Дедекинд реалы и порядок комплектности

Под дедекиндовым Реалом мы понимаем расположенный Дедекиндовый разрез в рациональных числах: то есть
непересекающуюся пару

(L, U) обитаемых открытых подмножеств Q, которые вырезаются расположенными так, как

любой

p ∈ L или q ∈ U для всех p, q ∈ Q с p < q. в частности, p < q всякий
раз, когда p ∈ L и q ∈ U. Нижний разрез L и верхний разрез U однозначно определяют друг друга,
так как один является открытой внутренней частью дополнения другого.

14

Излишне говорить, что каждый

рациональный

r отождествляется с веществом Дедекинда ({ p ∈ Q / p < r }, { q ∈ Q | r

14

Хотя это может показаться излишним, мы решили определить dedekind real как пару, а не просто
как нижний или верхний разрез. Среди наших причин для этого есть то, что пары лучше подходят, когда речь заходит
о рассмотрении обобщенных вещественных чисел, т. е. не обязательно расположенных дедекиндовых разрезов, как, например, в [13, 17].

242

P. Schuster and H. Schwichtenberg

Каждый нижний разрез

L (или верхний срез U) ограничен сверху (или снизу) и

вниз монотонно (или вверх монотонно): то есть для всех

p, q ∈ Q с p,

если

q ∈ L, то p ∈ L (или, если p ∈ U, то q U U). Более того, каждый Дедекинд настоящий

является аппроксимируемым: то есть для каждого рационального

ε > 0 существуют p ∈ L и q ∈ U с>
q-p Для последнего замечания и для второй части следующего мы
можем сослаться на ([22]: Глава 5, Раздел 5); первая часть является обычной для проверки.

Лемма 13.

а) если

L -открытое подмножество Q, а U обозначает открытую внутреннюю часть Q \ L, то (L, U)

разрез расположен тогда и только тогда, когда

L вниз монотонно и порядок расположен от

выше.

b) следующие пункты эквивалентны для пары:

(L, U) подмножеств Изq:

(я)

L обитаем, U населен, и (L, U) расположен разрез.

(второй)

L вниз монотонно, U вверх монотонно, и (L, U) является
аппроксимируемым.

Строгий частичный порядок вещественных чисел Дедекинда задается с помощью

(L, U)

только если...

L ∩ U населен. Так что≤,=, и = может быть введено—для дедекиндовых реалов

так же как и для любого другого вида реалов—как отрицание самого себя.

<, дизъюнкция < и
> и конъюнкция ≥ и ≤ соответственно. Однако для вещественных чисел Дедекинда все
эти отношения допускают более простое определение: а именно,

(L, U) ≤ (L, U) как L ⊂ L или,

эквивалентно, как

U ⊃ U; (L, U) = (L, U) как L = L или, что эквивалентно, как U = U;
(L, U) = (L, U) как L ∩ U или L ∩ U, будучи обитаемым. Ссылаясь на ([22]: Глава 5,
Раздел 5) для более подробной информации, поэтому для арифметики мы пишем

D для множества Дедекинда

реальности.

Позволь

Р

быть архимедовым упорядоченным и оценочным полем Хейтинга: то есть моделью
всех аксиом—на данный момент, за исключением полноты порядка,—которые были перечислены
мостами в [4].

15

(В соответствии с теоремой 5 выше, мы говорим, что любое такое

Р

является

порядок завершения всякий раз, когда утверждение этой теоремы справедливо для этого

Р

на месте

от

Р.) эти аксиомы—вместе с порядковой полнотой, конечно,—воплощают все
свойства вещественных чисел, такие как приближенный принцип расщепления (ср. Лемма 1),
которые обычно принимаются в конструктивной математике. В частности, любые такие

Р

содержит

Q как упорядоченное подполе, которое является плотным в том смысле, что для всех x, y ∈

Р

с

x < y существует q ∈ Q такое, что x < q

Как вещественные числа Дедекинда, так и вещественные числа, определенные ранее в этой статье, с помощью
модулированных последовательностей рациональных чисел Коши образуют совершенную модель этих аксиом.

Как мы видели выше и будем помнить ниже, это включает в себя полноту порядка.

15

Там и в других местах полнота порядка называется”(конструктивным) принципом наименьшей верхней границы".
См.также [18] для примера исследования реальных чисел как черных ящиков, которые, среди прочего, служат для обоснования
выбора этих аксиом.

Конструктивные решения непрерывных уравнений

243

Если

С ⊂

Р

обитаем, ограничен сверху, а порядок расположен сверху, то

ξ

С

= (Л

С

, У

С

) является ли Дедекинд реальным с L

С

и

U

С

как открытые интерьеры из

{ p ∈ Q | p }

и

{ q ∈ Q / s ≤ q для всех s ∈ S },

соответственно. В частности, мы можем назначить Дедекинд реальным

π (x) к каждому x ∈

Р

Автор:

установка

π (x) = ({ p ∈ Q / p < x }, { q ∈ Q | x

Затем

π (q) = q для всех рациональных чисел q, а π (x) < π (x) именно тогда, когда x

мы фактически определили инъективное отображение

π:

Р

→ D.

Иначе говоря,

Р

канонически встроен в

D, который перефразирует высказывание
о том, что существует по крайней мере столько же дедекиндовых реалов, сколько существует действительных чисел произвольного
вида, таких как

Р

. Вопрос, к которому мы сейчас обратимся, заключается в том, при каких обстоятельствах там есть

их ровно столько же, а точнее-с учетом канонического характера самого

π-когда π является a

переписка один на один.

В [19] это доказано,

16

не прибегая к какому-либо принципу выбора, что

Р

есть ли порядок

завершите тогда и только тогда, когда отображение

σ: D →

Р

существует то, что сохраняет

< и работает как

личность включена

Q. фактически, если ξ = (L, U) ∈ D, то L ⊂ Q-рассматривается как подмножество

от

Р

- обитаема, ограничена сверху, и порядок расположен сверху; откуда то

supremum of

L существует при условии, что

Р

это полный заказ. Теперь это рутина, чтобы проверить

тот

σ: D →

Р

, ξ = (L, U) → sup L

является ли отображение с

σ (ξ) < σ (ξ) именно тогда, когда ξ

q ∈ Q. наоборот, если нам дано такое отображение σ: D →

Р

и если бы...

С ⊂

Р

является

Обитаемый, ограниченный сверху, и порядок, расположенный сверху, тогда

σ (ξ

С

)- с ξ

С

как

определенный ранее-это супремум из

С.

Как следствие, вещественные числа Дедекинда являются порядковыми полными: сопоставление идентификаторов на

D явно соответствует спецификациям такого σ. Более того, если

Р

является ли заказ полным и

таким образом

σ: D →

Р

смогите быть определено как выше, оно автоматически двухсторонний обратный

π, так что если (и, конечно, только если)

Р

является ли заказ полным, то

Р

является ли порядок изоморфным

к Дедекиндским реалам с

Q будучи инвариантным относительно изоморфизма. Так Д может

правомерно охарактеризовать как приказ о завершении

Q поскольку утверждение
теоремы 5 является правильным способом выражения полноты порядка - что, безусловно, является
с конструктивной точки зрения.

Тролстра и Ван Дейлен заявили в ([22]: Глава 5, 5.12.iii) что, грубо говоря,
D является—вплоть до изоморфизма порядка—единственным упорядоченным расширением Q, в котором
каждый нижний срез рациональных чисел обладает наименьшей верхней границей. Эта характеристика
D оказывается эквивалентной той, которую мы дали выше в качестве полноты порядка. На
самом деле первое следует из второго, потому что каждый нижний разрез удовлетворяет гипотезам
полноты порядка: согласно первой части леммы 13, он обитаем, ограничен

16

Это восходит к идее Фреда Ричмана (личное общение с первым автором).

244

P. Schuster and H. Schwichtenberg

сверху, и порядок, расположенный сверху. Для обратного вывода достаточно
заметить, что если

Л

С

назначается на

С ⊂

Р

как и раньше, а если откажусь

Л

С

∈

Р

существует, значит оно есть

кроме того, супремум

С.

В ретроспективе мы достигли следующей характеристики.

Теорема 14. Все перечисленные ниже элементы эквивалентны:

(ля)

Р

это полный заказ.

b) каждый нижний разрез

Q имеет супремум в

Р

.

c) существует картографирование

σ: D →

Р

что и сохраняет

< и каждый рационал.

(d) каноническое отображение

π:

Р

→ D является биективным.

(ми)

Р

является ли порядок изоморфным

Д.

С учетом теоремы 5 мы имеем следующее

Следствие 15.

R -порядок, изоморфный D.

Обратите внимание, что это не требует Счетного выбора; мы подчеркивали присутствие
свидетелей повсюду.

Рекомендации

[1]

Aczel, Peter and Michael Rathjen: 2002. Заметки о конструктивной теории множеств. Черновой вариант

расширенная и пересмотренная версия препринта доступна в Институте Миттаг-Леффлера.

[2]

Бишоп, Errett: 1967. Основы конструктивного анализа. Нью-Йорк: Макгро-Хилл.

[3]

Бишоп, Эррет и Дуглас Бриджес: 1985 год. Конструктивный Анализ. Grundlehren der
mathematischen Wissenschaften 279. Берлин: Спрингер.

[4]

Bridges, Douglas: 1999. Конструктивная математика: основа для вычислимого
анализа. Теоретически. Вычисл. Sci. 219: 95–109.

[5]

Бриджес, Дуглас и Фред Ричман: 1987. Разновидности конструктивной математики.
Cambridge: Cambridge University Press.

[6]

Бриджес, Дуглас, Фред Ричман и Питер Шустер: 2000. Слабый счетный
принцип выбора. Proc. Амеры. Математика. Соц. 128: 2749–2752.

[7]

Гейверс, Герман, Рэнди Поллак, Фрик Видейк и Ян Цваненбург: июнь 2000 года.
Развитие теории приводит к фундаментальной теореме алгебры. Рукопись
(генерируется автоматически).

[8]

Исихара, Хадзиме и Питер Шустер: 2002. Конструктивная теорема о равномерной непрерывности.
- Кварта. J. Математика. 53: 185–193.

Конструктивные решения непрерывных уравнений

245

[9]

Kneser, Martin: 1981. Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den
Fundamentalsatz der Algebra. Математика. Z. 177: 285-287.

[10] Mines, Ray, Fred Richman, and wim Ruitenburg: 1987. Курс по конструктивному Alge-

- бюстгальтер. Берлин: Спрингер.

[11] Palmgren, Erik: 2003. Конструктивные доработки упорядоченных множеств, групп и полей.

Препринт, Упсальский Университет.

[12] Paulin-Mohring, Christine and Benjamin Werner: 1993. Синтез программ мл в

система Coq. J. Символическое Вычисление 11: 1-34.

[13] Richman, Fred: 1998. Обобщенные вещественные числа в конструктивной математике. Индаг.

Математика. (N. S.) 9: 595-606.

[14] Richman, Fred: 2000. Фундаментальная теорема алгебры: конструктивное развитие

без выбора. Pacific J. Математика. 196: 213–230.

[15] Richman, Fred: 2001. Конструктивная математика без выбора. В [20]: 199-205.

[16] Ruitenburg, Willem B. G.: 1991. Построение корней многочленов над комплексом

числа. In: A. M. Cohen (ed.), Вычислительные аспекты представлений групп Ли
и связанные с ними темы. Процесс. 1990 семинар по компьютерной алгебре, тракт CWI 84, 107-128,

Amsterdam: Centrum voor Wiskunde en Informatica.

[17] Schuster, Peter: 2000. Конструктивный взгляд на обобщенные реалы Коши. Математика. Логические

Кварта. 46: 125–134.

[18] Schuster, Peter: 2002. Реальные числа в виде черных ящиков. Новая Зеландия J. Математика. 31: 189–202.

[19] Schuster, Peter: 2003. Уникальное существование, приближенные решения и счетный выбор.

Теоретически. Вычисл. Sci. 305: 433-455.

[20] Шустер, Петер, Ульрих Бергер и Хорст Оссвальд (ред.): 2001. Воссоединение антиподов—

Конструктивные и нестандартные взгляды на континуум. Синтетическая библиотека vol. 306.
Dordrecht: Kluwer.

[21] Taschner, Rudolf: 1991, 1992, 1993. Lehrgang der konstruktiven Mathematik. Drei

Bände. Wien: Manz and Hölder-Pichler-Tempsky; 2nd ed. из ВОЛС. 1,2, ibid., 1995.

[22] Troelstra, Anne S. И Dirk van Dalen: 1988. Конструктивизм в математике. вступление-

duction, Vol. 121, 123. Занятия по логике и основам математики.
Амстердам: Северная Голландия.

Mathematisches Institut
Universität München
Theresienstraße 39
80333 München
Germany

E-mail: [email protected]

[email protected]

Парадокс Рассела в последовательных фрагментах
Фреге Grundgesetze der Arithmetik

Kai F. Wehmeier

Абстрактный. Мы предоставляем обзор непротиворечивых фрагментов теории Фреге Grundgesetze

der Arithmetik, которые возникают путем ограничения схемы понимания второго порядка. Мы обсуждаем
, как такие теории избегают непоследовательности и показывают, как рассуждения, лежащие в основе парадокса Рассела
, могут быть использованы в исследовании этих фрагментов.

Введение.

16 июня 1902 года Рассел сообщает "свой" парадокс Фреге:

Позволь

w-предикат бытия предикатом, который не может быть предикатен

само собой. Может ли один предикат

ну и что из этого? Из любого ответа следует его

противоположный. Поэтому нужно сделать вывод, что

w-это не предикат. Точно
так же нет ни одного класса (в целом) из тех классов, которые как целое не
принадлежат самим себе. Из этого я делаю вывод, что при определенных обстоятельствах
определенное множество не образует целого.

1

В постскриптуме к этому письму Рассел использует запись Пеано, чтобы дать первое символическое
выражение парадокса:

w = cls ∩ x

(x ∼ x). ⊃: w w.=.ш - Ш.

2

Можно было бы предположить, что Фреге не очень впечатлила версия
предсказуемости антиномии, которую первым упоминает Рассел (которая в основном является
парадоксом гетерологичности), поскольку она устраняется, в пределах Begriffsschrift, расслоением функций
на уровни. Классовая версия противоречия, однако, в настоящее время известна как

1

Cf. [14]: 211 (английский перевод мой): 'Sei

w das Prädicat, ein Prädicat zu sein welches von

sich selbst nicht prädicirt werden kann. Kann man

w von sich selbst prädiciren? Aus jeder Antwort folgt

das Gegentheil. Deshalb muss man schliessen dass

w kein Prädicat ist. Ebenso giebt es keine Klasse (als
Ganzes) derjenigen Klassen die als Ganze sich selber nicht angehören. Daraus schliesse ich dass unter
gewissen Umständen eine definierbare Menge kein Ganzes bildet.’

2

См. [14]: 212. В современной нотации формула Рассела звучит следующим образом::

w = {x: x ∈ x} → (w ∈ w ↔ w ∈ w).

248

K. F. Wehmeier

Парадокс Рассела Фреге сразу же признал реконструируемым в рамках
теории Грундгезетце. Появление этого противоречия он расценил как серьезный
удар по работе всей своей жизни—его ужас отчетливо ощущается между строк
ответа Расселу, написанного 22 июня 1902 года:

Ваше открытие противоречия крайне удивило и, я почти уверен

склонен сказать, испугал меня, так как фундамент, на котором я полагал
арифметику строить, тем самым начинает раскачиваться. Таким образом, представляется, что
превращение общности тождества в тождество
ценностей (§9 моего Grundgesetze) не всегда допускается, что мой закон

V (§20 стр. 36) является ложным и что моих объяснений в §31 недостаточно для того, чтобы

обеспечьте мои комбинации знаков обозначение во всех случаях.

3

Из этих замечаний ясно, что сам Фреге считал свой Grundgesetz V
источником антиномии. Это очень разумный диагноз, потому что основной закон V
играет заметную роль в выведении противоречия, как мы вскоре увидим. Большинство
философов последовали за Фреге в этой оценке. Однако Майкл Думметт указал
, что другой спорный принцип играет не менее важную роль в
возникновении этого противоречия, а именно:, Правило подстановки Фреге для "свободных"
переменных второго порядка ([12]: §48, подраздел 9, 62-63). Такое правило эквивалентно, при определенных условиях
условия, к полной (импредикативной) схеме понимания второго порядка, и именно
эта импредикативность, которую Думмет берет на себя ответственность за противоречие.

4

Основная
часть данной статьи будет посвящена проблеме ослабления схемы понимания
таким образом, чтобы получить непротиворечивый фрагмент

5

из оригинальной теории Фреге.

6

Чтобы подготовить почву, давайте начнем с рассмотрения версии парадокса Рассела, которую
Фреге обсуждает сначала в Nachwort до второго тома Grundgesetze ([13]:
256-257) (как реконструируется в терминах аксиоматической логики второго порядка). Напомним, что,
по мнению Фреге, существует, связанный с любой сущностью второго порядка (понятие)

F,
некоторая сущность первого порядка (объект), расширение понятия (ход-значения, значение-

3

Cf. [14]: 213 (the English translation is mine): ‘Ihre Entdeckung des Widerspruchs hat mich auf’s
Höchste überrascht und, fast möchte ich sagen, bestürzt, weil dadurch der Grund, auf dem ich die Arithmetik
sich aufzubauen dachte, in’s Wanken geräth. Es scheint danach, dass die Umwandlung der Allgemeinheit
einer Gleichheit in eine Werthverlaufsgleichheit (§9 meiner Grundgesetze) nicht immer erlaubt ist, dass
mein Gesetz V (§20 S. 36) falsch ist und dass meine Ausführungen im §31 nicht genügen, in allen Fällen
meinen Zeichenverbindungen eine Bedeutung zu sichern.’

4

Cf. [9]: Глава 17 и, для критического обсуждения, [4].

5

Фактически мы будем работать не с термином логика исходной теории Фреге, а с реконструкциями
этой теории в терминах логики предикатов второго порядка. Это отклонение от установки Фреге казалось
бы безвредным в отношении источника антиномии Рассела.

6

Джон Берджесс в своей будущей монографии [7] обсуждает этот подход (а также другие) к фиксации
логики Фреге гораздо более подробно, чем это возможно здесь. Много интересной и важной работы было
сделано по последовательным модификациям систем Фреге в Grundlagen и Grundgesetze, например, Г. Булосом,
К. Файном, Р. Хейлом, Р. Хеком, С. Райтом и Э. Залтой; но поскольку их системы не являются фрагментами strictu
sensu теории Grundgesetze, их обсуждение выходит за рамки настоящей заметки. Заинтересованному
читателю следует ознакомиться, например, с собранием статей в [8], [11] и [1].

Последовательные фрагменты Фреге Grundgesetze

249

диапазон)

(ХХ) Ф (Х). Эти расширения регулируются Grundgesetz V:

∀Ф ∀г (ˆx)Ф (Х) = (ˆy)г(г) ↔ ∀з(ф (г) ↔ г(з)).

То есть для любых понятий

F и G, их расширения (ˆx)F (x) и (ˆy)G(y) совпадают

если и только если те же самые объекты попадают под

F как подпадают под G. Таким образом, основной закон V является

по существу, аксиома экстенсиональности для диапазонов значений.

Парадокс Рассела теперь возникает следующим образом: рассмотрим понятие

R такой, что объект
a попадает под R тогда и только тогда, когда a-это диапазон значений некоторого понятия F, под которое
a не попадает. При (импредикативном) понимании второго порядка такая концепция R
существует:

∃R ∀a R (a) ↔ ∃ F (a = (ˆz) f (Z) ∧ F (A)).

А теперь давай

r-расширение R, r = (ˆy) R(y). Предположим, что r попадает под R. путем

определение понятия

R, r является тогда расширением некоторого F таким, что r не подпадает под F,

т.е.,

∃F (r = (ˆz)F (z) ∧ F (r)). Итак (ˆz)F (z) = r = (ˆy)R (y). Использование основного закона V,

мы находим, что

∀x (F(x) ↔ R (x)), то есть F и R являются коэкстенсиональными. Следовательно, так как r

не попадает под действие

F, у нас также есть R(r). Отмена предположения, что R падает

под

R, мы показали, что R(r) → R(r), следовательно, R(r). По определению R,

это означает, что для любой концепции

F, если r является расширением F, то r попадает под F,

т.е.,

∀F (r = (ˆz)f (z) → F (r)). Специализируясь на универсально количественном втором-

переменная порядка

F к R (R находится в области второго порядка квантификации по приведенному выше

пример схемы понимания), и отмечая, что

r-это расширение R, мы

получать

Р(р). Так что R(r) и R (r)— вуаля противоречие.

Давайте теперь введем символ для отношения членства следующим образом

определение:

x ∈ y ↔ ∀ f (y = (ˆz)f (Z) → f (x)),

то есть,

x является членом y тогда и только тогда, когда y является расширением некоторого понятия
F, x подпадает под F. Затем мы можем сразу же получить более известную классовую версию
парадокса Рассела из приведенного выше вывода: условие Рассела

X transforms X преобразования,

при устранении определяемого понятия, в

∃F (x = (zz)F (z) ∧ F (x)), то есть в
x попадает под понятие R, введенное выше, и класс Рассела {y: y ∈ y}
просто

r, расширение R.

7

Как хорошо известно, парадокс Рассела тесно связан с теоремой Кантора. На самом деле,

Сам Рассел обнаружил свой парадокс через анализ теоремы Кантора.

8

Теорема Кантора гласит, что не существует биекции между сущностями первого и
второго порядка (или, в более привычных терминах, между членами данного множества

А также

7

Сам Фреге обсуждает (вариант) этой версии парадокса в Nachwort ([13]: 257),
используя свой аналог отношения принадлежности, введенного в §34 (который на самом деле,
в силу специфики системы Фреге, является прикладной функцией). Мы говорим здесь о "варианте", потому что Фреге определяет отношение
принадлежности

x ∈ y как ∃F (y = (zz)F (z) ∧ F (x)) (это определение немного более естественно, чем одно

использованный выше: если

y не является диапазоном значений, то, согласно последнему определению, он не имеет членов, в то время как

в соответствии с тем, что мы дали, все будет тогда членом

год).

8

Cf. Письмо Рассела к Фреге от 24 июня, 1902 ([14]: 215-6).

250

K. F. Wehmeier

подмножества из

Ля). Обычное доказательство этого результата показывает, более конкретно, что нет
никакой карты из вселенной первого - второго порядка. В качестве альтернативы, чтобы доказать
теорему Кантора, можно показать, что нет отображения 1-1 из вселенной второго - в вселенную
первого порядка. Именно это альтернативное доказательство обнаруживает связь с
парадоксом Рассела: предположим, что

G → G

∗

является функцией 1-1 от второго-в первый-порядок

домен. Теперь рассмотрим концепцию

C со следующим свойством понимания:

C (x) ↔ ∃ f (x = F

∗

∧ F (x)).

С

∗

является сущностью первого порядка, поэтому мы можем спросить, является ли она сущностью первого порядка.

С

∗

проваливается...

С. предположим, что это так.

Тогда по определению:

C, существует понятие F такое, что C

∗

= Ф

∗

и

F (C

∗

). Как

G → G

∗

is 1-1,

F и C - это одно и то же, и поэтому C(C

∗

). Отмена предположения

тот

C(C

∗

), получаем C(C

∗

) → C(C

∗

), т. е. C(C

∗

). Опять же по определению с,

это означает, что

∀F (C

∗

= Ф

∗

→ F (C

∗

)), из которого C(C

∗

) непосредственно следовать.

Как

C(C

∗

) и с(с

∗

) не может быть одновременно верно, мы должны заключить, что G → G

∗

это не 1-1.
Должно быть ясно, что в этой версии теорема Кантора в основном является параграфом Рассела-

докс: чтение

(ХХ) G(х) вместо G

∗

и отмечая, что основной закон V утверждает эту функцию

чтобы быть 1-1, доказательства буквально идентичны.

9

Тем более удивительно, что Фреге не смог
сразу понять, что его функция диапазона значений приведет к непоследовательности, поскольку он
явно знал теорему Кантора: в §164 второго тома
Grundgesetze он упоминает, что существует больше классов натуральных чисел, чем натуральных чисел,
не приписывая это понимание Кантору:

Теперь бесконечное число, которое мы назвали бесконечным, принадлежит к
понятию конечного числа; но этой бесконечности еще недостаточно. Если мы называем
расширение понятия, которое подчинено понятию конечное число
, классом конечных чисел, то бесконечное число, которое больше
бесконечного, принадлежит классу понятий конечных чисел; т. е. понятие
конечное число может быть отображено в класс понятий конечных чисел, но
не наоборот последнее в первое.

10

Остается загадкой, почему Фреге не увидел последствий результата Кантора для своей
собственной логической системы. Во всяком случае, Рассел это сделал, и теперь мы обсудим, как избежать
антиномии, ослабив схему понимания второго порядка.

9

Cf. [5] для наглядного обсуждения этих вопросов.

10

Cf. [13]: 161 (the translation is mine): ‘Nun kommt ja dem Begriffe endliche Anzahl eine unendliche
Anzahl zu, die wir Endlos genannt haben; aber diese Unendlichkeit genügt noch nicht. Nennen wir den

Umfang eines Begriffes, der dem Begriffe endliche Anzahl untergeordnet ist, eine Klasse endlicher
Anzahlen, so kommt dem Begriffe Klasse endlicher Anzahlen eine unendliche Anzahl zu, die grösser als
Endlos ist; d.h. es lässt sich der Begriff endliche Anzahl abbilden in den Begriff Klasse endlicher Anzahlen,
aber nicht umgekehrt dieser in jenen."Кажется, стоит отметить, что Фреге здесь отклоняется от терминологии
, которую он ввел в том I: мы можем четко сопоставить наборы натуральных чисел с натуральными числами-путем
отображение каждого набора в 0, скажем. Но нет никакой карты 1-1 из наборов чисел в числа, поэтому Фреге
предположительно означает "карта 1-1 в", когда он говорит "карта в". Или, возможно, предложение vice versa предназначено для того, чтобы
означать, что всякий раз, когда отношение отображает натуральные числа в наборы натуральных чисел, обратное
этому отношению не будет отображать наборы в числа. Этот пункт кажется маргинальным, но небрежность Фреге
несколько удивляет.

Последовательные фрагменты Фреге Grundgesetze

251

Ограничение схемы понимания

Мы видели в неофициальном выводе антиномии Рассела выше, что определенный пример

схема понимания играет ключевую роль в доказательстве, а именно.,

∃R ∀x R (x) ↔ ∃ f (x = (ˆz)f (Z) ∧ f (x)).

Кажется естественным спросить, что происходит, когда понимание недоступно, или доступно
только для формул сложности ниже той, что из

∃F (x = (zz)F (z) ∧ F (x)). Петер
Шредер-Хейстер [18] предположил, что при полном отсутствии понимания,
то есть в фрагменте первого порядка теории Фреге, антиномия больше не будет
выводимой. Позднее это было подтверждено Теренсом Парсонсом [17]. Мы рассмотрим эту
систему в подразделе 2.1. Доказательство непротиворечивости Парсонса было затем распространено Ричардом
Хеком [16] на предикативный фрагмент теории Фреге, где формулы понимания
не должны содержать никаких кванторов второго порядка. Мы обсудим теорию Хека,
а некоторые замечания по этому поводу сделаны в [19], в подразделе 2.2. В дальнейшем
мы кратко обратимся к обсуждению следующих вопросов:

1
1

- CA фрагмент теории Фреге, который был
недавно доказан последовательным Фернандо Феррейра и настоящим автором [10]. В заключительном
подразделе 2.4 мы рассматриваем родственную, хотя и более слабую теорию, которая оказалась непротиворечивой и
обсуждалась в [19], и противопоставляем ее лингвистическую установку тем теориям, которые обсуждались
ранее.

Фрагмент Первого Порядка

Мы будем следовать Хеку [16], а не Парсонсу [17] в изложении фрагмента первого порядка-

мент. Это делается из соображений удобства, поскольку Парсонс добросовестно работает с
логикой Фрегеанского термина, тогда как системы, которые будут рассмотрены позже, все основаны на
логике предикатов. В теории первого порядка мы, очевидно, не можем сформулировать основной закон V с
помощью универсальной квантификации второго порядка, как это было сделано выше. Таким образом, мы рассматриваем
здесь вместо схемы V, то есть все экземпляры схемы

(XX)φ (x) = (ˆy) ψ (y) z z(φ(Z) ↔ ψ(Z)),

где

φ и ψ-любые формулы языка фрагмента первого порядка L

1

. Срок

и формулы из

Л

1

генерируются следующим индуктивным определением:

1. Каждая индивидуальная переменная является термином.

2. Если

s и t-это термины, тогда s = t-формула.

3. Булевы комбинации формул являются формулами.

4. Если

x-индивидуальная переменная и φ (x) - формула, тогда ∀xφ (x) - формула

и

(ˆx)φ (x)-это термин (диапазон значений или термин VR, как мы будем говорить).

252

K. F. Wehmeier

Парсонс строит структуру для этого языка, удовлетворяющую всем экземплярам схемы V следующим
образом. Бери

ω как область квантификации. Назначьте закрытые термины VR (где

параметры от

ω разрешены) натуральные числа в виде рангов согласно правилу: если
φ (x) не содержит VR-термов, то ранг(ˆx)φ (x) равен 0; если он содержит VR-термы,
и максимальный ранг VR-Терма, встречающийся в нем, равен

n, то ранг (ˆx) φ(x) равен
n + 1. В пределах заданного ранга упорядочите замкнутые члены VR произвольно в ω-последовательность.
Перегородка

ω (или некоторое бесконечное подмножество его) в бесконечное множество бесконечных множеств кандидатов

U

я

(

я... Теперь назначьте значения от

∞
i=0

U

я

к замкнутым терминам VR рекурсией

на

ω

2

. Предположим, что вы лечите

M-й член VR ранга n, (ˆx)φ (x), скажем. Все закрыто

экземпляры терминов VR, происходящих в

φ (x) имеют ранг ниже n и, таким образом, уже имеют

были присвоены значения. Поэтому определяется, является ли для некоторого термина VR

(ХХ)х...)

лечение на каком-то более раннем этапе у нас есть

∀x (φ (x) ↔ ψ(x)). Если это так, то мы назначаем

Для

(ˆx)φ (x) то, что было назначено(ˆx)ψ (x) раньше. В противном случае, мы назначаем его

первый элемент из

U

н

еще не используется. Таким образом, мы четко получаем модель полного

схема V.

11

Отметим попутно, что Джон Берджесс [6] недавно дал более конструктивное
доказательство результата Парсонса. Кроме того, Уоррен Голдфарб [15] показал, что
фрагмент первого порядка рекурсивно неразрешим, поэтому он не является полностью тривиальным математически
(хотя неизвестно, является ли теория по существу неразрешимой). Однако
представляется маловероятным, что в рамках этого фрагмента может быть разработана какая-либо интересная математика
.

Предикативный Фрагмент

Язык

Л

2

предикативного фрагмента Хека H результаты из Парсонса’

Л

1

путем добавления

переменные и кванторы второго порядка. То есть, термины и формулы:

Л

2

являются

генерируется с помощью приведенных выше условий для

Л

1

, дополненный пунктом о строительстве

атомные формулы

F (t) от переменных второго порядка F и членов t, а также замыкание при
универсальной квантификации второго порядка. Схема V, как и раньше, где, конечно
же, экземпляры теперь формируются путем вставки произвольного

Л

2

- формулы для

φ и ψ. В дополнение
к схеме V, H имеет в качестве аксиом все экземпляры предикативного понимания, то есть все
экземпляры предикативного понимания.

∃F ∀x (F (x) ↔ φ (x)),

где

φ не содержит квантора второго порядка. Дедуктивный аппарат Н может быть
принят как двухсортированная логика первого порядка, где объекты и понятия представляют
собой разновидности.

11

Анонимный рефери спросил, имеет ли фрагмент первого порядка конечные модели. Но это не так.:

Любая модель должна содержать значения для

(XX) (x = x) и (XX) (x = x); поскольку ни одна модель не пуста, по схеме

V, эти два термина VR должны обозначать различные объекты в любой модели. Зато,

(XY) (y = (XX) (x = x)),

(ˆy) (y = (ˆx) (x = x)) и(ˆx) (x = x) должны иметь различные значения по схеме V и т. д.

Последовательные фрагменты Фреге Grundgesetze

253

Мы начнем с построения модели для фрагмента первого порядка H по
процедуре Парсонса, присваивая значения замкнутым терминам VR, не содержащим переменных второго порядка (но
, возможно, параметры из

ω), где мы позаботимся о том, чтобы выбрать U

я

таким образом, что

∞
i=0

U

я

имеет бесконечное дополнение. Мы расширяем полученную структуру первого порядка
до структуры второго порядка, позволяя квантору второго порядка варьироваться по
определяемым подмножествам первого порядка

ω. Теперь мы присваиваем значения тем закрытым терминам VR из L

2

которые содержат параметры второго порядка, но не кванторы второго порядка, просто
расширяя параметры до их определений первого порядка и выбирая значение,
назначенное соответствующему термину VR первого порядка. На этом этапе мы предусмотрели
достаточно для того, чтобы предикативная схема понимания была действительной, как это легко
увидеть. Остается позаботиться о тех терминах VR,которые содержат, помимо возможных параметров первого и
второго порядка, кванторы второго порядка. Это можно сделать более или менее так же, как
в оригинальной процедуре Парсонса, используя бесконечное дополнение из

∞
i=0

U

я

как значения
для правильно импредикативных терминов VR. Затем легко проверить, что все экземпляры
schema V удерживаются.

Как было отмечено в работе [19], теория H обладает любопытным свойством: она доказывает существование

объектов, которые не являются диапазонами значений. То есть, приговор

∃x ∀G x = (ˆy)G (y) является a

теорема о H. Есть даже такой термин:

Л

2

свидетельствуя об этом экзистенциальном предложении, а именно:,

срок

r для класса Рассела, введенного выше: (ˆz)(∃F (z = (ˆv)F (v) ∧ F (z)).

Другими словами, существует диапазон значений термина

Л

2

из которых H доказывает, что он не
обозначает диапазон значений. Доказательство является простым и не использует схему понимания
вообще:

Поспорите в ч. Как и прежде, пусть

R (x) - формула ∃F (x = (ˆv) F (v) ∧ F (x)).

Теперь предположим

R (r), то есть ∃F (r = (ˆv) F (v) ∧ F (r)). Возьмем такое F. Поскольку
(ˆv) F (v) = r = (ˆz) R(z), с помощью соответствующего экземпляра схемы V, ∀x(F (x) ↔ R(x)).
Итак, с тех пор

F (r), у нас также есть R(r). Как и выше, мы отменяем предположение и

заключать

R (r) → R(r), т. е., R (r). Это означает ∀F (r = (ˆv)f (v) → F (r)). Сейчас

предположим, что для некоторого второго порядка

G, r = (ˆy)G (y). Отсюда следует, что G(r) имеет место; но путем

схема V, из которой также следует, что

∀x(R(x) ↔ G(x)), а следовательно, и r (r), противоречие. Так

предположение должно быть ложным, и мы это доказали

∀G r = (ˆy)G (y). Используя
другие антиномии Расселла, можно действительно обеспечить любое конечное число терминов, все из
которых не могут обозначать диапазоны значений; см. [19].

12

Мы вернемся к этим вопросам в разделе 2.4. Пока же отметим, что, как показал Хек
[16], арифметика Робинсона Q может быть интерпретирована в H, и поэтому теория
по существу неразрешима. Но неясно, хотя и маловероятно, можно ли развить гораздо больше
арифметики в рамках предикативного фрагмента. Теперь мы кратко обратимся к
расширению предикативного фрагмента Хека, согласованность которого была поставлена под сомнение в [16],
а именно., этот

1
1

- CA фрагмент.

12

Если идентифицировать диапазоны значений с логическими объектами, как я предлагаю в [19], эти результаты можно
переформулировать, сказав, что H доказывает существование любого конечного числа нелогических объектов. Это кажется
правильным, поскольку H идет; однако Берджесс [7] указывает, что, если перейти к разветвленному предикативному
фрагменту, объекты, которые не являются диапазонами значений любого концепта первого уровня, вполне могут быть диапазонами значений концептов
более высокого уровня. Аналогичные наблюдения относятся и к теориям, рассмотренным ниже.)

254

K. F. Wehmeier

То

1
1

- Фрагмент CA

Проверка доказательства антиномии Рассела показывает, что экземпляр com-

используемая хватка имеет сложность

1

1

, т. е. формула понимания имеет вид
∃F φ (F), где φ-предикатив. В качестве альтернативы можно было бы использовать
формулу понимания сложности

1
1

(то есть, о форме

∀F φ (F) с предикативом φ), а именно., этот

вариант

∀F (x = (zz) F (z) → F (x)) концепции Рассела, чтобы генерировать противоречие-

процесс. Отсюда и то и другое

1

1

- и

1
1

- понимание несовместимо со схемой V (фактически,
любая из этих схем подразумевает другую). Это привело Хека [16] к вопросу о том, является ли
схема

1
1

- понимание было бы также несовместимо с основным зако