Спекуляции За Пределами Одного Вудина Кардинала

Дальнейшая работа Andretta, Jensen, Neeman и Steel (см. [1], [10]) предполагает, что
хорошая модель максимального расширителя должна существовать, если нет внутренней модели со многими

Кардиналы вудина. Но были и серьезные препятствия для расширения этой работы вплоть до

уровень сверхсильного кардинала.

Полнота и итерация

91

Возможно, трудности возникают из-за определимости. Хорошие модели экстендеров

М это

были построены до сих пор удовлетворяют:

(

∗) M-определяемая внутренняя модель (на языке теории классов).

Собственность (

*) не используется в нашем вышеприведенном обсуждении CUB и CUB

+

полнота,
ни во многих приложениях внутренних моделей, и, возможно, придется пожертвовать, если вы хотите
достичь уровня сверхсильного кардинала.

Один из способов подойти к этому вопросу-спросить: предположим, что существует сверхсильный кардинал
. Какие внутренние модели можно построить с помощью сверхсильного кардинала?

Предположение. Предположим, что существует сверхсильный кардинал. Затем:

а) существует внутренняя модель ГЧ, которая имеет сверхсильный кардинал.

b)такая внутренняя модель не должна быть поддающейся определению.

Если это верно, то эта гипотеза подразумевает, что следует искать не “канонические” внутренние
модели для больших кардиналов, а скорее семейство внутренних моделей, любая из которых может
служить хорошим приближением к вселенной всех множеств.

Подтверждение. Работа выполнена при поддержке гранта ФНБ № 9625997-ДМС.

Рекомендации

[1]

Андретта, Алессандро, Итай Ниман и Джон Стил: чтобы появиться. Внутренние уровни:

К

с

являются итеративными. Израильский журнал математики.

[2]

Cohen, Paul: 1963. Независимость континуальной гипотезы. Труды
Национальной академии наук, США Том. 50: 1143–1148.

[3]

Dodd, Anthony: 1982. Основная Модель. Лондонское математическое общество
серия лекций, вып. 61, Cambridge University Press.

[4]

Friedman, Sy: 1998. Родовое насыщение. Journal of Symbolic Logic vol. 63 (1): 158–162.

[5]

Friedman, Sy: 1999. НОВОЕ

1

3

факты. Труды Американского математического общества

127: 3707–3709.

[6]

Friedman, Sy: 2000. Тонкая структура и класс форсирования. De Gruyter Series in Logic and
its Applications, vol. 3. Berlin: De Gruyter.

[7]

Friedman, Sy: 2001-2002. Темы В теории множеств. Lecture Notes, Institut für Formale
Logik, Universität Wien.

[8]

Gödel, Kurt: 1940. Согласованность аксиомы выбора и обобщенной
Континуальной гипотезы с аксиомами теории множеств. Летопись математических исследований #
3. Принстон: Издательство Принстонского Университета.

[9]

Jensen, Ronald B.: 1972. Тонкая структура конструктивной иерархии. Анналы
математической логики том. 4: 229–308.

92

С. Д. Фридман

[10] Neeman, Itay: 2002. Внутренние модели в области древесного предела Woodin cardinals.

Анналы чистой и прикладной логики том. 116 (1–3): 67–155.

[11] Шиммерлинг, Эрнест и Мартин Земан: 2001. Квадрат в основных моделях. Вестник Сыма-

bolic Logic vol. 7 (3): 305–314.

[12] Silver, Jack: 1971. Некоторые приложения теории моделей в теории множеств. Летопись математики-

ical Logic vol. 3 (1): 45–110.

[13] Соловей, Роберт: 1967. А несконструируемый

1
3

множество целых чисел. Сделки Амера-

ican математическое общество vol. 127: 50–75.

[14] Steel, John: 1996. Основная Проблема Итеративности Модели. Лекционные Заметки в логике 8. Берлин:

Прыгун.

Отделение математики
Массачусетский Технологический
институт Кембридж, Массачусетс 02139
США

E-mail: [email protected]

Was sind und was sollen (neue) Axiome?

Кай Хаузер

Абстрактный. В статье рассматриваются некоторые философские вопросы, связанные с продолжающимся поиском

новые аксиомы теории множеств в свете последних математических разработок.

1. Стандартные аксиомы теории множеств ZFC (Zermelo Fraenkel с аксиомой выбора)
успешны в нескольких отношениях. Они предоставляют формальное описание интуитивного
понятия коллекции, которое поддается математическому анализу. Они также служат
основой математики в следующем смысле.

• Все математические утверждения могут быть выражены на языке теории множеств с помощью

набор и членство в качестве единственных примитивных терминов.

1

• Каждая теорема классической математики доказуема в ZFC.

Тем не менее эти аксиомы оставляют открытыми многие естественные и фундаментальные вопросы.
Самый известный из них касается мощности континуума (множества вещественных чисел).
Первая публикация Кантора по теории множеств [4] содержала доказательство того, что
континуум неисчислим. Не имея возможности определить его точную мощность, Кантор впоследствии
предположил, что континуум имеет размер первого бессчетного кардинала, т. е.
минимальное значение, разрешенное вышеупомянутой теоремой.

2

Под названием
гипотеза континуума (CH) гипотеза Кантора вскоре стала выдающейся проблемой
предмета, и она появилась в качестве первого пункта в знаменитом списке нерешенных
математических вопросов Гильберта [28]. Примерно четыре десятилетия спустя Гедель [18] показал, что ZFC, если
она последовательна, не может опровергнуть CH.

3

Наконец, Коэн [10] установил, что CH не доказуемо

в ЗФК, опять же предполагая непротиворечивость последнего.

4

Методы, разработанные
Геделем и Коэном, дают много более независимых предложений, включая предложения
из других областей математики, не содержащих теоретико-множественного словаря.

5

Один из

1

Формально говоря,

∈ является единственным внелогическим символом языка теории множеств. Но с
эпистемологической точки зрения "множество" и "принадлежность" являются автономными вследствие различия в
лежащих в их основе когнитивных актах.

2

Гипотеза появляется в печати впервые в [5]: 132.

3

Гедель доказал, что если ZF (Zermelo Fraenkel без аксиомы выбора) непротиворечив, то и ZFC

вместе с глобальной формой ч.

4

Предположение о том, что ZF является последовательным, достаточно в обоих случаях в силу первой половины сноски 3.

5

Некоторые примеры-гипотеза Суслина [41], гипотеза Каплански [11], проблема Уайтхеда

[51] а также

S-и L-пространственные задачи в общей топологии [56].

94

К. Хаузер

главным мотивом для введения новых аксиом была необходимость решить эти
открытые проблемы. Это может означать, в частности, что рассматриваемое предложение или его
отрицание логически выводимо из новой аксиомы. Но более тонкие интерпретации
"оседлости" мыслимы, как мы увидим ниже. В любом случае, мы должны спросить, почему те
утверждения, которые предлагаются в качестве новых аксиом, действительно являются аксиомами, и более того, что мы
подразумеваем под "аксиомой" в первую очередь.

Этот документ призван пролить некоторый свет на эти вопросы. Он организован следующим образом:
разделы 1-6 очерчивают математическую основу и помещают ее в
философский контекст, принимая философские взгляды Геделя в качестве отправной точки.

6

Это
составляет основу философского аргумента, содержащегося в разделах 7-10.
Хотя этот аргумент не отвечает на вышеприведенные вопросы, он указывает
направление, в котором могут быть найдены ответы.

2. Влиятельное предложение о поиске новых аксиом было выдвинуто в [20] наряду с
предположением о том, что роль континуальной проблемы в теории множеств заключается в том, “что она в конечном итоге
приведет к открытию новых аксиом, которые позволят опровергнуть
гипотезу Кантора” (там же., 186). Предвосхищая независимость от ZFC, Гедель отстаивал
существование определенного истинностного значения для CH на том основании, что понятия
классической теории множеств описывают некоторую четко определенную реальность.

Ибо в этой реальности гипотеза Кантора должна быть либо истинной, либо ложной, и ее
неразрешимость из известных сегодня аксиом может означать только то, что эти
аксиомы не содержат полного описания этой реальности. ([20]: 181)

Это сразу же вызывает два вопроса: Что именно эта реальность описывается
аксиомами теории множеств, и как мы распознаем аксиомы, дающие более подробное
описание? Гедель присоединяется к отличительной черте платонизма, моделирующей существование
множеств как математических объектов, а также наш эпистемический доступ к ним в прямой
аналогии с физическими объектами и чувственным восприятием. В то же время он утверждает, что
объекты трансфинитной теории множеств “явно не принадлежат физическому миру, и даже
их косвенная связь с физическим опытом очень слаба” ([23]: 267). Тот
вызывает сомнение, может ли каузальная теория чувственного восприятия служить моделью
для эпистемологии теории множеств. Тем не менее, в следующем параграфе Гедель настаивает
на том, что математическая интуиция-это вид восприятия абстрактных объектов, позволяющий нам
формулировать математические аксиомы. Но он не объясняет, как эти объекты определяют
наши интуиции.

Один из способов обойти эти трудности состоит в том, чтобы отложить суждение об
онтологии и сосредоточиться непосредственно на эпистемологических вопросах. Прежде всего, нельзя отрицать
, что мы обладаем относительно устойчивыми интуитивными представлениями о концепции множества,
сформулированной в аксиомах ZFC. С упражнением разума возникают новые интуиции и

6

У меня есть две причины для выбора этого несколько предвзятого подхода. Во-первых, в свое время Гедель имел
наиболее глубоко продуманную точку зрения на философские основы теории множеств. Во-вторых,
математические разработки, которые наиболее актуальны для данной статьи, в значительной степени являются результатом работы
Геделя.

Was sind und was sollen

(neue) аксиома?

95

в свою очередь рождаются дополнительные кандидаты на аксиоматизм. Несмотря на психологический
колорит, ключевым моментом здесь является то, что весь процесс является чем угодно, но не произвольным. С одной
стороны, необходимо соблюдать различные формальные ограничения (например, логическую последовательность). С
другой стороны, существует своего рода "неформальная строгость", которая гораздо труднее поддается
определению и подразумевается в таких выражениях, как " принцип

A истинно в силу предполагаемого значения
понятия множества’. Свидетельством ее важности является то, что стандарты, регулирующие
принятие новых аксиом, де-факто довольно строги. Учитывая нашу способность последовательно
уточнять математические интуиции "По правилам", мы можем рассматривать утверждения, которые
неразрешимы в ZFC, как определенно истинные или ложные без ссылки на положение
дел в области математических объектов.

7

В сущности, эта линия мышления принята в нашем обществе.

приложение ко второму изданию статьи Геделя о проблеме континуума.

Однако вопрос об объективном существовании объектов
математической интуиции (который, кстати, является точной копией вопроса
об объективном существовании внешнего мира) не является решающим для
рассматриваемой здесь проблемы. Сам по себе психологический факт существования
интуиции, достаточно ясной для того, чтобы произвести аксиомы теории множеств и
открытый ряд их расширений, достаточен для того, чтобы придать смысл вопросу
об истинности или ложности таких высказываний, как канторовская гипотеза континуума.
([23]: 268, курсив добавлен)

На самом деле Гедель считал, что открытость попыток аксиоматизировать понятие

набор сам по себе присущ этому понятию.

Ибо прежде всего аксиомы теории множеств отнюдь не образуют замкнутую
в себе систему, но, совсем наоборот, само понятие множества [... ], на котором
они основаны, предполагает их расширение новыми аксиомами, утверждающими
существование еще дальнейших итераций операции “множество”. ([20]: 181,
[23]: 260)

8

Концепция, которую имел в виду Гедель,-это итеративная концепция множества, согласно которой
множество-это все, что можно получить из целых чисел (или некоторых других четко определенных объектов) путем
итерационного применения операции “множество", а не что-то полученное путем деления
совокупности всех существующих вещей на две категории.”

9

В формальном плане итерационная
концепция приводит к стратификации теоретико-множественного универсума в кумулятивную иерархию
этапов

В

α

индексируется по порядковым номерам. Все начинается с того, что

В

0

= ∅. В движении от одного

этап к следующему собираются все подмножества предыдущего этапа, т. е.,

В

α+1

равняется то

силовой агрегат

В

α

. На предельных стадиях

λ, мы берем объединения, т. е. E., V

λ

=

α<λ

В

α

. Аксиома основания
гарантирует, что любой набор появляется на одном из этих уровней. Другими словами
, класс всех множеств

V (формально термин класса {x: x = x}) является объединением V

α

захватил всех ординалов. Таким образом, можно представить себе Вселенную как имеющую форму a

7

Для развития этой точки зрения смотрите [25].

8

См. также [21]: 306f.

9

Гедель выразительно допускает трансфинитные итерации операции "множество". Он также отмечает, что “в
отличие от понятия множества в целом (если рассматривать его как примитивное) у нас есть четкое представление об этой операции”
([20]: сноски 12 и 13, 180).

96

К. Хаузер

воронка c нижним концом

В

0

= ∅ и с ординалами, обозначающими его высоту, как показано на рисунке

на рисунке 1.

ПОРЯДОК

В

α

В

ω

Рисунок 1. Кумулятивная иерархия

Как это приводит к новым аксиомам, утверждающим существование дальнейших итераций
операции "множество"? Один из возможных ответов заключается в том, что неявным в концепции множества является тот
факт, что любая операция над множествами распространяется на свою собственную итерацию. Например, операция
F, действующая на отдельные множества, немедленно приводит к возникновению новой операции

F ассоциирование с

коллекция наборов коллекция их изображений в разделе

Ф. Вселенная V ‘закрыта’

под проход из

F к

Ф. (Для определимого F это аксиома замены.)

Однако было бы неразумно ожидать, что

V-единственная точка замыкания, ибо это
противоречило бы интуиции, стоящей за Абсолютом Кантора — учению о том, что Вселенная
теории множеств постигает все возможности.

10

Грубо говоря, если что-то случилось ‘в первый раз " внутри

V мы
не должны были останавливаться на достигнутом, и процесс генерирования наборов должен был продолжаться.
Из этого следует, что есть много уровней, позволяющих перейти от заданного

F для ассоциированных объектов

˜

Ф. Первый такой уровень - V

ω

который состоит из всех наборов, построенных в конечном числе
этапов из пустого набора. Бесчисленные индексы таких уровней называются недоступными
кардиналами, указывая, что они недостижимы снизу определенными операциями с
меньшими кардинальными числами.

11

Постулирование таких индексов является большой кардинальной аксиомой
в силу их превосходства над меньшими кардиналами и в том смысле, что их
существование недоказуемо в ZFC.

10

В метафизических терминах Кантор [6] (ср. [9]: 175, 205) утверждал “что” истинное бесконечное или абсолютное
не допускает никакой детерминации", что он приписывает также Локку, Декарту, Спинозе и Лейбницу. Кроме
того, он упоминает Николая Кузанского, который фактически выдвинул эту точку зрения в De Docta Ignorantia. От
абсолютного Кантор отличает другую форму реально данного бесконечного, называя его преходящим.
Проявления последних включают в себя кардинальные числа и типы порядков, которые могут быть схвачены в математическом смысле
мысли же способны и к увеличению. Абсолютное же, напротив, “реализуется в высшем совершенстве, в
совершенно независимом, потустороннем бытии, в Deo ” ([7]: 378).

11

Эти две операции являются кардинальной экспоненцией и взятием Супремы над семьями кардиналов.

Was sind und was sollen

(neue) аксиома?

97

После дальнейшей экстраполяции мы приходим к принципам рефлексии. Здесь идея заключается в том, что

любое владение недвижимостью внутри

V уже должно быть истинно в подходящих начальных сегментах V

α

. Леви
[42] и Бернейс [2] показали, что стандартные аксиомы и некоторые их обобщения
могут быть переформулированы как принципы отражения. Адекватно сформулированные принципы отражения также
доказывают существование кардиналов Мале и освещают их схематическое расположение в
иерархии, изученной первоначально в [44] и [45] с помощью операций прореживания на недоступных
кардиналах. До тех пор, пока отражающие формулы разрешены только для того, чтобы содержать заданные параметры,
соответствующие принципы отражения должны сами отражать начальные сегменты
V. Когда параметры второго порядка разрешены, это дает неописуемые кардиналы

12

которые снова попадают в систематическую иерархию, на этот раз с качественно новой формой
трансценденции в терминах определимых фильтров. Математические результаты, полученные в
этой области до сих пор подтверждают утверждение Геделя о том, что

эти аксиомы ясно показывают не только то, что аксиоматическая система теории множеств
, известная сегодня [т. е. ZFC], является неполной, но и то, что она может быть
дополнена без произвола новыми аксиомами, которые являются только
естественным продолжением ряда тех, которые были установлены до сих пор. ([20]: 182)

3. Большие кардиналы изучались в современной теории множеств- измеримых, сильных, древесных
и

(супер) компактные кардиналы и их родственники—гораздо большего порядка
, чем упомянутые до сих пор. Они определяются в терминах элементарных вложений,
истинностных преобразований Вселенной всех множеств. Попытки обосновать существование
таких кардиналов с помощью принципов рефлексии до сих пор не были полностью успешными.

13

Действительно, правдоподобная интуиция относительно элементарных вложений в конечном итоге привела к
постулированию принципа, противоречащего аксиоме выбора [40]. Этот принцип можно
рассматривать как предел ряда больших кардинальных аксиом, начиная с измеримости
и продолжая прошлую суперкомпактность.

14

Было также отмечено, что более крупные кардинальные аксиомы поддерживаются
сильными аргументами аналогии. Как правило, такие аргументы выделяют комбинаторное
свойство первого бесконечного кардинала

ω и постулируют существование бесчисленных кардиналов
, имеющих аналогичное свойство. Это обычно оправдывается обращением к равномерному
порождению множеств в кумулятивной иерархии на том основании, что это единообразие
должно исключать существование "сингулярностей". Справедливо будет сказать, что эта линия
рассуждений обычно считается менее убедительной, чем обоснования с помощью
принципов рефлексии.

15

Например, измеряемые кардиналы в их традиционном определении как ООН-

12

Учитывая набор формул, кардинал

κ называется -неописуемым, если для любой формулы ϕ (X) в

и никаких

A ⊂ V

κ

: если

ϕ (X) удерживается в структуре V

κ

, ∈, A, то существует λ

держит в строю

В

κ

, ∈, A ∩ V

λ

.

13

Возможно, эта серия аксиом начинается с кардиналов, выведенных из принципов отражения как неописуемые

кардиналы обладают переформулировкой в терминах элементарных вложений [24].

14

Его первоначальная мотивация, однако, пришла из исследований концепции множества в рамках широких понятий

класса или собственности. См. [48], [49] и также [38]: раздел 23.

15

Гедель, например, утверждал, что " каждая аксиома Бесконечности должна быть выведена из (чрезвычайно правдоподобного)

принцип этот

V является неопределимым, где определимость должна быть принята в [a] все более обобщенной и

идеализированный смысл " ([57]: 8.7.16).

98

К. Хаузер

счетные кардиналы

κ несущий неосновной κ-полный ультрафильтр может быть истолкован

как аналоги из

ω в силу существования неосновных ультрафильтров на ω. (A filter

есть по определению

ω-полная.) Однако в этой аналогии нет никакого аналога при ω из

важнейшее следствие существования неоснователя,

κ-полный ультрафильтр на
κ, а именно связанное элементарное вложение в субвселенную V. Если (сильно)
компактные кардиналы ([38]: §4) понимаются как сильные аналоги

ω с помощью теоремы
компактности для логики первого порядка их связь с интуициями о
понятии множества в его обычном значении становится довольно тонкой.

4. Помимо внутренних доказательств, представленных через математическую интуицию, Гедель
упоминает в своих выводах “другой (хотя только вероятный) критерий истинности математических
аксиом, а именно их плодотворность” ([23]: 269). Геделя особенно
интересовали следствия, имеющие место в конкретных и элементарных областях, где
едва ли можно усомниться в осмысленности и однозначности соответствующих понятий.
В той мере, в какой эти последствия явно не достижимы без рассматриваемой
аксиомы, это, в свою очередь, придаст поддержку мнению о том, что аксиома является средней-
ingful и недвусмысленно, а также.

16

Что касается натуральных чисел, то эта надежда еще
не была полностью реализована, основная причина заключается в том, что не известен ни один пример
ранее изученного теоретико-числового вопроса, решение которого требует гипотез за пределами
ZFC.

17

С другой стороны, в отношении теории чисел второго порядка было доказано мнение Геделя
о роли сильных аксиом бесконечности. Теория чисел второго порядка
занимается определяемыми множествами вещественных чисел и их характерными
свойствами, такими как измеримость Лебега. В соответствии с их логической сложностью эти
множества организованы в каноническую иерархию, известную как проективная иерархия. ZFC
дает структурную теорию для первых двух уровней проективной иерархии, но
практически не дает информации о ее дальнейших уровнях. Некоторые частичные результаты о более высоком
проективные множества уровней были получены в 1960-х годах из больших кардинальных аксиом.
Значительный прогресс был достигнут благодаря другому классу аксиом, которые предусматривают существование
выигрышных стратегий в бесконечных играх двух человек с совершенной информацией, разыгрываемой на
целых числах.

18

Гипотеза о том, что все игры с проективным набором выигрышей определены
(projective determinacy, PD), приводит к каноническому расширению теории первых
двух уровней, предоставляемой ZFC, на всю проективную иерархию, которая является "полной" в
том смысле, что все "естественные" вопросы становятся разрешимыми.

19

Кроме того, исследование
проективных множеств под PD в течение последних пятнадцати лет также привело к повторению-

16

Смотрите [57]: 7.1.1–7.1.5, 7.4.1.

17

Однако существуют интересные примеры комбинаторных утверждений, которые доказуемо эквивалентны
(1-)согласованности больших кардинальных аксиом. См. [14], [15] и [16]. Тем не менее
, практикующие теорию чисел неохотно принимают их в качестве подлинно теоретико-числовых вопросов наравне с
гипотезой Гольдбаха или проблемами о распределении простых чисел.

18

К каждому

A ⊂ [0, 1] ассоциируйте бесконечную игру двух лиц G

Один

. Игроки I и II поочередно выбирают

н

я

∈ {0, 1}, причем I начинается с n

0

. Игрок I выигрывает, если

∞

i=0

н

я

2

- и-1

A. A. В противном случае выигрывает II. Набор A,

или скорее игра

Г

Один

определяется, если у одного из игроков есть выигрышная стратегия, т. е. "правило", сообщающее ему
, какие номера играть со свойством, что он выйдет победителем, если он будет следовать этому правилу, независимо
от того, какие номера другой игрок выбрал.

Was sind und was sollen

(neue) аксиома?

99

заметное взаимодействие теории множеств с другими областями математики. С одной стороны
, понятия и дихотомии, встречающиеся в теории чисел второго порядка, оказались
значимыми в различных дисциплинах-от гармонического анализа, теории банахового пространства
и топологической динамики до теории управления и математической экономики. Напротив
, сложные методы из других отраслей математики были применены при
решении чисто теоретико-множественных задач и обеспечили новое понимание
взаимосвязи проективных множеств с различными субдисциплинами математической логики.

20

Успех, достигнутый с помощью проективной детерминации, напоминает часто цитируемый отрывок
из статьи Геделя 1947 года о проблеме континуума.

Могут существовать аксиомы, столь обильное в их проверяемые последствия,
пролить так много света на всю область, и урожайность таких мощных
методов для решения задач [... ], что, независимо от Ли или не они
являются органически необходимыми, то они должны быть приняты по крайней мере в том
же смысле, как любой устоявшейся физической теории. ([20]: 182n)

5. Тем не менее принятие ПД в качестве аксиомы затруднялось отсутствием у нее собственных
доказательств. Эта трудность была преодолена, когда было показано, что ПД подразумевается
большими кардинальными аксиомами. Точнее, PD следует из существования бесконечно
большого числа кардиналов Вудина [46]. Дальнейшая работа привела к осознанию того
, что аксиомы детерминации и большие кардинальные аксиомы фактически являются одним классом аксиом, а не двумя, cf.
[38] и [60]. Это весьма примечательно с эпистемологической точки зрения, ибо
отнюдь не очевидно, что глобальные принципы, мотивированные априорными интуициями о
длина кумулятивной иерархии тесно связана с локальными принципами, которые
утверждают что-то о ширине определенного уровня в нижней части этой иерархии
и поддерживаются внешними свидетельствами.

21

Ключевым элементом этих исследований была возможность построения канонических
моделей для больших кардинальных аксиом, которые минимальны и структура которых может быть
подробно проанализирована. Самым ранним примером канонической модели теории множеств является конструктивная
Вселенная

L разработанный Геделем в его доказательстве непротиворечивости (обобщенного)

континуальная гипотеза и аксиома выбора.

22

Эта модель генерируется поэтапно

подобный

V с той существенной разницей, что на следующем этапе в следующую стадию попадают только те подмножества
предыдущей стадии, которые определены в этой структуре.
С годами стало ясно, что ZFC поставляет ‘полную " теорию для

L в том смысле, что

что все "естественные" вопросы ZFC разрешимы внутри ZFC

+ V = L.

23

Форма

19

С помощью теорем неполноты нет никакой надежды решить "неестественные" предложения, т. е.

кодирование метаматематических патологий, таких как предложения Геделя и операторы согласованности.

20

Двумя из этих субдисциплин являются теория рекурсии (в связи с глобальной структурой степеней Тьюринга
) и теория моделей (топологическая гипотеза Вота). Обзор и дополнительные ссылки см.
в [39].

21

Формулировка более крупных больших кардинальных аксиом в терминах элементарных вложений включает в себя кофинальные
сегменты Вселенной. Напротив, выигрышные стратегии в целочисленных играх могут быть закодированы как действительные числа
и, таким образом, принадлежат

В

ω+1

.

22

Работая в ZF, Гедель показал, что все аксиомы ZFC и (обобщенная) гипотеза континуума имеют место

в

Л [18].

100

К. Хаузер

поколение членов совета директоров

L который лежит в основе этого явления может быть обобщен
для построения канонических моделей, которые достаточно велики, чтобы вместить различные большие
кардиналы, не встречающиеся в

L. хотя построение этих моделей предполагает
существование больших кардиналов, это все еще близко к доказательству согласованности. Ибо
ожидается, что скрытая непоследовательность в большой кардинальной аксиоме проявит себя в
детальной структурной теории связанной с ней модели.

24

Помимо подчеркивания согласованности больших кардинальных аксиом, канонические модели
играют центральную роль в определении логической силы этих аксиом. Здесь сила
измеряется в терминах относительной согласованности, т. е. аксиомы

Один

1

это сильнее аксиомы

Один

2

если это доказуемо в арифметике, что последовательность ZFC

+ Ля

1

подразумевает согласованность

о компании ZFC

+ Ля

2

. Эквивалентность по модулю это определяет частичный порядок на классе
теоретико-множественных принципов. Это эмпирический факт, что для "естественных" больших кардинальных аксиом
частичный порядок, определенный таким образом, является полным порядком.

25

Кроме того, предложения с
силой согласованности выше, чем ZFC (в той степени, в какой они были проанализированы)
, оказались равноценными некоторым большим кардинальным аксиомам— включая предложения из других
отраслей математики, не содержащие никакого теоретико-множественного словаря.

26

Учитывая
кажущиеся несопоставимыми способы расширения ЗФК, расположение
полученных теорий в линейной иерархии вызывает удивление. Тот факт, что центральными маркерами
вдоль этой иерархии являются большие кардинальные аксиомы, указывает на то, что последние обеспечивают
естественную надстройку для стандартных аксиом.

Это также позволяет улучшить понимание утверждения, что PD является "правильной"
аксиомой для теории чисел второго порядка. Мало того, что PD дает полную структурную
теорию для проективных множеств, она также подразумевается и фактически эквивалентна многим
комбинаторным принципам, которые на поверхности не имеют ничего общего с определенностью.
Однако самое главное, что теория чисел второго порядка, данная PD, разделяется всеми
достаточно сильными расширениями ZFC. Причина этого заключается в любопытном феномене
, что предложения, подразумевающие последовательность PD, на самом деле подразумевают PD.

27

6. Успех, достигнутый в теории чисел второго порядка с PD, вызывает надежду на то, что
какая-то новая аксиома может решить проблему континуума, утверждение теории чисел третьего порядка
. Однако, здесь вопросы более чувствительны из-за метаматематического

23

Утверждение, что каждый набор принадлежит к

L сокращается на V = L. конечно, нет никакого формального
определения "естественного утверждения". То, что подразумевается под этим, - это утверждение, выражающее "идею" (например
, комбинаторное свойство) в отличие от кодировок метаматематических патологий, таких как
предложения Геделя или утверждения последовательности, cf. сноска 19. Полнота ЗФК

+ V = L в этом смысле является

эмпирический факт.

24

Таким образом, обоснование внутренней модельной программы напоминает идею доказательства согласованности Гентцена

для арифметики Пеано.

25

Строго говоря, это еще не было проверено во всех случаях интереса, но нет никаких оснований сомневаться

что это будет достигнуто в долгосрочной перспективе.

26

Например, измеримость Лебега всех наборов вещественных чисел (в ZF) равносильна тому, что

существование недоступного кардинала (в ЗФК) по Соловею [53] и Шелаху [52].

27

Это зависит от свойств замыкания моделей PD, поставляемых достаточно сильными аксиомами
бесконечности. В чем-то аналогичном способе, большие кардиналы дают модели ZFC, отношение членства которых является
стандартом

∈ отношение.

Was sind und was sollen

(neue) аксиома?

101

ограничения, налагаемые принуждением. Например, вскоре после открытия Коэном
метода форсирования стало ясно, что (при условии умеренных ограничений) никакая большая кардинальная
аксиома не может решить CH [43].

28

Тем не менее, новые события указывают на то, что крупные
кардиналы актуальны, хотя и тонкими и неожиданными способами. Пожалуй, наиболее интригующей
из них является работа, выполненная недавно Вудином [58].

29

Он основывается на абстрагировании от
метаматематической ситуации в теории чисел второго порядка в рамках PD к ‘следующей
структуре " после теории чисел второго порядка, т. е. подмножествам

ω

1

определяемый внутри

P (ω

1

).
Предполагая большие кардиналы, Вудин показал, что если есть аксиома с подобным

влияние на теорию этой структуры, как тот, который оказывает PD на теорию чисел второго порядка
, то CH должен потерпеть неудачу. Кроме того, он представил вполне правдоподобный принцип
, имеющий этот желаемый эффект, и построил каноническую модель, в которой он выполняется. Другими
словами, он предложил аксиому, определяющую ч вместе с аргументом, что не может
быть никакой аналогичной аксиомы, ведущей к противоположному результату для ч. Такой
критерий асимметрии является тем, чего не хватало ранее нескольким предложенным принципам. Стоит
отметить, что метаматематическая асимметрия также упоминается Геделем [23] для аргументации
за существование недоступных кардиналов.

Еще одна новинка в подходе Вудина-это переход от стандартной логической схемы con-

отношение последовательности к новой логике –

- логика - обусловленная метаматематическими
ограничениями, налагаемыми принуждением. Вышеупомянутая абстракция от
метаматематики теории чисел второго порядка понимается в терминах

-логика. В дополнение,

Вудин исследовал связи между собой

- логика с большой кардинальной иерархией. Ре-

формулировка правдоподобного условия замыкания для больших кардинальных аксиом в

- логика дает
‘объяснение " линейности грубой версии большой кардинальной иерархии.
Конечно, преждевременно говорить, действительно ли это объяснения. Кроме того,
полезность этой переформулировки зависит от широкой гипотезы о том, что

- логика
-это самая сильная "разумная" логика, которая невосприимчива к принуждению. Дальнейшее изучение
будет необходимо, чтобы знать полный эффект теории, построенной вокруг

-логика. Точно так
же неясно, появится ли решение проблемы континуума из
анализа определимости Вудина с его метаматематическими сопровождениями.

30

В конечном
итоге решение о ч может даже не основываться на формальном доказательстве (или опровержении) из новой
аксиомы. Вполне вероятно, что открытие какой-то новой аксиомы(аксиом) могло бы назначить привилегированную
роль CH (или ее отрицанию) в том, что тогда рассматривается как "правильная" теория для

P (ω

1

).
Одним из возможных критериев корректности может быть общая инвариантность теории (ее
устойчивость при форсировании) при наличии подходящих больших кардиналов, cf. [54]: С. 2.8.

7. Предыдущие обсуждения дают частичные ответы на два вопроса в названии
этой статьи, поскольку они определяют некоторые кандидаты, которые были предложены в качестве новых
аксиом, и описывая их цель главным образом как средство урегулирования-таким образом

28

Это было замечено независимо Коэном.

29

Двухчастная статья [59] содержит доступное резюме.

30

Интересно, что Гедель ([20]: 182) предположил, что более глубокое понимание не только мате-

матические, но и логические понятия необходимы для устано<