T (b);

P16

xP xP (f x) ↔ P (∀f);

P17

T (∀f) ↔ ∀ x(t (f x)).

Замечание 1. (i) приведенные выше аксиомы подразумевают строгую интерпретацию (классически определенной)
дизъюнкции и экзистенциального квантора. В отличие от исходной структуры Акцеля, предполагается
, что имеет смысл использовать предикаты "быть предложением" и "быть
истинным" в качестве логических конструкторов на том же уровне, что и стандартные логические операторы.

ii) вопрос о том, “к каким видам объектов может быть справедливо отнесена истина”, является
спорным вопросом среди философов. Например, в Тарском подходе или в
работе Крипке [16] истина приписывается (объектам, представляющим) предложения, т. е.
элементам индуктивно определенной синтаксической категории. Напротив, мы подчеркиваем, что
здесь предложения образуют абстрактную коллекцию объектов, которые требуются только для
удовлетворения определенных широких условий замыкания; будучи членами комбинаторной структуры, они
могут быть свободно объединены для получения самореферентных побочных эффектов бесплатно. В общем
никакая индукция на пропозициях не предполагается (даже если это может быть верно в некоторой модели,
ср. §2). Кроме того, эта система не имеет отношения к (деликатному) вопросу определения
надлежащего интенсионального равенства для предложений. Здесь предложения наследуют нейтральное
отношение равенства, определяемое прикладным поведением в структуре основания.

О Расселовском парадоксе о Пропозициях и истине

263

Лемма 1 (PT). i) Если

P F (f) и f ⊆ P, то F -предложение такое, что

T (f) ↔ (∀x (T (f x) → T (x)).

Более того:

T (a) ↔ T (

(˙

один));

T ([T (a)]) ↔ T (

один);

T ([P (a)]) ↔ P (a);

∃xT ([P (x)]);

P (

∨ab) ↔ P (a) ∧ P (b);

P (a) ∧ P (b) → (T (

∨ab) ↔ T (a) ∨ T (b));

P (∃f) XP XP (f x);

xP xP (f x) → (T (∃f) ↔ ∃ XT (f x)).

(ii) Мы также имеем:

Ф =

g → f = g

P F (a) ∧ P F (b) ∧ a =

е

b → (a ≡

е

б)

(iii)

не является экстенсионально инъективным, т. е. существуют пропозициональные функции

а, б

такие что

ля ≡

е

b ∧ (a =

е

б).

Доказательство. Что касается (i), то мы проверяем только первое утверждение (используя аксиомы для

˙

→, ˙∀)

P F (f) ∧ f ⇒ P ⇒ P (f x) ∧ (T (f x) → P (x))

⇒ P (

→(f x) x)

⇒ P F (λx. ˙

→(f x) x)
⇒ P (f)
⇒ T (f) ↔ ∀ x(t (f x) → T (x))

(ii): примените приемистость

∀, ˙

→ и расширяемость для операций.

(iii): выбрать

a = {[K = K], [S = S]}

5

и

b = {[K = K]}; затем

ля ≡

е

б,

но

а и в-это экстенсионально различные пропозициональные функции).

Очевидно, что мы можем получить Тарскую T-схему:

Предложение 1. Если бы...

A является произвольной формулой, то PT доказывает:

P ([A]) → (T ([A]) ↔ A)

5

Конечно

{a, b} означает {x|x = a ∨ x = b}.

264

А. Кантини

Предложение 2 (приложение B Рассела, [20]). Термин

{x | ∃m(P F (m) ∧ m ⊆ P ∧ x /

∈ m x x =

м)}

не определяет пропозициональную функцию, доказуемо в PT.

Доказательство. Пусть...

R: = {x | ∃m (P F (m) ∧ m ⊆ P ∧ x /

∈ m x x =

м)}.

Предположим противоречием, что

P F (R). Затем, применяя условия замыкания P,

T и Лемма 1:

(∀x ∈ R) (P (x)).

Следовательно:

P (R).

Теперь у нас есть, для некоторых

м:

R ∈ R ⇒

Р =

m ∧ P F (m) ∧ m ⊆ P ∧

Р /

∈ м.

По предыдущей лемме (

is 1-1),

R = m и следовательно

Р /

∈ R. Но

Р /

∈ R подразумевает

R ∈ R, так как R-это пропозициональная функция предложений.

Лемма 2 (PT). Если бы...

P -это пропозициональная функция, тогда P F сама по себе является пропозициональной
функцией.

Доказательство. Если бы...

P является пропозициональной функцией, мы имеем:

⇒ x x. P ([P (x)])
⇒ ⇒ x. P ([P (f x)])
⇒ ⇒ f P ([∀x. P (f x)])
⇒ ⇒ f P ([P F (f)])

Теорема 1 (PT).

P F и P не являются пропозициональными функциями.

Доказательство. По предыдущей лемме достаточно показать, что

P F не является пропозициональным

функция.

Предполагать

P F-это пропозициональная функция. Аксиомы о соотношении Междур

и

∀ подразумевать:

∀x u u. P ([P (xu)]).

Следовательно, используя аксиому

P ([P (xu)]) → P (xu), мы делаем вывод:

∀x. P F (x),

О Расселовском парадоксе о Пропозициях и истине

265

против предыдущего предложения.

Альтернативный аргумент: если

λx.P F (x) является пропозициональной функцией, которую мы можем показать с помощью

импликация аксиомы о том, что

W: = {x | P F (x) ∧ (P F (x) →

(обман))}

является пропозициональной функцией. Тогда возникает стандартный парадокс Рассела.

Вывод состоит в том, что при относительно мягких гипотезах (понятие истины,
подчиняющееся классическим законам, наделенное абстрактным понятием предложения) парадокс
исчезает. Ясно, что никакая пропозициональная функция, разумно определяющая класс мощности
совокупности предложений, не может существовать в приведенной выше структуре; на том же самом уровне
совокупность предложений не может порождать четко определенную пропозициональную функцию.
Это решение совместимо с теорией неклассов Рассела: можно было бы предположить, что
Вселенная классов точно включает в себя те коллекции, которые представлены терминами
формы

{x | A(x)}, где A (x) определяет пропозициональную функцию, ср. типовое
построение §2.