Доказательство и толкование Newmp

Теорема 8. Newcomp доказуемо в ZFC

+ V = L + SWISUB. В частности, речь идет

доказуемо в ZFC

+ V = L + SSUB, и интерпретируемый в ZFC + SSUB. Новичок это

интерпретируемый в ZFC

+ "существует тонкий кардинал".

Доказательство. Мы работаем в компании ZFC

+ V = L + SWISUB. Пусть S-правильный класс, заданный a

формула с заданными параметрами.

Мы строим одномерную сюръективную функцию

F: S → на такой, что

*) для всех

x, y ∈ S, Если x ∈ y, то F (x)

Позволь

γ

α

будет строго возрастающим перечислением всех рангов элементов из

С.

Позволь

Ф

0

Карта

S ∩ V (γ

0

+ 1) один-один на порядковый номер. Предположим F

β

было определено для

все 0

≤ β

β

+ 1) один-один на порядковый номер, где каждая функция

расширяется за счет более поздних. Если

α-предельный порядковый номер, то возьмем F

α

чтобы быть союзом из

то

Ф

β

,

β < α. Пусть α = β + 1. Возьмем F

α

быть соотвествующим расширением

Ф

β

.

Ясно, что мы не можем сделать эту конструкцию определенным образом; например,

S май

будьте все из

В. Тем не менее, V = L обеспечивает необходимый определяемый порядок скважины от V до

сделайте так, чтобы эта конструкция прошла.

Теперь определимся

Один

α

⊆ α для всех ординалов α. Напомним, что F-это один-один на. Бери

Один

α

= {F (x): x ∈ S ∩ F

−1

α}, где F

−1

α-это функция, обратная функции F при

точка

α. Предположим x ∈ S ∩ F

−1

α. По условию *) в конструкции F мы имеем

F (x)

−1

α) = α. Таким образом, мы видим, что A

α

⊆ α.

По SWISUB, пусть

α

α

⊆ Ля

β

. Затем

{F (x): x ∈ S ∩ F

−1

α} {{F (x): x ∈ S ∩ F

−1

β}. Так как F: S → On-это один-один,

У нас есть

{x: x ∈ S ∩ F

−1

α} {{x: x ∈ S ∩ F

−1

β}, S ∩ F

−1

α S S ∩ F

−1

β. Также,

с

F-это один-один, F

−1

α и F

−1

β можно принять лежащими вне любого заданного множества и являются

отчетливые элементы

S. Таким образом, мы проверили положение о побеге в Newcomp.

Для второго утверждения, очевидно, SWISUB является производным от SSUB и ZFC

+V =
L + SSUB интерпретируется в ZFC + SSUB путем релятивизации к L. Для третьего утверждения,
очевидно, ZFC

+ SSUB интерпретируется в ZFC + "существует тонкий кардинал" путем

использование модели

(V (κ),∈) SSUB, где κ-наименее тонкий кардинал.

Теорема 9. Newcomp доказуемо в ZFC

+ "есть сколь угодно большие тонкие
кардиналы".

Доказательство. Пусть...

S-собственный класс, заданный формулой с заданными параметрами. Мы модифицируем

доказательство теоремы 8. Пусть ординалы...

γ

α

определитесь, как и раньше, и пусть

α будет дано. Позволь

κ > α будьте тонким кардиналом.

Предположим, что для некоторых

β

β

это по крайней мере

κ.

Чинить

β, чтобы быть по крайней мере с этим свойством. Заметим, что S ∩ V (γ

β

) имеет меньше элементов κ.

Следовательно, есть по крайней мере

κ элементы S ранга γ

β

чьи пересечения с

S являются

равный. Это проверяет escape-предложение в Newcomp с помощью

x = V (α).

Теперь предположим, что для всех

β

β

< κ.

Затем постройте функции one-one

ф

β

,

β Эта воля

выход

55

требуется только

AxC, а не V = L. обратите внимание, что f

κ

: S ∩ V (γ

κ

) → κ-это один-один на.

Перейдите к проверке escape-предложения в Newcomp с помощью

x = V (a), используя тонкость

κ, как и в доказательстве теоремы 8.

Теорема 10. Newcomp не доказуемо в ZFC

+ V = L + "существует тонкий
кардинал", предполагая, что последний непротиворечив. Newcomp не доказуемо в ZFC вместе
с любым экзистенциальным предложением на языке теории множеств с равенством и
операцией набора мощности, с разрешенными ограниченными кванторами, предполагая, что последние непротиворечивы.

Доказательство. Пусть...

M - модель ZFC + V = L+ "существует тонкий кардинал". Пусть κ будет

любой тонкий кардинал в смысле

M. пусть M то же самое, что и M, Если M удовлетворяет “там

нет ли сильно недоступного кардинала

> κ”; в противном случае M-ограничение M на

наборы ранга меньше первого недоступного кардинала

> κ в смысле M. тогда M

удовлетворяет ЗФК

+ V = L.

В

M, мы строим определимое задание A

α

⊆ α, ординалы α, следующие. Если

α > κ-порядковый номер преемника, пусть A

α

= {0, α − 1}. Если α > κ-предельный порядковый номер

софинансирование

< α, пусть

α

быть неограниченным подмножеством из

α типа порядка cf (α), первый из которых

два элемента равны 1

, cf (α). Если α > κ является следующим кардиналом после кардинала β, пусть

Один

α

= {2} ∪ [β, α). Для α ≤ κ пусть A

α

= α. Обратите внимание, что строгий sup каждого A

α

является

α.

Мы утверждаем, что

κ < α

α

⊆ Ля

β

нельзя. Если это верно, то либо
α, β являются обоими последовательными ординалами,либо α, β являются обоими нерегулярными предельными ординалами,либо α, β являются
обоими последовательными кардиналами. Первый и третий случаи сразу же устраняются.
Для второго случая, мы имеем

cf (α) = cf (β) и A

α

, Ля

β

имейте тип заказа

cf (α)

С

Один

α

имеет строгий sup

α и A

β

имеет строгий sup

β > α, это невозможно.

Теперь мы можем преобразовать эту конструкцию в контрпример к Newcomp. То

преобразование осуществляется в соответствии с доказательством теоремы 2.5, iii)

→ i), в [5], причем λ = On

и

δ = κ. Для удобства читателя, мы повторяем соответствующую часть оттуда

с

λ = On и δ = κ, в следующих трех абзацах, работающих в пределах М.

Мы определяем:

f: ВКЛ → V следующим образом. f (α) = {f (β): β ∈ A

α

}. По transfinite

индукция, каждый из них

f (α) имеет ранг α. Пусть S-это диапазон значений f. Тогда S-транзитивное множество

ранга

λ, где S имеет ровно один элемент каждого ранга

Мы утверждаем, что

f (α) ⊆ f (β) → A

α

⊆ Ля

β

. Чтобы увидеть это, предположим

f (α) ⊆ f (β).

Затем

{f (µ): µ ∈ A

α

} {{f (µ): µ ∈ A

β

}. Так как f-это один-один, A

α

⊆ Ля

β

.

Предположим, что существует цепочка из 2 элементов

{икс

y} ⊆ S, rk(x), rk (y) ≥ κ. С

икс

y, мы имеем rk (x) ≤ rk (y), а следовательно κ ≤ rk (x) Напишите rk (x) = α и

рк

y) = β. Тогда x = f (α) и y = f (β). Поэтому A

α

⊆ Ля

β

. С

κ ≤ α < β,

это противоречит выбору самого

(Ля

α

).

Теперь мы утверждаем, что

S предоставляет контрпример к Newcomp в M. Ясно, что S является

правильный класс внутри

М. Однако нет никаких x, y ∈ S, x = y, вне V (κ), с

S ∩ x ⊆ y.

Для второго утверждения мы снова начнем с модели

M из ZFC + (∃x

1

,..., икс

к

) (ϕ)

где

ϕ-это ограниченная формула В∈, = и операции набора мощности. Зафиксируйте предельный кардинал

κ в M такое, что (∃x

1

,..., икс

к

∈ V (κ)) (ϕ) имеет место в M. выберите хорошо упорядоченный X из
V (κ) в M и перейдите к подмодели L[X] из M. наконец, пусть M - L[X], если существует

56

Х. М. Фридман

нет сильно недоступного кардинала выше

κ в смысле L[X]; в противном случае M есть

результат отсечения при первом же сильно недоступном Кардинале выше

κ в этом смысле

от

L[X]. Тогда M удовлетворяет ZFC + (∃x

1

,..., икс

к

)(ϕ). Теперь повторите вышеприведенный аргумент

для первого утверждения, чтобы показать, что

М не удовлетворяет Новичка.

Новичок

+ Ext в Newcomp

В этом разделе мы даем интерпретацию Newcomp

+ Экстенсиональность в Newcomp.
Давайте уточним, что представляют собой эти две теории. Напомним, что Новичком является

сформулировано в виде схемы в

L (∈); т. е. без равенства. Смотрите раздел 2.

Тем не менее, мы формулируем Newcomp

+ Ext в L (∈,=); т. е. с равенством. Это

удобно для раздела 5. Позволь

x, y, z, w-различные переменные в этом разделе.

Аксиомы Ньюкомпа

+Ext, в дополнение к логическим аксиомам для L (∈,=), в том числе

аксиомы равенства для

L (∈,=), являются

Объемность.

(∀z) (z ∈ x → → z y y) → x = y.

Новичок. Пусть...

ϕ-формула L (∈,=), в которой y, z, w не появляются. (∃y) (x x)(x ∈

y ←→ ϕ) ∨ (∀y)(∃z, w)(z, w /

∈ г ∧ з = ш ∧ ϕ[х/з] ∧ ϕ[х/Ш] ∧ (∀х)((ϕ ∧ х ∈

z) → x ∈ w).

Сначала мы даем толкование (и его проверку), где несколько пунктов остаются
для официального рассмотрения, как отмечалось. Мы следуем этому путем официального рассмотрения нескольких
оставшихся пунктов.

В Newcomp мы определяем:

x ≡ y тогда и только тогда, когда (∀z)(z ∈ x → → z ∈ y).

Сидя в Ньюкомпе, мы называем набор

X экстенсиональный тогда и только тогда, когда для любой конечной последовательности

икс

1

∈ икс

2

∈ · * * x x

к

= x, k ≥ 2, для всех y имеем x

1

≡ y → y ∈ x

2

. Это
место, где нам нужно заполнить некоторые детали, потому что у нас нет натуральных чисел
и конечных последовательностей, доступных в Newcomp.

Мы интерпретируем наборы для Newcomp

+ Ext - это экстенсиональные множества. Членство

интерпретируется как членство. Равенство трактуется как

≡ в Ньюкомп.

Сначала мы проверяем, что интерпретации аксиом равенства Newcomp

+ Доб

доказуемы в Newcomp.

Для аксиом равенства остается доказать интерпретации
x = y → (z ∈ x → z ∈ y)
x = y → (x ∈ z → y ∈ z).
Пусть...

x, y, z-экстенсиональны. Предположим, что интерпретация x = y. это (∀w) (w ∈
x → → w ∈ y). Очевидно, z → x → z ∈ y.нам нужно проверить, что x → z → y ∈ z.

Предполагать

x ∈ z. мы применяем определение экстенсионала к x ∈ z. поскольку x ≡ y, мы имеем

y ∈ z.

Теперь мы проверяем, что интерпретация Ext доказуема в Newcomp.

Экстенсиональность читает
(∀z) (z ∈ x → → z ∈ y) → x = y.

выход

57

Первая важная Лемма, которая нам нужна, заключается в том, что каждый элемент экстенсионального множества является
экстенсиональным. Это неофициально ясно, но мы дадим тщательное доказательство в Newcomp
позже.

Позволь

x, y, z-экстенсиональны. Предположим, что интерпретация (∀z) (z ∈ x → → z ∈ y).

Тогда для всех extensional

z, z ∈ x → → z ∈ y. теперь пусть z произвольно. Если z ∈ x, то z

является экстенсиональным, а следовательно

z ∈ y. Если z ∈ y, то z является экстенсиональным и, следовательно, z ∈ x. таким образом

мы делаем вывод, что

x ≡ y, что является интерпретацией x = y.

Теперь мы подходим к схеме аксиомы Ньюкома. Мы хотим интерпретировать универсальное

закрытие Новой аксиомы.

1)

{x: ϕ} образует множество или вне любого данного множества существуют y, z, y = z, ϕ[x/y],

ϕ[x / z], с (∀x ∈ y) (ϕ → x z z)

где

y, z не появляются в Φ. Пусть v

1

,..., в

к

будьте в полном списке параметров внутри

это новая аксиома, без повторений.

Интерпретация универсального замыкания вышеприведенной аксиомы Ньюкома состоит в следующем:

предложение

2) для всего extensional

в

1

,..., в

к

, (∃extensional y) (∀extensional x) (x ∈ y → →

ϕ

∗

) или, для любого экстенсионального w, существуют экстенсиональные y, z /

∈ w, с y ≡ z, ϕ

∗

[x / y],

ϕ

∗

[x / z], и (exten экстенсиональный x ∈ y)(ϕ

∗

→ x ∈ z)

где

ϕ

∗

является результатом релятивизации всех кванторов в

ϕ к экстенсиональным множествам, и

заменяющий

= с ≡. Здесь y, z, w не появляются в ϕ и v

1

,..., в

к

, x, y, z, w являются

отчетливый.

Мы можем переписать 2) в Newcomp как

3) для всего extensional

в

1

,..., в

к

,

(∃extensional y) (∀extensional x) (x ∈ y → →

ϕ

∗

) или, для любого экстенсионального w, существуют экстенсиональные y, z /

∈ w, с y ≡ z, ϕ

∗

[x / y],

ϕ

∗

[x / z], и (∀x ∈ y)(ϕ

∗

→ x ∈ z).

Мы действительно докажем следующее усиление 3) в Newcomp. Позволь

ϕ быть

ϕ

∗

∧ x является экстенсиональным.

4) для всего extensional

в

1

,..., в

к

,

(exten extensional y)(∀x) (x ∈ y → → ϕ) или, для любого

w, существует y, z /

∈ Вт, с Y ≡ Z и ϕ [х/г], ϕ [Х/З], А (∀х ∈ м)(ϕ → х ∈ Z).в

Давайте проверим, что 4)

→ 3) в Ньюкомп. Ясно, что (∀x)(x ∈ y → → ϕ) подразумевает

(exten extensional x) (x ∈ y → → ϕ

∗

) так как если x является экстенсиональным, то ϕ ← → ϕ

∗

. Также,

любой такой

y, z в 4) являются экстенсиональными из-за конструкции ϕ. В дополнение,

(∀х ∈ м)(ϕ → х ∈ Z) означает (∀х ∈ м)(ϕ

∗

→ x ∈ z). Чтобы увидеть это, предположим

(∀х ∈ м)(ϕ → х ∈ Z), и пусть X ∈ Y и ϕ

∗

. С

y является экстенсиональным, x-экстенсиональным,

и

ϕ, и следовательно x ∈ z.

Обратите внимание, что мы только что использовали следующую первую важную лемму: каждый элемент an

экстенсиональный набор является экстенсиональным.

Также отметим, что 4)находится почти в форме универсального замыкания аксиомы Ньюкома.

Проблема заключается в отображаемом экзистенциальном кванторе. В Нью-Йорке мы, очевидно, имеем

5) для всего extensional

в

1

,..., в

к

,

(∃y)(∀x) (x ∈ y → → ϕ) или, для любого w, там

существует

y, z /

∈ Вт, с Y ≡ Z и ϕ [х/г], ϕ [х, Z], и (∀Х ∈ М)(ϕ → х ∈ Z).в

Осталось проявить себя в новом качестве,

58

Х. М. Фридман

6) для всего extensional

в

1

,...,в

к

,

(∃у)(∀Х)(Х ∈ М ←→ ϕ) → (∃ экстенсиональные г)

(∀x) (x ∈ y → → ϕ).

Мы сначала утверждаем, что

7) для всего extensional

в

1

,..., в

к

,

(∀x, u) (x ≡ u → (ϕ ← → ϕ [x / u]))

где

u не является свободным в ϕ и не среди v

1

,..., в

к

.
Чтобы доказать 7), Сначала отметим, что у нас есть
8) для всех экстенсиональных

в

1

,..., в

к

,

(∀x, u) (x = u → (ϕ ← → ϕ [x / u]))

∗

поскольку это интерпретация теоремы логики, и мы обеспечили

интерпретация аксиом равенства. Следовательно, мы имеем

9) для всего extensional

в

1

,..., в

к

,

(∀x, u) (x → u → (ϕ

∗

←→ ϕ

∗

[x / u]).

Для следующего абзаца нам понадобится вторая важнейшая Лемма. Если

x является экстенсиональным

и

x ≡ y, то y является экстенсиональным. Это неофициально понятно, но мы дадим осторожный ответ

доказательство в Ньюкомп позже.

Чтобы закончить доказательство 7), пусть

в

1

,..., в

к

будьте экстенсиональны и пусть

x ≡ u. если ϕ, то x есть

экстенсионал, и так далее

u является экстенсиональным. Также ϕ

∗

и так к 9-ти часам),

ϕ

∗

[x/u]. Отсюда ϕ [x / u].

Для другого направления, если

ϕ [x/u] тогда u является экстенсиональным, и поэтому x является экстенсиональным. Также

ϕ

∗

[x / u], и так ϕ

∗

. Следовательно

ϕ. Это подтверждает 7).

Теперь мы завершаем проверку 6) в Newcomp. Позволь

в

1

,..., в

к

быть экстенсиональным,

и пусть...

(∀x) (x ∈ y → → ϕ). Тогда y-это множество экстенсиональных множеств. По 9), y-множество

экстенсиональные множества, где любое множество эквивалентно элементу из

y-это элемент y. это так

неофициально понятно, что

y сам по себе является экстенсиональным.

Таким образом, нам нужна третья важнейшая Лемма. Если

x-это набор экстенсиональных множеств, и

(∀y, z) ((y ∈ x ∧ y ≡ z) → z ∈ x), то x является экстенсиональным.

Это завершает проверку интерпретации Newcomp

+ Ext в Newcomp.

Теперь мы формально рассматриваем экстенсиональные множества и три ключевые леммы, используемые выше.

Мы будем работать исключительно в рамках Newcomp.

Лемма 11. Разделение держится. Т.е.,

(∃у)(∀Х)(Х ∈ м ←→ (х ∈ а ∧ Φ)), где Г - это

не бесплатно внутри

ϕ.

Доказательство.

{x: x ∈ a}} не имеет двух неэквивалентных элементов вне a. поэтому он образует

набор.

По Лемме 11, мы можем использовать обозначение

г ≡ {х: х ∈ а ∧ Φ} для (∀Х)(Х ∈ м ←→
(х ∈ а ∧ Φ)). Это определяет x с точностью до эквивалентности.

Лемма 12. Для любого

X и y существует Z и такой, что (∀Вт)(Вт ∈ з ←→ (Вт ∈ х∨ж ≡ г)).

Доказательство.

{w: w ∈ x ∨ w} y} не имеет двух неэквивалентных элементов вне x. поэтому

он образует целый набор.

По Лемме 12, мы можем использовать обозначение

з ≡ Х ∪ {Y} для (∀Вт)(Вт ∈ з ←→ (Вт ∈
х ∨ ж ≡ г)). Это определяет z с точностью до эквивалентности. Мы также используем обозначение z ≡ {y}
для

(∀w) (w ∈ z → → w ≡ y), который также определяет z с точностью до эквивалентности.

выход

59

Напомним, что, по неофициальным данным, в Ньюпорте установлен целый набор

x является экстенсиональным тогда и только тогда, когда для любого

конечная последовательность

икс

1

∈ икс

2

∈ · * * x x

к

= x, k ≥ 2, для всех y, если x

1

≡ y тогда y ∈ x

2

.

Чтобы формализовать это, мы используем понятие an

x-set, для любого набора x.

Эпсилон замкнутое подмножество множества

b является w ⊆ b таким, что любой элемент элемента

от

w что лежит в b лежит в w.

Один

xset -это множество b такое, что

i) Все наборы эквивалентны

x лежат в b;

ii) каждое закрытое подмножество Эпсилона из

b, содержащий все множества, эквивалентные x, является эквивалентным

Для

б.

Мы говорим, что

x является 1extensional тогда и только тогда, когда каждый набор эквивалентен элементу x является

элемент из

x.
мы говорим, что

x является экстенсиональным тогда и только тогда, когда каждый элемент каждого x-множества является

1-extensional.

Обратите внимание, что это доказуемо в ZF, что

x-множества являются именно множествами b такими, что все

наборы эквивалентны

x лежат в b, и каждый элемент b является первым членом конечного Эпсилона

цепь длины

≥ 1, заканчивающийся множеством, эквивалентным x.таким образом, наше формальное определение
экстенсионала совпадает с неформальным определением экстенсионала.

Лемма 13. Пусть...

b - это X -множество. Предположим y ≡ {x}. Тогда любое c ≡ b {{y} является y -множеством.

Доказательство. Ясно, что каждый набор эквивалентен

y лежит в c. пусть z-замкнутое подмножество Эпсилона c

содержащий все наборы эквивалентные

y. тогда все множества, эквивалентные x, лежат в z. пусть w ≡ z ∩ b.

Мы утверждаем, что

w-это замкнутое подмножество Эпсилона b, содержащее все множества, эквивалентные x.

Чтобы увидеть это, пусть

в ∈ у ∈ Вт, в ∈ б. Тогда V ∈ у ∈ Z и V ∈ C, и поэтому V ∈ Z и, следовательно,

v ∈ w. это устанавливает требование.

С

b-это X-множество, w ≡ b. осталось показать, что z содержит все элементы c

то есть не в том

b. т. е., z содержит все множества, эквивалентные y.это у нас уже есть.

Лемма 14. Каждый элемент экстенсионального набора является экстенсиональным.

Доказательство. Пусть...

x ∈ y, где y является экстенсиональным.

Каждый элемент каждого

Ъ-набор есть

1-extensional. Позволь

u-элемент некоторого x-множества b. пусть y ≡ {x}. Пусть c ≡ b {{y}.

По Лемме 13,

c-множество y и u ∈ c. следовательно, u является 1-экстенсиональным.

Лемма 15. Если бы...

x ≡ y тогда каждое x -множество является y -множеством.

Доказательство. Пусть...

b - это X-множество. Мы проверяем, что b является y-множеством. Ясно, что каждый набор эквивалентен y

ложь внутри

b. предположим, что z-это замкнутое подмножество Эпсилона b, содержащее все множества, эквивалентные
y в качестве элемента. Тогда z-это замкнутое подмножество Эпсилона b, содержащее все множества
, эквивалентные

x как элемент, и поэтому z ≡ B.

Лемма 16. Если бы...

x является экстенсиональным и x ≡ y, то y является экстенсиональным.

60

Х. М. Фридман

Доказательство. Предположим, что

z является элементом некоторого множества Y. По Лемме 15 z является элементом некоторого
X-множества, и поэтому z является 1-экстенсиональным.

Лемма 17. Пусть...

b -множество x, а y -элемент элемента b. Тогда есть еще один способ:

один

x -множество c такое, что y ∈ c.

Доказательство. Пусть...

b, x, y-как даны. Пусть Y ∈ Z и ∈ Б. Пусть D ≡ ∪ Б {г} и c ≡ {з ∈ д: з ∈ б

∨ z является элементом элемента b}. Ясно b ⊆ c и y ∈ c.

Предполагать

w-замкнутое подмножество Эпсилона c, содержащее все множества, эквивалентные x. пусть
w ≡ w ∩ b. мы утверждаем, что w-замкнутое подмножество Эпсилона b, содержащее все множества
, эквивалентные x.

x. чтобы увидеть это, пусть v ∈ u ∈ w, v ∈ b. тогда u, v ∈ c и так v ∈ w.

Это устанавливает претензию. Следовательно

w ≡ b.

Остается проверить, что

c ⊆ w. элементы c, которые не находятся в b, являются элементами

из элементов которых:

b. поскольку w является замкнутым подмножеством Эпсилона c, элементы c не в b

лежать в

в.

Лемма 18. Пусть...

b ≡ {u}. Тогда b -это u -множество.

Доказательство. Ясно

b содержит все множества, эквивалентные u. пусть z-замкнутое подмножество Эпсилона
b, содержащее все множества, эквивалентные u.тогда, очевидно, z ≡ b.

Лемма 19. Пусть...

b - множество x, y ∈ b, y ≡ x. Существует z ∈ x такое, что y является

элемент какой-то

z -set.

Доказательство. Пусть...

w-множество всех элементов b, лежащих в некотором Z-множестве, z ∈ x, вместе с

наборы эквивалентны:

x. достаточно показать, что b ⊆ w. для этого достаточно показать

тот

w-замкнутое подмножество Эпсилона b, содержащее все множества, эквивалентные x. т. е., w является

Эпсилон замкнутое подмножество

б.

Позволь

u ∈ v ∈ w, u b b. сначала предположим v ≡ x. пусть c ≡ {u}. По Лемме 18, c есть a

u-множество, u ∈ x, с u ∈ c. следовательно, u ∈ w.

Теперь предположим

v ≡ x. тогда v лежит в некотором z-множестве, z ∈ x. по Лемме 17, так
как u ∈ v, мы видим, что u лежит в некотором z-множестве, z ∈ x. следовательно, u ∈ w.

Лемма 20. Пусть...

x - это 1 -экстенсиональный набор экстенсиональных наборов. Тогда x является экстенсиональным.

Доказательство. Пусть...

x будет таким, как дано, и пусть y-элемент некоторого X-множества b. если y ≡ x, то y

является 1-экстенсиональным. Если

y ≡ x тогда по Лемме 19, y является элементом некоторого Z-множества с

z ∈ x. таким образом, y является 1-экстенсиональным.

Теорема 21. Новичок

+ Экстенсиональность интерпретируется в Newcomp.

Доказательство. По аргументу, приведенному перед Леммами. Три ключевые леммы, которые
были процитированы, являются Леммами 14, 16 и 20, соответственно.

выход

61

ZFC

+ V = L + SVWISUB в Newcomp

В свете теоремы 21, нам нужно только интерпретировать ZFC

+ V = L + SVWISUB in

Новичок

+ Объемность.

Мы будем использовать термин " виртуальный набор” всякий раз, когда у нас есть определяемое свойство наборов

представлено как

{x: Φ}, С разрешенными параметрами.

Пока доказательство леммы 60 не будет завершено, мы будем работать полностью в системе

Новичок

+ Доб.

Мы будем использовать абстрактную нотацию с фигурными скобками для обозначения виртуальных множеств. Мы говорим, что

эти выражения существуют, чтобы указать,что они образуют наборы.

Все строчные буквы будут представлять собой наборы (не виртуальные наборы).

Удобно принять следующую терминологию. Позволь

A быть виртуальным множеством. Один

расширение внутри

A состоит из двух элементов x, y ∈ a таких, что x = y и x ∩ A ⊆ y.

Мы говорим, что расширение лежит снаружи

z если и только если ни один из компонентов не является членом

от

зет.

Мы говорим, что расширение соответствует

z если и только если хотя бы один компонент является элементом

от

зет.

Очевидно, что мы можем переформулировать Newcomp следующим образом:
если все расширения в виртуальном множестве встречаются с некоторым заданным множеством, то виртуальное множество образует a

набор.

Если никакое расширение в виртуальном наборе не лежит вне некоторого заданного набора, то виртуальный набор
формирует набор.

Лемма 22. Любое виртуальное подмножество набора образует набор. Пустой набор существует.
Пересечение любого виртуального множества с множеством образует множество. Для всех

x, y, x {{y} существует. Для всех

k ≥ 0 и x

1

,..., икс

к

,

{икс

1

,..., икс

к

} существует.

Доказательство. Первое утверждение очевидно, так как все расширения виртуального подмножества лежат в
множестве. Вторая и третья претензии следуют непосредственно из первой претензии. Что касается
четвертого утверждения, то следует отметить, что каждое расширение в

x ∪ {y} соответствует x.пятый пункт формулы следует
из второго и четвертого пунктов формулы.

Лемма 23. Пусть...

A быть транзитивным виртуальным множеством. Расширения в A -это именно те

x, y ∈ A с x

Y.

Доказательство. Для прямого направления, пусть

x, y ∈ A, x = y, x ∩ A ⊆ y. тогда x ⊆ y по формуле

транзитивность

А. обратное направление немедленно.

Мы пишем:

y, z = {{y}, {y, z}}.

Лемма 24.

x {{{y}: y ∈ x} существует.x {{{y, z}: y, z ∈ x} существует. x ∪ {{y, z}: y, z ∈

x} {{{{y}}: y ∈ x} существует.x {{{y, z}: y, z ∈ x} {{y, z: y, z ∈ x} существует.

62

Х. М. Фридман

Доказательство. Заметим, что все четыре виртуальных множества являются транзитивными, и поэтому мы можем применить лемму 23.
Для первого утверждения обратите внимание, что никакие расширения не лежат снаружи

x. по второму пункту формулы изобретения следует отметить:

что никакие расширения не лежат снаружи

x {{{y}: y ∈ x}. В отношении третьей претензии следует отметить, что нет

расширения лежат снаружи

x ∪ {{y, z}: y, z ∈ x}. Для четвертого утверждения мы покажем, что

никакие расширения не лежат снаружи

x ∪ {{y, z}: y, z ∈ x} ∪ {{{y}}: y ∈ x}. Пусть A, b,
c, d-разложение в x {{{y, z}: y, z ∈ x} {{ y, z: y, z ∈ x} снаружи

x ∪ {{y, z}: y, z ∈ x} ∪ {{{y}}: y ∈ x}. Тогда {{a}, {a, b}} ⊆ {{c}, {c, d}}, a = b,
c = d. следовательно, левая и правая стороны имеют два элемента, и каждый состоит из множества с
одним элементом и множества с двумя элементами. Так

{a} = {c} и {a, b} = {c, d}. Следовательно

a = c и b = d.

Мы пишем:

x · x для { y, z: y, z ∈ x}. Двоичное отношение на x является подмножеством x · x.

Мы часто используем:

R для бинарных отношений, и напишите R(a, b) для a, b ∈ R.

Заметим, что по Лемме 22 все виртуальные бинарные отношения на

x существует (как множество). Используя
(x ·x)·(x ·x), мы можем моделировать все виртуальные 4-арные отношения на x как множества очевидным образом.

Мы можем продолжать удваивать arity таким образом, Таким образом, делая доступными все Декартовы

державы:

x путем очевидного моделирования. Это очень мощно, в свете разделения
(Лемма 22), и означает, что в соответствующем смысле мы имеем полную логику второго порядка
над

(x,∈) в нашем распоряжении.

Мы предупреждаем читателя о том, что существование

x * y, по-видимому, не доступен в

Новичок

+ Доб. Даже более фундаментальный x ∪ y, по-видимому, не доступен в

Новичок

+ Доб.

Мы говорим, что

x хорошо обоснован тогда и только тогда, когда для всех непустых y ⊆ x существует

z ∈ y такое, что z не имеет общих элементов с Y.

Мы определяем:

W (x) тогда и только тогда, когда x является транзитивным и хорошо обоснованным.

Мы хотим извлечь " порядковый номер” из

x с W (x). Конечно, мы не можем
построить ничего похожего на ординалы фон Неймана. Вместо этого мы разрабатываем обычное
отношение сравнения рангов на

x, и использовать его классы эквивалентности для моделирования ординалов.

Мы определяем:

C (R, x, y) тогда и только тогда, когда

я)

W (x), W (y) и X · Y существует;

ii)

R ⊆ x · y;

iii) для всех

З ∈ х и W ∈ г, р(з, ж), если и только если (∀а ∈ Z) и(∃Б ∈ Ш)(Р(А, B)).

Лемма 25. Существует не более одного

R ⊆ x · y С C (R, x, y).

Доказательство. Пусть...

C(R, x, y), C (R, x, y), R = R. Тогда w (x), W (y) и x · Y существуют.

Позволь

z ∈ x-Эпсилон наименьший такой, что (∃w ∈ y)(R(z, w) → → R (z, w)). Тогда
(∀a z z) (∀b ∈ y) (R(a, b) → → R (a, b)). Следовательно, (∀а ∈ Z) и(∃Б ∈ W) и(Р(А, B)) ←→
(∀а ∈ Z) и(∃Б ∈ Ш)(Р (А, B)). Следовательно, R (z, w) ←→ R (z, w).

Лемма 26. Пусть...

C (R, x, y) и z ⊆ y являются транзитивными. Тогда C (R ∩ x · z, x, z).

выход

63

Доказательство. По Лемме 22,

W (z) и x · z существует. Пусть u x x и v ∈ z. тогда R (u, v), Если

и только если...

(∀а ∈ х)(∃B В ∈ В)(Р(А, B)∧ а, в ∈ Х · З).

Лемма 27. Пусть...

C(R, x, y), C (R, x, z). Тогда (∀Z в ∈ Х)(∀Вт ∈ Г ∩ З)(Р(З, Ж) ←→
Р (З, Ж)).

Доказательство. По Лемме 26,

C(R ∩ x · z, x, z), C (R ∩ x · z, x, z). По Лемме 25, R ∩ x · z =
R ∩ x * Z.

Лемма 28. Пусть...

W (x), W (y) и x · Y существуют. Пусть A-виртуальное множество транзитивных

подмножества из

y такой, что для всех z ∈ A существует R с C(R, x, z). Тогда существует
R с C (R, x, ∪A).

Доказательство. Во-первых,

∪A-транзитивное подмножество y, поэтому W (∪A). По Лемме 25, для всех

z ∈ A, существует уникальный R

зет

с

C(R

зет

, x, z). Так как эти R

зет

являются подмножествами

x * y,

мы можем установить

R, чтобы быть союзом R

зет

и знайте, что

R существует. Пусть A ∈ X и
B В ∈ ∪А. проверим, что Р (А, B) ←→ (∀С ∈ а)(∃д ∈ б)(р (А, B)). Пусть b ∈ z A. A.
тогда

Р

зет

(a, b) ←→ (∀c ∈ a)(∃d ∈ b) (R

зет

(a, b)). По Лемме 27, для всех a ∈ x и

b ∈ z, R

зет

(a, b) ←→ R (a, b).

Лемма 29. Пусть...

W (x), W (y) и x · Y существуют. Существует единственный R такой, что
C (R, x, y). В частности, если W(x), то существует единственный R такой, что C (R, x, x).

Доказательство. Уникальность заключается в Лемме 25. Для существования, пусть

x, y-как даны. Мы первые

утверждают, что каждый

z ∈ y является элементом транзитивного множества w ⊆ y такого, что для некоторых R,
C(R, x, w). Предположим, что это ложно, и пусть z ∈ y-минимальный контрпример Эпсилона.

Теперь каждый

w ∈ z-элемент транзитивного множества u ⊆ y такой, что для некоторого R,

C (R, x, u). Пусть z

∗

будьте объединением всех переходных процессов

u ⊆ y такое, что для некоторого R, C(R, x, u).

По Лемме 28,

z ⊆ z

∗

и

зет

∗

является транзитивным подмножеством

y и для некоторых R, C(R, x, z

∗

).

Исправь такое

R. Теперь z

∗

∪ {z} является транзитивным подмножеством y. определите R (a, b) ←→

(Р(А, B) ∨ (б = з ∧ (∀С ∈ а)(∃д ∈ б)(р(С, D)))). Тогда C(R, x, z

∗

∪ {Зет}). Этот

противоречит выбору компании:

зет.

Таким образом, мы показали, что каждый

z ∈ y является элементом транзитивного множества w ⊆ y таких

это для некоторых

R, C (R, x, w). Чтобы завершить доказательство, примените лемму 28.

Второе утверждение вытекает из первого утверждения и леммы 24.

Лемма 30. Пусть...

C (R, x, x). Тогда R -рефлексивный, транзитивный, связный.

Доказательство. Пусть...

C (R, x, x). Предположим, что R не является рефлексивным, и пусть y ∈ x-Эпсилон минимальный

такие что

R (y, y). Тогда R (x, x) является непосредственным.

Предполагать

R не является транзитивным, и пусть y, z, w-контрпример к транзитивности,

с

y выбран как Эпсилон минимальный. Предположим (∀а ∈ м)(∃б ∈ Z) и(Р(А, B)), (∀а ∈ Z)и
(∃Б ∈ Ш)(Р(А, B)). Пусть a ∈ y. зафиксируем b ∈ z, R (a, b). Исправить c ∈ w, R(b, c). По
минимальности работы:

y, R (a, c).

64

Х. М. Фридман

Предполагать

R не связан, и пусть y, z-контрпример к связности с
y, выбранным как минимальный Эпсилон. Сейчас (∀а ∈ м)(∃б ∈ Z) и(Р(А, B)), (∀а ∈ Z)и
(∃Б ∈ Г)(Р(А, B)). Пусть a ∈ y, (∀b ∈ z) (R (a, b)). Пусть b ∈ z, (∀c ∈ y) (R (b, c)).
Тогда...

R (a, b), R(b, a). Это противоречит минимальности y.

Позволь

W (x). Запишем ≤(x) для единственного R такого, что C (R, x, x). Мы пишем ≡(x)

для отношений

≤(x) (a, b) ∧ ≤(x) (b, a). Мы пишем:

≤(x) (b, a). Аналогично для >(x), ≥(x).

Простое появление любого из четырех выражений, определенных в предыдущем пункте-

график будет принят, чтобы подразумевать, что

W (x).

Лемма 31. Если бы...

W(x), a ∈ b ∈ x, то <(x) (a, b). Если W (x) и x непусты, то x

имеет элемент epsilon minimum

∅ и ≤(x) имеет единственный минимальный элемент ∅. Если
W (x) и x имеет более одного элемента, то ≤(x) без ∅ имеет единственный минимальный
элемент

{∅}.

Доказательство. Пусть...

a, b-контрпример, где a-минимальный Эпсилон. Сначала мы покажем, что
≤(x) (a, b). Пусть c ∈ A. тогда Отсюда (∀c ∈ a) (∃d ∈ b) (≤(x) (c, d)).
Поэтому

≤(x) (a, b).

Теперь предположим

≤(x) (b, a). Тогда (∀c ∈ b) (∃d ∈ a) (≤(x) (c, d)). Пусть d ∈ a,

≤(x) (a, d). Это противоречит минимальности Эпсилона а.

А теперь давай

W (x) и x не являются пустыми. Пусть u-минимальный элемент Эпсилона x.поскольку
x транзитивен, u=∅. Очевидно, что ∅ - это ≤(x) минимум. Также если v ∈ x непусто,
то

<(х)(∅, х).

Теперь предположим, что

x имеет более одного элемента. Пусть v-Эпсилон минимальный

элемент из

икс\{∅}. Поскольку x является транзитивным, единственным элементом v является ∅, и поэтому v = {∅}.

Также

≤({∅}, U) для всех U ∈ х\{∅}, с ≤(∅, W) для всех ж ∈ х. Пусть B ∈ X, б = ∅, {∅}.

Позволь

c ∈ b, c = ∅. Тогда ≤(x) (b, { ∅ }) невозможно, так как ≤(x) (c,∅). Следовательно,

уникальность проекта

{∅} как минимум устанавливается элемент ≤(x) без∅.

Лемма 32. Предположим

W (x), a, b ∈ x. <(x) (a, b) тогда и только тогда, когда (∃d ∈ b) (≤(x) (a, d)).

Доказательство. Пусть...

a, b ∈ x-контрпример к прямому направлению, где a-Эпсилон

минимальный. У нас есть

<(х)(а, б), (∃д ∈ B) (в≤(Х)(а, д)).

Сейчас

≤(x) (b, a). Отсюда (∀d ∈ b) (∃c ∈ a) (≤(x) (b, a)). Исправить d ∈ b такое

тот

(∀c ∈ a)(Нам нужно только пока