Структура всех множеств конечных ординалов

Структура,

P (ω), ω,·,+, ∈

это, конечно, стандартная структура для теории чисел второго порядка.

В рамках этой структуры можно сформулировать многие классические вопросы
, касающиеся проективных множеств, в том числе вопрос о измеримости Лебега
проективных множеств, порожденных в 5 шагах из замкнутых множеств. Поэтому, если аксиом для
теории множеств недостаточно, чтобы формально дать ответы, нужно искать новые аксиомы.

Набор

A ⊆ P (ω) определяется в структуре,

P (ω), ω,·,+, ∈,

от параметров, если существует формула

φ (x, y) в языке первого порядка для этого

структура и

b ∈ P (ω) такое, что

A = {a ∈ P (ω) | P (ω), ω,·,+, ∈

φ[a, b]}.

Проективные множества соответствуют подмножествам

A ⊆ P (ω) такое, что A можно определить,

из параметров, входящих в состав,

P (ω), ω,·,+,∈.

Точнее, пусть

π: P (ω) → [0, 1] - сюръекция, где для каждого a ⊆ ω,

π (a) =

i∈a

2

−я

если

a = ∅ и π (∅) = 0. Тогда X ⊆ [0, 1] является проективным множеством тогда и только тогда, когда предизображение

от

X под π определяется из параметров в структуре, P (ω), ω, ·, +, ∈.

Теперь предположим

A ⊆ P (ω). Связанная с множеством A бесконечная игра, G

Один

, включающий

два игрока. Игроки чередуют выбирая элементы из

{0, 1} при движении игрока I

Первый. После

ω много ходов последовательность

я

: i Позволь

a = {i

я

= 1}.

Теория множеств после Рассела

31

Игрок I выигрывает этот прогон игры, если

a ∈ A. В противном случае выигрывает игрок II. Когда
игрок движется в этой игре, состояние игры представляет собой конечную последовательность нулей и единиц;
последовательность имеет четную длину, когда очередь игрока I двигаться, и последовательность
нечетной длины, когда очередь игрока II двигаться. Стратегия - это функция,

τ: SEQ → {0, 1}

где SEQ-множество всех конечных последовательностей нулей и единиц. стратегия

τ-выигрышная
стратегия для игрока I, Если следовать стратегии игрока I всегда выигрывает, независимо от того, как
играет игрок II. Аналогично и стратегия

τ является выигрышной стратегией для игрока II, если следовать

стратегия игрок II всегда выигрывает, независимо от того, как игрок I играет. Игра,

Г

Один

,
определяется, существует ли выигрышная стратегия для одного из игроков. Очевидно, что существует
выигрышная стратегия не более чем для одного из двух игроков. Это следствие аксиомы
выбора, что существуют множества

A ⊂ P (ω), для которого ни один из игроков не имеет выигрышной стратегии

в сопутствующей игре,

Г

Один

. Итак, аксиома, которая утверждает, что все игры

Г

Один

являются

определение не согласуется (с аксиомами теории множеств).

Проективная детерминация - это аксиома:

Для каждого набора

A ⊆ P (ω) такое, что A определяется из параметров в

структура,

P (ω), ω,·,+, ∈,

игра

Г

Один

будет определять.

Эта аксиома является правильной (и отсутствующей) аксиомой для структуры,

P (ω), ω,·,+,∈.

Проективная детерминация решает (в контексте ZFC) классические вопросы
, касающиеся проективных множеств, и, кроме того, метод форсирования Коэна не может быть использован для
установления того, что вопросы теории чисел второго порядка формально неразрешимы из
этой аксиомы.

Наконец, сложные связи между этой аксиомой и большими кардинальными аксиомами
дают убедительные доказательства того, что эта аксиома истинна. Для меня, допустив истинность
аксиом для теории множеств, единственным мыслимым аргументом против истинности этой аксиомы
была бы ее непоследовательность. Я также утверждаю, что в настоящее время единственным достоверным основанием для
веры в то, что аксиома является последовательной, является вера в то, что аксиома истинна. Это положение
дел может измениться по мере того, как теоретико-числовые следствия аксиомы станут
более понятными.

Интересно отметить, что понимание этой аксиомы заняло довольно много
лет исследований и что достоверное утверждение об истинности аксиомы стало возможным только
после завершения этого исследования—нет известного элементарного аргумента для
истинности аксиомы. Этот факт создает нечто вроде вызова для скептика, чтобы объяснить.

Должна ли аксиома проективной детерминации быть принята как истинная? Один аргумент
, который часто цитируется против этой аксиомы, заключается в том, что существуют интересные альтернативные теории
для проективных множеств, действительно есть некоторые очень трудные открытые вопросы о

32

W. H. Woodin

возможные теории для проективных множеств в контексте, где Проективная определенность
ложна. Но этот аргумент путает два вопроса. Принятие проективной детерминации как
истинной не отрицает изучение моделей, в которых она ложна. Например, это, безусловно
, преобладающее мнение, что аксиомы для теории чисел непротиворечивы. Тем не менее
, изучение моделей теории чисел, в которых аксиомы несовместимы, кажется
явно интересной программой, и глубокое понимание этих моделей, вероятно
, влечет за собой решение P

= NP вопрос вычислительной сложности.

Верю ли я, что аксиома проективной детерминации истинна? Я нахожу, что это довольно
часто задаваемый вопрос обо мне. Мой ответ таков. Я считаю, что аксиома проективной
детерминации столь же верна, как и аксиомы теории чисел. Поэтому я полагаю, что отстаиваю
позицию, которую лучше всего можно было бы назвать условным платонизмом.