Структура всех множеств счетных ординалов

Какова следующая структура, с точки зрения сложности, чтобы рассмотреть за пределами

структура,

P (ω), ω,·,+,∈?

Сдача в аренду

P (Ord) обозначают класс всех множеств ординалов, он является следствием аксиомы

выбора, что Вселенная множеств логически эквивалентна структуре,

P (Ord), Ord,·,+,∈.

Поэтому естественная иерархия структур задается последовательностью структур,

P (α), α,·,+, ∈,

где

α-это (бесконечный) порядковый номер, который закрыт при операции · (поэтому для всех β

и для всех нас

γ < α, β · γ < α).

Для каждого такого Счетного порядкового номера,

α, структура

P (α), α,·,+, ∈

сводится к структуре,

P (ω), ω,·,+,∈.

Поэтому я утверждаю, что следующая естественная структура является

P (ω

1

), ω

1

, ·, +, ∈,

что является стандартной структурой для всех наборов счетных ординалов. Хорошо известно, что
эта структура эквивалентна структуре всех множеств наследственной мощности меньше
ℵ

2

.

Независимо от того, является ли CH holds свойством первого порядка этой структуры. Поэтому любые

достаточно полная аксиоматизация для этой структуры должна разрешить ч.

Теория множеств после Рассела

33

Как я уже отмечал, Проективная детерминация является правильной аксиоматизацией для

структура,

P (ω), ω,·,+,∈.

Есть ли обобщение этой аксиомы на структуру,

P (ω

1

), ω

1

, ·, +, ∈?

Это, конечно, неопределенный вопрос. Чтобы сделать его более точным, требуется логика, которая
превосходит логику первого порядка. Прежде чем обсуждать соответствующую логику и помочь мотивировать
определение, я отмечу следующую теорему, которая дает интересную переформулировку
для аксиомы, немного более сильной, чем Проективная детерминация.

L (R) - это конструктивная Вселенная Геделя, релятивизированная к R; это наименьшая внутренняя

модель Вселенной, содержащая

R, ординалы, и в которых содержатся аксиомы теории множеств
(за исключением, возможно, аксиомы выбора). AD-это аксиома, которая для всех
наборов

A ⊆ P (ω), игра G

Один

будет определять. Как я уже отмечал ранее, это аксиома

противоречит аксиоме выбора. Однако аксиома

L(R)

РЕКЛАМА

это не очевидно непоследовательно, так как аксиома выбора может не удержаться

L (R); Если B
-полная булева алгебра, заданная частичным порядком, который Коэн первоначально использовал
для установления согласованности отрицания гипотезы континуума, то

В

Б

“

L(R)

аксиома выбора”

.

По сути аксиома, “

L(R)

AD", является естественным усилением проективной детерминации

с

P (R) ∩ L(R)

является естественным продолжением проективных множеств.

Если существует правильный класс кардиналов Woodin

2

затем

L(R)

РЕКЛАМА

;

и более того, для всех полных булевых алгебр,

Б,

В

Б

“

L(R)

РЕКЛАМА”

.

Теорема 1. Предположим, что существует правильный класс сильно недоступных кардиналов.
Следующее эквивалентно::

1. Для всех полных булевых алгебр,

B,

В

Б

“

P (ω

1

) ∈ L (R)”.

2

Для определения кардинала Вудина и связанных с ним исторических замечаний см. [6].

34

W. H. Woodin

2. Для всех полных булевых алгебр,

B,

В

Б

“

L(R)

РЕКЛАМА”

.

3. Для всех полных булевых алгебр,

B,

В

Б

“

L(R)

аксиома выбора”

.

Таким образом, если существует собственный класс сильно недоступных кардиналов и если теория

о внутренней модели

L (R) является обобщенно абсолютным, то обязательно, L(R)

РЕКЛАМА. Наконец
, это нетривиальное утверждение; если есть правильный класс сильно недоступных кардиналов, то
во внутренней модели Геделя,

L, существует правильный класс сильно недоступных кардиналов, но

в

L аксиома проективной детерминации ложна. Другими словами, предположение о том, что

существует правильный класс сильно недоступных кардиналов не подразумевает

L(R)

РЕКЛАМА.

4.

-Логика

Я определяю:

-логика. Следуя изложению [2], я сначала определяю, когда предложение

φ в

язык для теории множеств является

- действительный как следствие теории

T (и исключить

определение понятия

∗

-логика).

Предположим, что

T-множество предложений в языке теории множеств, и что φ является a

предложение. Затем

Т

φ, если для всех полных булевых алгебр, B, для всех ординалов α, если

В

Б

α

Т

затем

В

Б

α

φ.

Примечательным фактом является то, что если есть правильный класс кардиналов Woodin, то для

каждая теория,

T, а для каждого предложения φ-отношение, T

φ, является в общем абсолютным.

Именно этот факт и составляет понятие,

Т

φ, интересно.

Теорема 2 (ZFC). Предположим, что существует правильный класс кардиналов Woodin,

T - это a

набор предложений и тому подобное

φ -это предложение. Тогда для каждой полной булевой алгебры B,

В

“

Т

φ”

если и только если

В

Б

“

Т

φ”.

Нетривиальное направление показывает, что если

В

Б

“

Т

φ”

затем

В

“

Т

φ”.

Теория множеств после Рассела

35

Понятие о том, что

Т

φ сложнее определить и включает в себя определение

о трансфинитной иерархии подмножеств

R, который расширяет иерархию проективных

подмножества из

Р. Я предупреждаю, что данное здесь определение несколько отличается от приведенных определений

приведено в предыдущих отчетах. Это изменение мотивировано определением термина

Т

φ

что устраняет необходимость в определении

∗

-логика

3

. Таким образом, акцент теперь сделан

об отношении удовлетворенности,

Т

φ, и определение отношения доказательства, T

φ,
становится просто попыткой изолировать соответствующее понятие доказательства. Наконец
, приведенное здесь определение отношения,

Т

φ, задается только в контексте ZFC, нет

делаются дополнительные теоретико-множественные допущения.

Набор реалов,

A ⊆ R, является универсальным Байром, если для каждого компактного пространства Хаусдорфа,

, и для каждой непрерывной функции

Ф:

→ Р,

набор

{икс ∈

| F (x) ∈ A} обладает свойством Байра: т. е. существует открытое множество

О ⊆

такое, что симметричная разница,

{икс ∈

| F (x) ∈ A}

О,

это скудно, [4].

Предполагая существование собственного класса кардиналов Вудина, тогда каждое проективное
множество универсально Байр. Следующая теорема показывает, что гораздо более сильное утверждение
верно.

Теорема 3. Предположим, что существует правильный класс кардиналов Woodin и что

A ⊆ R -это универсальный Байр. Затем

1.

L(A, R)

РЕКЛАМА

+

,

2. каждый комплект

B ∈ P(R) ∩ L (A, R) является универсальным Байром.

Вот аксиома, объявление

+

, является техническим вариантом аксиомы AD, с функцией

вот такое утверждение, что

L(A, R)

РЕКЛАМА

+

является ли, возможно, правильным обобщением

утверждение о том, что

L(R)

AD, [11]. На самом деле, если

L(R)

Объявление тогда обязательно,

L(R)

РЕКЛАМА

+

но это не так просто доказать.

Предположим, что

A ⊆ R универсально Байр и что M является Счетной транзитивной моделью

из ZFC. Набор

M является a-замкнутым, если для всех счетных транзитивных моделей, N, таких что N

является ли набор общим расширением

М,

A ∩ N N. N.

Понятие о том, что

M-замкнутый может быть определен без форсирования [13].

Предположим, что

T-это теория, а φ-предложение. Тогда T

φ если существует a

набор

A ⊆ R такое, что

1.

L(A, R)

РЕКЛАМА

+

,

3

На самом деле, отношение,

Т

φ, является отношением, Т

∗

φ, из предыдущих счетов.

36

W. H. Woodin

2. каждый набор внутри

P (R) ∩ L (A, R) является универсальным Байром,

3. для всех счетных транзитивных

A-замкнутые множества M, для всех ординалов α ∈ M, Если M

α

Т

затем

М

α

φ.

Универсальный комплект Baire,

А, это “ - доказательство". Существует естественное понятие длины

это доказательство, которое дается порядковым рангом

A в иерархии сложности ватина

[13]. Это в свою очередь позволяет определить понятие кратчайшего

- доказательство того, что

φ из T.
Определение работает в силу следующей теоремы.

Теорема 4 (

(ZFC)). Предположим, что A ⊆ R, B ⊂ R и что A и B каждый свидетель

тот

Т

φ. Тогда существует множество

C ∈ P (R) ∩ L (A, R) ∩ L (B, R)

такие что

C свидетели T

φ.

С помощью этого определения длины можно определить обычные виды предложений Геделя

и т.д. Таким образом, во многом

- логика-это естественное трансфинитное обобщение первого порядка

Логические.

Как правило, для анализа

Т

φ предполагается существование собственного класса

Кардиналы Woodin и для анализа

Т

φ, предполагается, что для всех универсально

Байровые наборы

Один,

L(A, R)

РЕКЛАМА

+

,

и что каждый набор в

P (R) ∩ L (A, R) является универсальным Байром–оба этих утверждения
обязательно выполняются, предполагая, что существует правильный класс кардиналов Вудина. Тем не менее
удобно определять свои отношения,

Т

φ и T

φ, без всего этого

дополнительное предположение. Однако следует отметить, что определение этого понятия

Т

φ является пустым, если

интерпретируется в любой внутренней модели формы

L[A], где A-множество.

Теорема 5 (- здравость (ZFC)). Предположим, что

T -это множество предложений, которое φ является a

приговор, а то

Т

φ. Тогда T

φ.

Возникает закономерный вопрос, почему такое определение понятия

Т

φ должен быть правильным. Один

краткое обоснование заключается в следующем. Во-первых для каждого

a ∈ R, для каждого набора предложений T, и

для каждой формулы:

φ(x

0

) можно обобщить предыдущее определение естественным образом

и определите отношение

Т

φ[a]. Точнее T

φ[a], если для всех полных

Булева алгебра,

B, для всех ординалов α, если

В

Б

α

Т

затем

В

Б

α

φ[a].

Определите набор

A ⊂ R, чтобы быть

- конечно, если существует формула

φ(x

0

) такие что

A = {a ∈ R | ∅

φ[a]}

и такие, что для всех полных булевых алгебр,

B, следующие удержания в V

Б

:

Теория множеств после Рассела

37

Для всех

a ∈ R либо ∅

φ[a] или ∅

(φ) [a].

Теперь предположим, что

∅

φ. Тогда по аналогии с логикой первого порядка должно быть:

существует множество

A ⊆ R такое, что A есть

- конечная и такая, что для всех счетных транзитивных

Модели,

M, of ZFC, если M подходяще закрыт под A, то

М

“

∅

φ”.

Дано определение данного отношения,

∅

φ, требование, чтобы M было соответствующим образом закрыто

под

А должен быть:

Для всех булевых алгебр,

Б

М

∈ M, Если B является завершением B

М

и если бы...

G ⊆ B является V-родовым, то

Один

Г

∩ M[G ∩ B

М

] ∈ M[G ∩ B

М

]

где

Один

Г

является ли набор из

a ∈ R

V [G]

такие что

V [G]

“

∅

φ

Один

[ля]”,

и где именно

φ

Один

(икс

0

)- это формула, свидетельствующая о том, что а есть

- конечно.

Короче говоря,

- конечных множеств должно быть достаточно, чтобы “засвидетельствовать " отношение

∅

φ, по крайней мере

для счетных транзитивных моделей.

Теорема 6 (ZFC). Предположим, что существует правильный класс кардиналов Woodin и что

A ⊆ R -это

- конечно. Затем каждый набор в

P (R) ∩ L (A, R) универсально Baire и

L(A, R)

РЕКЛАМА

+

.

Теперь предположим, что существует правильный класс кардиналов Вудина. Из этого следует, что для

каждый

- конечный набор

A, если M счетное транзитивное множество такое, что

М

ZFC

и такое, что

M является a-замкнутым, то M подходяще замкнут под A в определенном смысле

выше. Это предполагает определение отношения,

Т

φ, и здравость

Теорема показывает, что определение не слишком сильно.

То

Гипотеза утверждает, что если существует правильный класс кардиналов Вудина, то

для каждого предложения

φ, если ∅

φ тогда ∅

φ. Сформулировано это следующим образом:

Гипотеза
-это просто обобщение теоремы полноты Геделя. Очень важно,
чтобы

Гипотеза обусловлена существованием больших кардиналов, которые не
являются значительно слабее, чем кардиналы Вудина. Это утверждение очевидно из следующей
теоремы.

Теорема 7 (ZFC). Предположим, что существует собственный класс недоступных пределов Woodin

Кардиналс. Тогда существует транзитивная внутренняя модель

N такое, что

Н

ZFC

+ "Существует правильный класс недоступных пределов Woodin cardinals”

и такое что для всех

κ < δ, где δ -наименьший кардинал Вудина из N, если κ сильно

недоступный в

N затем в N

κ

следующее удержание:

38

W. H. Woodin

1.

∅

"Нет никаких кардиналов Вудина”;

2.

∅

"Нет никаких кардиналов Вудина”;

3. Для каждого универсально комплекта Baire,

A ⊆ R, L(A, R)

РЕКЛАМА

+

и каждый набор внутри

P (R) ∩ L (A, R) является универсальным Байром.

Путем варьировать выбор

κ можно устроить так, что в N

κ

существует правильный класс
кардиналов, удовлетворяющий любому заданному большому кардинальному понятию "строго слабее", чем быть
кардиналом Вудена. Одна трудность (но это не главная трудность) в создании
внутренней модели

N теоремы заключается в управлении универсальными Байровыми множествамиn

κ

где
κ находится ниже наименьшего кардинала Вудина из N; т. е. во внутренней модели без
кардиналов Вудина. Например, можно показать, что в

L, каждый набор реалов является непрерывным
образом универсального набора Байров. Это обобщается на Ранговые начальные сегменты
внутренней модели одного кардинала Вудина ниже кардинала Вудина и на Ранговые начальные
сегменты всех соответственно закрытых тонких структурных внутренних моделей

4

ниже наименее Вудин
кардинал модели. Другой тонкий аспект заключается в том, что это свойство этих начальных
сегментов ранга (что каждый набор реалов является непрерывным образом универсального набора Байра)
также имеет место в их множестве общих расширений, для которых никакие реалы не добавляются. Итак, в этих
ранговых начальных сегментах форсируются понятия, которые являются

ω-closed может добавить универсально Baire

наборы, то, что не может произойти, если есть кардинал Вудин.

Формально более сильная гипотеза о том, что если существует собственный класс кардиналов Вудина

тогда для всех теорий,

T, и для всех предложений, φ, если T

φ тогда T

φ, вероятно

эквивалентно тому, что

Предположение. По крайней мере, современные подходы к доказательству

Гипотеза, если она будет успешной, также докажет эту более сильную гипотезу. Обе гипотезы
непротиворечивы. Например, если теория,

ZFC

+ "Существует правильный класс кардиналов Woodin”,

непротиворечива тогда и теория,

ZFC

+ "Существует правильный класс кардиналов Woodin" + " The

Гипотеза держится".

Это также свидетельствует о том, что определение

Т

φ-это правильно. Пока не известно, будет ли это

Гипотеза последовательно ложна.

Для каждого предложения

φ, φ-это

ZFC

- действительно, если ZFC

φ и φ-это

ZFC

- доказуемо, если

ZFC

φ.

Предположим, что существует правильный класс кардиналов Woodin. Затем для каждого предложения

φ в

язык для этой структуры,

P (ω), ω,·,+, ∈,

либо это предложение “

P (ω), ω,·,+, ∈

φ " - это

ZFC

- доказуемо или приговор

“

P (ω), ω,·,+, ∈

(φ)”

является

ZFC

-доказуемый.

4

Внутренние модели формы

L[E], как определено Mitchell-Steel в [8].

Теория множеств после Рассела

39

Это, конечно, должно потерпеть неудачу для структуры,

P (ω

1

), ω

1

, ·, +, ∈,

и это основная проблема. Однако есть вариант, который явно не
исключен. Перед постановкой вопроса удобно зафиксировать еще несколько обозначений. Предположим
, что ψ и φ-это предложения. Тогда φ-это

ZFC

- доказуемо от

ψ если подразумевается

(ψ → φ)

является

ZFC

-доказуемый. Таким образом

φ-это

ZFC

- доказуемо от

ψ, если для ZFC ∪ {ψ}

φ. Предложение ψ

является

ZFC

- последовательный, если его отрицание

(ψ) это не так

ZFC

-доказуемый.

Поиск теоремы абсолютности для структуры,

P (ω

1

), ω

1

, ·, +, ∈,

естественно, это приводит к следующему вопросу.

Предположим, что существует правильный класс кардиналов Woodin. Есть ли там Ан

ZFC

-

последовательное предложение

такое, что для всех предложений

φ в языке для

структура,

P (ω

1

), ω

1

, ·, +, ∈,

либо это предложение “

P (ω

1

), ω

1

, ·, +, ∈

φ " - это

ZFC

- доказуемо от

или приговор: “

P (ω

1

), ω

1

, ·, +, ∈

(φ) " является

ZFC

- доказуемо от

?

Ответ - "да", и я вскоре рассмотрю один пример такой аксиомы. Для

для краткости скажу аксиому,

, хорошо; т. е. хорошо для структуры,

P (ω

1

), ω

1

, ·, +, ∈,

если

находиться как

ZFC

- непротиворечив и обладает тем свойством, что для всех предложений

φ в языке

для структуры,

P (ω

1

), ω

1

, ·, +, ∈,

либо это предложение “

P (ω

1

), ω

1

, ·, +, ∈

φ " - это

ZFC

- доказуемо от

или приговор:

“

P (ω), ω,·,+, ∈

(φ)”

является

ZFC

- доказуемо от

.

Релевантность хороших предложений к проблеме СН дается в следующем

теорема.

Теорема 8 (ZFC). Предположим, что существует правильный класс кардиналов Woodin и

предположим, что

это предложение, которое является хорошим. Затем

ZFC

+

(ГЛ).

40

W. H. Woodin

Другими словами, если теория структуры,

P (ω

1

), ω

1

, ·, +, ∈,

должно быть решено на основе хорошей аксиомы, то обязательно CH ложен. Поскольку есть
хорошие аксиомы, у нас есть аргумент, что CH ложен, основанный не на конкретном выборе
аксиомы, а скорее просто на свойстве полноты, которое аксиома должна
иметь.

Предложение

является

ZFC

- удовлетворительно, если его отрицание,

(), нет

ZFC

-действительный. Таким образом

является

ZFC

- удовлетворительно, если существует полная булева алгебра и порядковый номер

α такое, что

В

Б

α

ZFC

∪ { }.

Остаются два принципиальных вопроса. Предположим, что существует правильный класс кардиналов Woodin.

1. Есть ли хорошая аксиома,

, такие что

является

ZFC

- удовлетворительно?

2. Предполагать

есть такое предложение и что

является

ZFC

- вполне удовлетворительно.

слабо хорош, если для

все приговоры

φ в языке для структуры,

P (ω

1

), ω

1

, ·, +, ∈,

либо это предложение

(

→ "P (ω

1

), ω

1

, ·, +, ∈

φ”)

является

ZFC

- действительный или приговор

(

→ "P (ω

1

), ω

1

, ·, +, ∈

(φ)”)

является

ZFC

-действительный.

Предположим, что

это слабо хорошо. Должен ли быть вынесен приговор

(

→ ГЛ)

быть

ZFC

- это правда?

Конечно, в свете вышесказанного становится очевидным, что

Гипотеза решает
оба эти вопроса, утвердительно.

Аксиомы Максимальности

Предположим, что

α-бесконечный порядковый номер, такой что для всех ординалов β

γ < α, β · γ < α. Предложение, φ, в языке для структуры,

P (α), α,·,+, ∈

является

2

если он имеет такую форму,

(∀икс

0

(∃икс

1

ψ)) где ψ-формула со всеми кванторами ранжирования

над

α (таким образом, φ является в сущности a

2

предложение на языке второго порядка для структуры

α, ·, +, ∈).

Теория множеств после Рассела

41

Необходимо будет рассмотреть составы,

P (α), A

1

,..., Ля

н

, α, ·, +, ∈,

где

Один

1

,..., Ля

н

являются подмножествами

P (α). Понятие a

2

предложение на этом языке

ибо эту структуру более неудобно определять. Здесь лучше всего перейти к самой структуре,

5

H (/α|

+

), Ля

1

,..., Ля

н

, ∈,

что логически эквивалентно структуре,

P (α), A

1

,..., Ля

н

, α, ·, +, ∈,

и определиться

φ, чтобы быть a

2

предложение, если оно имеет форму,

(∀икс

0

(∃икс

1

ψ)) где ψ-формула

с помощью только ограниченных кванторов.

Теорема абсолютности Шунфилда переделана в терминах

- логика это просто то

следующее утверждение. Предположим, что

φ - это a

2

предложение на соответствующем языке.

Тогда либо в приговоре, “

P (ω), ω,·,+, ∈

φ " - это

ZFC

- действительный или приговор

“

P (ω), ω,·,+, ∈

(φ) " является

ZFC

-действительный.

Этот результат легко обобщается на структуры,

P (α), α,·,+, ∈,

где

α < ω

1

.

Это просто, чтобы показать, что существует a

2

предложение,

ψ, такие что то

Гипотеза континуума ложна тогда и только тогда, когда,

P (ω

1

), ω

1

, ·, +, ∈

ψ.

Поэтому самое большее, что можно надеяться установить, - это результаты, подобные следующим: предположим
, что

φ

1

и

φ

2

являются

2

предложения такие, что оба

“

P (ω

1

), ω

1

, ·, +, ∈

φ

1

”

и

“

P (ω

1

), ω

1

, ·, +, ∈

φ

2

”

являются

ZFC

-последовательный. Затем

“

P (ω

1

), ω

1

, ·, +, ∈

(φ

1

∧ φ

2

)”

является

ZFC

-последовательный. Это покажет, что если

φ-это предложение, которое является любым " более простым”

чем

2

тогда либо в приговоре, “

P (ω

1

), ω

1

, ·, +, ∈

φ " - это

ZFC

- доказуемо или то

предложение “

P (ω

1

), ω

1

, ·, +, ∈

(φ) " является

ZFC

-доказуемый.

Следующая теорема показывает, что это не только верно для

2

приговоры, но более сильные

версия верна

6

. Нам требуется еще несколько определений. Сначала отметим, что

- логика может

5

H (/α|

+

) обозначает транзитивное множество, состоящее из всех множеств наследственной мощности меньше или равно

кардинальность вопроса

α.

6

Но только для того, чтобы

2

предложения, аналогичное утверждение для

2

предложения—предложения, которые являются выразимыми

как отрицание а

2

приговор- ложен [11].

42

W. H. Woodin

быть естественным образом расширен до языка с предикатами для универсальных множеств Байра (и
константами для вещественных чисел) [13]. Так что если

A является универсально Baire, A ∈ R и φ(x

0

, икс

1

) - это формула

на языке теории множеств затем можно обобщить определения понятий

- логика для определения

когда

φ (a, A) является

ZFC

- действительны и когда

φ (a, A) является

ZFC

-доказуемый.

Второе определение, которое нам требуется, выделяет ключевую новую особенность структуры,

P (ω

1

), ω

1

, ·, +, ∈,

по сравнению со структурой,

P (ω), ω,·,+,∈.

Кофинальный набор

C ω ω

1

закрывается, если для всех 0

< α < ω

1

, любой

α ∈ C или C α α не является

cofinal в

α. Множество A ⊂ ω

1

является нестационарным, если множество

ω

1

\A содержит подмножество, которое является

замкнутый, кофинальный, подмножество

ω

1

. Из аксиомы выбора следует, что коллекция

нестационарных подмножеств из

ω

1

это

σ-идеал - который является идеалом, замкнутым относительно Счетного

союзы-обозначаются здесь как

НС

. Явно идеальный вариант,

НС

, определяется, без параметров,

в структуре,

P (ω

1

), ω

1

, ·, +, ∈.

Теорема 9 (ZFC). Предположим, что существует правильный класс кардиналов Woodin и что

A ⊆ R -это универсальный Байр. Предположим, что φ

1

и

φ

2

являются

2

предложения такие, что оба

“

P (ω

1

), Ля,

НС

, ω

1

, ·, +, ∈

φ

1

”

и

“

P (ω

1

), Ля,

НС

, ω

1

, ·, +, ∈

φ

2

”

являются

ZFC

-последовательный. Затем

“

P (ω

1

), Ля,

НС

, ω

1

, ·, +, ∈

(φ

1

∧ φ

2

)”

является

ZFC

-последовательный.

Теперь я подхожу к главному примеру предложения, которое является хорошим. Позволь

0

будь то

предложение:

Для каждого проективного множества

А, для каждого

2

предложение

φ, если предложение,

“

P (ω

1

), Ля,

НС

, ω

1

, ·, +, ∈

φ”,

является

ZFC

- последовательный тогда

P (ω

1

), Ля,

НС

, ω

1

, ·, +, ∈

φ.

Затем

0

хорошо, это содержание следующей теоремы.

Теорема 10 (ZFC). Предположим, что существует правильный класс кардиналов Woodin. Затем

Теория множеств после Рассела

43

1.

0

является

ZFC

-последовательный.

2. Для всех предложений

φ в языке для структуры,

P (ω

1

), ω

1

, ·, +, ∈,

либо это предложение “

P (ω

1

), ω

1

, ·, +, ∈

φ " - это

ZFC

- доказуемо от

0

или же...

предложение

“

P (ω

1

), ω

1

, ·, +, ∈

(φ)”

является

ZFC

- доказуемо от

0

.

Предложение

0

также устанавливается размер континуума.

Теорема 11 (ZFC). Предположим, что существует правильный класс кардиналов Woodin и что

0

держит. Затем

c = ℵ

2

.

На самом деле, это версия

0

что относится только к этим проективным множествам

A ⊆ R который

может быть определен в структуре,

P (ω), ω,·,+, ∈,

без параметров-это проективные множества "lightface" - эквивалентно

7

Для

0

и теорема о том, что

0

это хорошо верно с предложениями

φ заменено предложениями

с реальными параметрами.

Структура,

P (α), α,·,+, ∈,

где

ω

1

≤ α < ω

2

являются ли каждый логически эквивалентным структуре,

P (ω

1

), ω

1

, ·, +, ∈,

Итак, следующая структура для рассмотрения-это структура,

P (ω

2

), ω

2

, ·, +, ∈.

Здесь максимализм терпит неудачу не только для

2

приговоры, он терпит неудачу для

1

предложения. Скорее всего

максимальность терпит неудачу для

1

предложения тоже есть, но это уже открыто.

Выводы

Важно отметить, что если существует собственный класс кардиналов Вудина, то для
всех полных булевых алгебр,

Б,

В

Б

Предположение

тогда и только тогда, когда

Гипотеза держит в себе

В.

7

В

- логика, предполагающая, что существует правильный класс кардиналов Вудина [11].

44

W. H. Woodin

Поэтому очень маловероятно, что проблема в самом

Гипотеза неразрешима таким
же образом, что и CH неразрешима. Это может быть неразрешимым таким же образом
, что проблема меры для проективных множеств неразрешима. Но в данном случае дело обстоит иначе.

Предположение, скорее всего, будет решено как ложное.

8

Если скептик собирается принять решение проблемы измерения для
проективных множеств, но продолжает утверждать, что проблема Континуальной гипотезы
бессмысленна, то скептик должен объяснить, почему проблема Континуальной
гипотезы отличается. Существование хороших предложений (которые являются

- удовлетворительно) и
теорема о том, что хорошие предложения должны подразумевать, что гипотеза континуума ложна
, казалось бы, сужает возможности аргумента о том, что проблема гипотезы континуума
принципиально отличается от проблемы измерения для проективных множеств

по существу только тем, что ни CH, ни

(CH) is

ZFC

-действительный. Но принятие этого
в качестве причины того, что проблема гипотезы континуума не имеет смысла, заставляет
нас сделать более сильное утверждение, что если a

2

- приговора нет

ZFC

- тогда действительна претензия

то, что это правда, не имеет смысла (отмечая, что и CH и

(CH) являются

2

предложения).

Однако правдоподобность такого утверждения критически зависит от

Предположение.

В одной крайности то

Гипотеза является ложной и более того множество

x = {φ / ∅

φ}

может быть сложным, как предполагает его непосредственное определение. Как это могло случиться?
Рассмотрим следующее предложение,

0

[x], который включает в себя x (так на языке множества

теория с константой для

икс).

x-множество {φ / ∅

φ} и x рекурсивно эквивалентно полному

2

множество целых чисел.

Предполагая, что существует правильный класс кардиналов Woodin, следует, что это или нет

приговор таков

ZFC

- удовлетворительное вообще абсолютно. Если это предложение является

ZFC

- удовлетворительно

а потом...

Гипотеза является ложной (и в очень сильном смысле). В этом случае основополагающим является

посмотреть что то единственное

2

- предложения в теории множеств, для которых утверждение об истинности является средним-

ингфул - это те, которые есть

ZFC

- валидный (”многомировой " взгляд) становится более достоверным.

Более убедительные аргументы в пользу этой точки зрения можно было бы привести, если бы для каждого

2

предложение,

φ, такие

тот

φ-это

ZFC

- удовлетворительно, приговор

(φ ∧

0

[x]) это

ZFC

- удовлетворительно—будь то или нет

это верно также в целом абсолютно, если есть правильный класс кардиналов Woodin.

Конечно же набор,

x = {φ / ∅

φ},

может быть рекурсивно эквивалентно полному

2

набор целых чисел, потому что есть a

предложение

1

такое что для всех

2

предложения

φ,

В

φ

если и только если

{

1

}

φ. Пока такое предложение,

1

, было бы убедительно, как
новая аксиома, эта возможность кажется довольно маловероятной в настоящее время. Причина в том, что если

8

С помощью метаматематического аргумента, включающего иерархии аксиом Бесконечности и внутренней теории моделей.

Теория множеств после Рассела

45

такой приговор

1

существует (и держится

V) затем он должен следовать (путем введения реального

параметры) что каждый набор реалов, который является порядковым определяемым в

V, универсально Baire

9

.
Наконец, предположим, что существует правильный класс кардиналов Вудина и предположим, что
каждый набор вещественных чисел, который является порядковым определяемым, является универсальным Байром. А потом...

Предположение

держит в ход в сильном смысле, что для каждого предложения

φ, если φ есть

ZFC

-последовательный

затем

φ-это

ZFC

- вполне удовлетворительно. Хотя это не является формальным противоречием, оно кажется очень важным

неправдоподобно что то

Предположение может как провалиться в

V и держи ход в таком сильном состоянии

чувство.

В другой крайности, в том, что

Предположение верно. Но тогда по одному из следствий этого

общая теория

- логика, набор

x определяется (без параметров) в структуре,

P (c), c,·,+, ∈,

где

c = / R/. В данном случае основополагающим является мнение, что единственное

2

- предложения в наборе

Теория, для которой утверждение истины имеет смысл, - это те

2

предложения, которые являются

ZFC

- действительность не более достоверна, чем формализм. Этот взгляд отвергает любое подлинное понятие

о преображенном запредельном

с.

Если

Гипотеза является ложной, то можно было бы просто заключить, что определение

от

Т

но это было не совсем так. Но если...

Гипотеза плохо проваливается в том смысле, что

предложение,

0

[x], включая множество x является

ZFC

- удовлетворительно тогда, наверное, нет

разумное понятие о длине Ан

-доказательство. В противном случае (предполагая, что есть правильный

класс кардиналов Woodin) там были бы формулы,

ψ (x

0

, икс

1

) и φ (x

0

, икс

1

), подобный

что следующее владение (относительно

x ω ω):

1. Набор

z = {(i, j) | i ∈ x, j ∈ x, и ψ[i, j ] является

ZFC

-действительный

}

ну-заказы

икс;

2. Для каждого

j ∈ x,

{i / i ∈ ω и φ[i, j] является

ZFC

-действительный

} = {i | (i, j) /

∈ Зет}.

Однако если

x рекурсивно эквивалентно полному

2

установите, то это не может произойти.

Если

Предположение верно тогда в понимании того, почему это верно, возможно, наше
понимание множеств значительно продвинется вперед. Мы сможем количественно
оценить пределы принуждения и дать абстрактное определение иерархии
аксиом Бесконечности. Тем не менее вызов, если

Гипотеза верна, будет
придумать надежный фундаментальный взгляд на трансфинитную вселенную. Более конкретной
задачей является:

Выставить приговор

φ такое, что утверждение,

П

(R), R,+,·, ∈

φ,

это правда, но не так

Действительный.

9

” Наименьшее " подмножество OD

R, который не является универсальным Байром, должен быть

- конечно.

46

W. H. Woodin

Этот вызов обоснованно ставится <