Полнота и итерация в современной теории множеств

Sy D. Friedman

Абстрактный. В результате работы в современной теории множеств, получилась очень привлекательная картина мироздания

из множества начинает складываться картина, основанная на существовании внутренних моделей, удовлетворяющих
большим кардинальным аксиомам. В данной статье я приведу доводы в пользу правильности этой картины, используя
принципы полноты и повторяемости.

Теория множеств вошла в современную эпоху благодаря работам Геделя [8] и Коэна [2]. Эта
работа предоставила теоретикам множеств необходимый инструментарий для анализа большого числа
математических задач, которые неразрешимы с использованием только традиционной системы аксиом ZFC
для теории множеств. Благодаря этим методам, а также их последующему обобщению
в контексте больших кардиналов, теоретики множеств добились больших успехов в определении
аксиоматической силы широкого спектра ZFC-неразрешимых утверждений не только в рамках
теории множеств, но и в других областях математики.

Благодаря этой работе начинает складываться очень привлекательная картина Вселенной множеств
, картина, основанная на существовании внутренних моделей, удовлетворяющих большим кардинальным
аксиомам. В данной статье я приведу доводы в пользу правильности этой картины, используя
принципы полноты и повторяемости.

Конструктивность

Гедель [8] дал интерпретацию ZFC, структура которой может быть тщательно
проанализирована. Вселенная

L конструктивных множеств состоит из всех множеств, которые появляются в пределах

иерархия

Л

0

= ∅,

Л

α+1

= Множество определимых подмножествl

α

,

Л

λ

=

{Л

α

/ α,

Л =

{Л

α

| α ∈ ORD}.

Эта иерархия отличается от фон-неймановской иерархии тем, что она состоит из двух частей.

В

α

s в том, что только определяемые
подмножества рассматриваются на последующих этапах, в отличие от произвольных подмножеств. Путем
ограничивать деятельность набора силы таким образом, одно приносит понятие набора очень близко

86

С. Д. Фридман

к порядковому числу, и может достичь такого же ясного понимания произвольных множеств
, как и у порядковых чисел. В качестве примера, Гедель показал, что в

L набор реалов

и множество счетных ординалов имеют одинаковую мощность.

Йенсен [9] пошел еще на один шаг вперед, разделив переход от

Л

α

Для

Л

α+1

в

ω промежуточные уровни L

α

⊆ Л

1

α

⊆ Л

2

α

⊆ · * * ⊆ L

α+1

. Сила идеи Дженсена,

что привело к его теории тонкой структуры для

L, является ли эти новые уровни преемника L

n+1

α

состоят из множеств, которые могут быть перечислены способом, аналогичным тому, в котором

0

n+1

-

определяемые наборы арифметики могут быть рекурсивно перечислены с использованием оракула для

n-й

Turing прыжок 0

(северный)

. Возможно, удивительно то, что это “разветвление” уровней может
быть использовано для установления новых результатов, касающихся структуры конструируемой Вселенной
в целом. Например, Дженсен показал, что следующий комбинаторный принцип
выполняется

Л:

То

Принцип. К каждому порядковому номеру предела

α то есть это не обычный кардинал, можно

назначение неограниченного подмножества

Икс

α

от

α с порядком меньше α, таким что если α есть a

предел элементов системы

Икс

α

затем

Икс

¯α

= Икс

α

∩ ¯α.

Все известные доказательства того, что этот принцип имеет место

L использует некоторую версию теории
тонкой структуры. Действительно, теория Дженсена настолько сильна, что создается впечатление
, что любой вопрос в комбинаторной теории множеств (не связанный с последовательностью ZFC)
может быть решен в предположении

V = L.

L является наименее внутренней моделью, т. е. транзитивным классом, содержащим все ординалы, в которых
содержатся аксиомы ZFC. Можно ли построить более крупные внутренние модели, допускающие аналогичный
анализ Геделя-Йенсена?

Полнота

Теперь будет удобно работать не с обычной теорией ZFC, а с теорией классов GÖDEL-
Bernays of classes GB. Эта теория не сильнее ZFC, но позволяет нам
обсуждать классы, которые не обязательно могут быть определены. Для внутренней модели

М, класс а

A принадлежит M, Если A ∩ x принадлежит M для каждого множества x в M.

V = L (т. е. утверждение, что каждое множество является конструктивным) не является теоремой GB:

Форсируя метод позволяет нам последовательно увеличивать

L к моделям L[G], где G - a

набор или класс, который является

P -общий над L для некоторого L -форсирования P, т. е. E., некоторого частичного упорядочения
P, которое принадлежит L. таким образом, это согласуется с GB, что существуют внутренние модели больше
, чем

Л.

Теперь предположим, что общие расширения

L действительно существует, и давайте посмотрим, какие последствия
это имеет для природы Вселенной с теорией множеств. Для этого вводится
понятие куб-полноты.

Определение. Класс ординалов является CUB (замкнутым и неограниченным), если это правильный класс
ординалов, который содержит все его предельные точки. Один класс

X ординалов-это большой iff it

содержит подкласс CUB.

Полнота и итерация

87

Крупность не является абсолютной: вполне возможно, что класс

X, принадлежащий L, не является большим
, но становится большим после расширения Вселенной путем принуждения.

Определение. Один класс

X-это потенциально большой iff, он велик в общем расширении

вселенная.

Теперь мы ставим следующий вопрос: Может ли Вселенная быть полной по отношению к

многочисленность классов, которые принадлежат к

Л? То есть, может ли Вселенная быть детенышем-полным

над

L в том смысле, что каждый класс, принадлежащий к L и потенциально большой, уже есть

большой? Используя тот факт, что Jensen's

Принцип держит внутри

L, у нас есть следующее.

Теорема 1 ([5]). Существует последовательность:

Икс

н

,

n ∈ ω классов таких, что:

1. Каждый из них

Икс

н

принадлежать

L и действительно отношение " α принадлежит X

н

"можно ли это определить

в

Л.

2.

Икс

н

⊇ Икс

n+1

для каждого

n и каждый X

н

это потенциально большой объем.

3. Если каждое

Икс

н

велика ли тогда Вселенная-это CUB -complete over

Л.

Таким образом, мы имеем следующую картину: пусть

n быть по крайней мере так, что X

н

не велик, если такой

конечное число

n существует, и n = ∞ в противном случае. Если n конечен, то n можно увеличить, перейдя
к общему расширению Вселенной, далее увеличить, перейдя к дальнейшему общему
расширению, и так далее. Единственная альтернатива заключается в том, что Вселенная будет Cub-complete
over

Л.

Может ли быть много различных способов сделать вселенную CUB-complete более

Л?
Следующий результат говорит, что нет.

Теорема 2 ([5], [12]). Если Вселенная является CUB -complete over

L тогда существует наименьший

внутренняя модель

Л

#

который является CUB -complete over

Л.

Таким образом

Л

#

является ли "каноническим" завершение

L в отношении большого числа классов

которые принадлежат к

Л.

Что такое

Л

#

? Эта модель не является универсальным расширением

L, но скорее новый вид
расширения, который можно определить в терминах понятия жесткости: вложение
L-это элементарное вложение π: L → L, которое не является тождеством. Мы говорим, что L является
жестким, если нет такого вложения.

Факт (Кунен, см. [12]). Вселенная-это CUB-complete over

L iff L не является жестким. Если это так

так ли это тогда

Л

#

является наименьшей внутренней моделью, в которую встраивание

L принадлежит.

Более подробное описание

Л

#

это следующее: Пусть

π: L → L-вложение

от

L и пусть α

π

быть наименьшим порядковым номером таким, что

π

α не является элементом из L. тогда

Л

#

= L [π

α

π

] для любого выбора π.

88

С. Д. Фридман

Л

#

обычно пишется как

L[0

#

], где 0

#

является специальным набором целых чисел [13], и

гипотеза о том, что

L не является жестким обычно пишется как " 0

#

существует”.

Гипотеза о том, что 0

#

существует не только завершает вселенную по отношению к

многочисленность классов, которые принадлежат к

L, но и решает еще одну загадку: его можно показать

тот

P-дженерики не могут существовать одновременно для всех L-сил P. Как мы можем решить

будь то или нет а

P-generic должен существовать для данного P? Следующий результат приводит нас к a

хороший критерий, при условии, что 0

#

существует.

Теорема 3 ([4]). Предположим, немного больше, чем ГБ

(точно: ORD -это ω + ω -Erdos).

Если 0

#

существует,

P -это L -форсирование, которое определяется в L (без параметров), и там

существует a

P -generic, то существует P -generic, определяемый в L[0

#

].

Таким образом, внутренняя модель

L[0

#

] насыщен по отношению к L-определяемым силам.

О существовании такого понятия, как

P-обобщения для L-определимых сил P, таким образом, разрешаются с помощью

предположение, что 0

#

существует:

P имеет общий iff он имеет один определимый в L[0

#

].

Итерация

Приведенное выше обсуждение приводит нас к существованию 0

#

. Мы можем пойти дальше: 0

##

касаться

модель

L[0

#

] таким же образом, как и 0

#

касаться

L, и его существование следует из

CUB-полнота Вселенной по отношению к

L[0

#

]. Действительно, через итерацию

соответствующей " деятельности#", мы водить к моделям гораздо большле чем

L, которые удовлетворяют

сильные большие кардинальные аксиомы.

Мы сказали, что существование 0

#

эквивалентна негибкости системы:

L, т. е.,

к вопросу о существовании вложения из

L. давайте используем это как основу для обобщения.

Предположим, что

M-нежесткая внутренняя модель и пусть π: M → M-вложение

от

М. Пусть κ -критическая точка π, то есть наименьший порядковый номер такой, что π(κ) = κ.

(По техническим причинам мы предполагаем, что

M имеет вид L

Один

для некоторых классов ординалов

A и что π уважает A в том смысле, что π (a ∩ κ) = A ∩ π (κ), H

М

κ

= Л

Один

κ

и

Х

М

π(κ)

= Л

A
π (κ)

.) Для некоторого наименьшего порядкового номера

α, ограничение π

α не является элементом системы

M. обычно этот порядковый номер является κ

+

от

M. затем мы определяем # (или расширитель), полученный из

π, чтобы быть ограничением E

π

= π

(κ

+

от

М). A # for M является a # производным от некоторых

встраивание

π: M → M. Таким образом, M имеет a # iff M нежестко.

А # итерация -это последовательность

М

0

, М

1

,... внутренних моделей где

М

0

= Л

М

i+1

= М

я

[Ми

я

], где е

я

это # для

М

я

М

λ

для предела

λ-это "предел" M

я

| i

Тип модели, возникающий в результате такой итерации, называется расширительной моделью и
имеет вид

L[E] где E = E

α

| α ∈ ORD-это последовательность экстендеров, см. [3].

Полнота и итерация

89

Насколько большую модель расширителя мы можем создать с помощью # - итерации? #- Итерация
является максимальной, если она не может быть продолжена для более крупной модели расширителя. Модель расширителя
максимальна, если она является конечной моделью максимальной # - итерации. Существуют ли такие модели, и
если да, то насколько они велики?

Теорема 4 ([7]). Существует максимальная модель экстендера, если только не существует внутренней

модель с суперсильным кардиналом.

Сверхсильность-это очень сильное большое кардинальное свойство, более чем достаточное для
выполнения большинства приложений больших кардиналов в комбинаторной и описательной теории множеств.
Таким образом, если мы заинтересованы в том, чтобы показать, что существуют внутренние модели, которые удовлетворяют полезным
большим кардинальным аксиомам, мы можем без вреда предположить, что существует максимальная расширительная
модель.

Теперь мы переходим к вопросу о величине для максимальных моделей расширителей. Есть

два способа, в которых модель расширителя

M может быть максимальным: либо нет # для M,

т.е.,

M является жестким, или M не увеличивается за счет добавления a # для себя. Последний

возможность также приводит к внутренней модели со сверхсильным кардиналом.

Теорема 5 ([7]). Предположим, что

M -нежесткая, максимальная модель расширителя. А потом в...

M есть суперсильный кардинал.

Таким образом, чтобы получить внутреннюю модель со сверхсильным кардиналом, достаточно построить

максимальная модель расширителя и затем утверждают, что она не является жесткой.

Но Сначала мы должны решить центральную проблему в теории моделей расширителей:
как мы можем гарантировать, что наши максимальные модели расширителей удовлетворяют свойствам Геделя и Йенсена
, GCH и

? Определите модель экстендера, чтобы она была хорошей, если она удовлетворяет GCH

и

. Построение хороших моделей максимального удлинителя намного сложнее, чем
построение произвольных моделей максимального удлинителя. Однако, используя работу Steel
[14] и Schimmerling-Zeman [11], мы имеем следующее, предполагая немного
больше GB (точно: ORD тонкий и слабо компактный).

Теорема 6. Существует хорошая максимальная модель расширителя, если нет внутренней модели

с кардиналом Вуденом.

Таким образом, если мы можем утверждать о негибкости хороших моделей максимальных расширителей, мы
получаем внутреннюю модель с кардиналом Вудина, свойство все еще достаточно сильное
, чтобы выполнять многие приложения больших кардиналов к комбинаторной и описательной теории множеств.

Полнота, Опять Же

Используя Cub-полноту, мы утверждали, что

L не является жестким. Может ли этот аргумент быть gen-

eralised к хорошим maximal моделям разбивателя?

90

С. Д. Фридман

Теорема 7 ([7]). Предположим, что Вселенная является куб -полной над хорошим максимумом

модель экстендера. Тогда есть внутренняя модель с измеряемым кардиналом.

Измеримые кардиналы намного сильнее, чем 0

#

но все же намного слабее, чем
кардиналы Вудина. Чтобы пойти дальше, нам нужно рассмотреть вариант Cub-полноты.

Определение. Класс ординалов

C - это детеныш

+

МКФ

C - куб и для каждого предельного кардинала

α в C, C ∩ α

+

есть ли CUB в

α

+

.

X-это большой размер

+

МКФ

X содержит детеныша

+

производный класс.

X-это

потенциально большой

+

МКФ

X-это большой размер

+

в общем расширении Вселенной.

Теперь мы повторяем то, что мы делали ранее для

L, причем Cub-полнота заменяется на

ДЕТЕНЫШ

+

-полнота.

Теорема 8. Предположим, что

M -хорошая максимальная модель расширителя. Тогда существует a

последовательность

Икс

н

,

n ∈ ω классов таких, что:

1. Каждый из них

Икс

н

принадлежать

М.

2.

Икс

н

⊇ Икс

n+1

для каждого

n и каждый X

н

является потенциально большим

+

.

3. Если каждое

Икс

н

является ли большой

+

затем для некоторого класса CUB

C: (α

+

от

М)

+

для

α в C.

Таким образом, если Вселенная является детенышем

+

- завершите над хорошей maximal моделью разбивателя

М,

из этого следует, что

α

+

от

M меньше, чем α

+

для

α принадлежит классу CUB. Теперь мы подаем заявку

следующее уточнение теоремы 6 см. в работе [14].

Теорема 9. Если только не существует внутренней модели с кардиналом Woodin, есть хороший

максимальная модель расширителя

M со следующим свойством: для любого класса детенышей C является (α

+

от

М)

+

для

α в C.

Складывая все это вместе:

Теорема 10. Предположим, немного больше, чем ГБ

(точно: ОРД тонкий и слабый

компактный

). Предположим, что Вселенная является детенышем

+

- полный по отношению к хорошему максимальному

модели экстендеров. Затем есть внутренняя модель с кардиналом Woodin.

В смысле теоремы 10 полнота и итерация могут быть использованы для аргументации в
пользу существования внутренних моделей с большими кардиналами.