Характер количественной оценки

Что касается количественной оценки, то Расселу пришлось проделать особенно длинный путь

с того места, откуда он начал свой путь. Например, в своих принципах он не может составить свое
мнение о семантическом механизме, участвующем в утверждении существительного фраза, как
некоторые люди. Он задается вопросом,” является ли двусмысленный объект однозначно обозначенным,
или определенный объект двусмысленно обозначенным " ([71]: 62). Чтобы спасти свое вновь открытое
обозначающее отношение от этой двусмысленности, он переносит его на обозначаемый объект, имея явно
мало убедительных результатов. Метафизические ограничения относительно того, что может или не может быть
частью предложения, выраженного утверждением, включающим такие фразы, как some man
или all Mans пусть он придумает объяснение, которое прямо расходится со
стилем количественной оценки Фреге–Пеано, который Рассел использует в другом месте той же книги.

18

См., например, [21], [40].

10

G. Ссылка

Но появляется часть лингвистической философии, которую Рассел
использует в логике, когда он проводит различие между подлинно универсальным квантором всего и логическим
значением свободного выбора любого. Это различие, которое появляется в [74] и
внесло его в первое издание Principia, можно рассматривать как пример Рассела
, выходящего из своей единой, всеобъемлющей формальной системы и движущегося к некоторому
виду метаязыка.

19

В [74], рассмотрев парадоксы, он приходит к выводу, что
все они имеют общее “предположение о тотальности такой, что, если бы она была законной, она
сразу же была бы расширена новыми членами, определенными в терминах самой себя. Это приводит нас
к правилу: "все, что включает в себя всю коллекцию, не должно быть одним из коллекции’ ”
([74]: 63). Это одна из форм принципа порочного круга, который, однако, как
продолжает говорить Рассел, делает “фундаментальные принципы логики” бессмысленными, такие
как "все предложения либо истинны, либо ложны". Здесь он находит роль, чтобы играть для любого:
"Следовательно, фундаментальные законы логики могут быть сформулированы относительно любого предложения, хотя
мы не можем существенно сказать, что они относятся ко всем предложениям” ([74]: 68). Это происходит
потому, что в теории типов Рассела логический инструмент открытой квантификации является, по необходимости,
параметрическим, т. е. относительно данного типа; истинно универсальные утверждения могут быть сделаны только без
квантора, схематическим утверждением. Это можно было бы истолковать как предвосхищение
финитарных утверждений Гильбертовой метаматематики. Однако Рассел никогда не делал
шага, чтобы отличить объектный язык от метаязыка, и поэтому он не делал этого
действительно знаю, что делать с этим замечанием в техническом плане. Следовательно,
отдельная роль любого была оставлена во втором издании Principia. Мне кажется,
однако, что то, на что намекал Рассел, ближе всего подходит к тому, что было реконструировано в
последние годы как понятие произвольного объекта,

20

а это уже философская идея.

Тогда достаточно сказать, что Рассел действительно пришел к современному понятию квантифицированного
предложения как отдельной формы, снабженной определенным диапазоном для связанной (“кажущейся”)
переменной. Но, как справедливо указывает Гольдфарб [35], поскольку не существовало понятия модели, в
которой кванторы и некоторые нелогические словари могли бы быть по-разному интерпретированы,
ни он, ни Фреге, если уж на то пошло, не могли бы сказать, что они развили полномасштабную
концепцию и механизм текущей квантификации.

Иерархия типов

Выше было высказано предположение, что первоначальное логико-философское мышление Рассела понадобилось
не только для того, чтобы признать серьезный характер проблемы парадоксов, но
и для того, чтобы сесть и выработать "внерегиональное", всеобъемлющее решение. Ставя
парадоксы в надлежащую философскую перспективу, Рассел также пытался включить в
свое решение так называемые семантические парадоксы. Поглощенный работой Кантора
и имея в своем распоряжении символическую логику Пеано, он теперь чувствовал, что наконец-то получил в свои
руки технические средства для решения целого ряда парадоксальных явлений
осаждая основы логики и математики. Окончательный результат, который он придумал
, был теория разветвленных типов, RTT для краткости ([74], [85]). РТТ состоит из двух основных

19

Это было замечено Хазеном [38].

20

Смотрите Kit Fine's [22].

Введение

11

компоненты, простая теория конечных типов, STT и устройство ветвления. STT
предназначена для решения теоретико-множественных парадоксов, в то время как ветвление является способом
разрешения семантических парадоксов.

Основная идея STT достаточно проста. Она проистекает из Платоновской онтологии
индивидов и свойств (понятий, пропозициональных функций), упорядоченных на уровни,
в которых не только индивиды подпадают под свойства, но и свойства, в свою очередь, под другие
свойства, при условии, что подвластное свойство всегда находится на один уровень выше.
Предполагая, что индивиды имеют тип 0, мы получаем свойства индивидов как свойства типа 1, свойства
свойств типа 1 Как свойства типа 2 и т. д.; таким образом, приведенное выше понятие
самопрогнозируемости больше не может быть выражено. Существует синтаксический запрет на рефлекс-
у меня есть предикация, отрицаемая или нет. То же самое справедливо, в частности, для классов, блокирующих
парадокс Рассела.

Практически вся обычная математика (за исключением собственно теории множеств, конечно) может
быть выполнена в рамках простой теории типов; действительно, только несколько типов
фактически будут использоваться для восхождения от натуральных чисел, которые могут быть либо заданы как
индивиды, либо построены как свойства второго порядка в стиле Фреге-Рассела,

21

к
высшим системам рациональных и вещественных чисел, а также к вещественнозначным функциям,
функциональным пространствам и т. д.

Однако не STT, а система Z теории множеств Цермело (плюс аксиома выбора
и усиленная аксиомой замены Френкеля) несла день в качестве стандартной
рамки для основной математики. Это было неизбежно; математика
двигалась к объединению своих дисциплин, но в стиле Бурбаки, а не ради
того, чтобы быть заключенной в синтаксическую смирительную рубашку. В теории стандартных множеств типы можно легко
извлечь из понятия ранга и аксиомы фундаментных блоков

∈-циклы.
Более того, в то время как логическая концепция Рассела ассимилирует принадлежность к предикации с
ее характерной чертой нетранзитивности, принадлежность к теории множеств является реляционной с
самого начала, позволяя и действительно делая существенное использование транзитивности в моделировании,
например, хорошо упорядоченного на ординалах по формуле

∈-отношение. Предикационный
взгляд исключал это, а вместе с ним и связанную с этим идею кумулятивности, которая должна была стать
центральной идеей иерархии множеств Цермело–Геделя, обычно изображаемой как
"воронка множеств". Итерация по трансфинитным типам была существенной для этой иерархии, в то
время как в предикационной картине Рассел не видел никакой пользы для трансфинитных типов. Таковы были
основные ограничения неразвитой части теории типов Рассела.

Хотя теория типов не стала общей основой для повседневной
математики, она сохранилась в важных областях специализации, в частности, в фундаментальных
исследованиях, теории рекурсии и ряде приложений из области компьютерных наук (см.,

21

Конечно, бесконечное множество объектов, которые логику нужно построить, чтобы иметь возможность интерпретировать
арифметику, не приходят бесплатно. Рассел не видел никакого способа избежать аксиомы бесконечности (но смотрите статью Ландини
в этом томе для аргумента против, по крайней мере, в отношении заместительной теории Рассела).
Напротив, (последовательная) система логики второго порядка с добавлением "принципа Юма", который был
назван "арифметикой Фреге" [5], действительно производит бесконечный ряд чисел; не является ли Нео-логик тем самым делая
хорошо по его утверждению после всего, что арифметика-это логика? - Я так не думаю. Принцип Юма добавляет "идеологию" (в
смысле Куайна) к логике второго порядка, вводя оператор " число

...’. Даже сам Фреге.

по-видимому, он не рассматривал принцип Юма как примитивную истину логики; см. ([39]: 286).

12

G. Ссылка

например, [10], [3]) и искусственный интеллект к теории категориальной грамматики ([2], [55]) к
интенсиональной логике высшего порядка([53], [26]). Фундаментальная работа была главным образом
связана с обоснованием; в ходе этих разработок исходная установка
либо просто использовалась, как, например, в нестандартном анализе Робинсона [69], либо модифицировалась,
либо вводила функциональные типы

22

или совсем недавно с помощью поправок

на пути к большей гибкости.

23

Существует также влиятельная
теория интуитивистского типа стиля Мартина-Лефа [51], важная как для ее основной философии, так и для ее диапазона
применений.

Предикативизм

Этот вопрос является парадигмальным случаем такого рода тесной связи между логикой и
философией, описанной выше. Введенная Пуанкаре в дискуссию идея
предикативного определения была подхвачена Расселом и превращена в технический инструмент для
рассмотрения семантической стороны парадоксов, то есть разветвления иерархии типов
.

24

Вполне естественно для Рассела, который пришел к отрицанию существования
классов за пределами удобной нотации, принять конструктивистскую позицию по отношению к
пропозициональным функциям, которые служили неэкстенсиональными прокси для классов. Но
тогда классы зависели от определительной истории пропозициональных функций, которые
их породили. В частности, никакая пропозициональная функция не может быть введена путем
ссылки на тотальность, к которой она уже принадлежала в интуитивном смысле. Это

Принцип порочного круга; его формулировка Расселом в [74], цитируемая выше, осуществляется

далее в [85], где он перефразируется как “если бы при условии, что определенная коллекция имела бы общую сумму,
если бы члены определялись только в терминах этой общей суммы, то упомянутая коллекция
не имеет общей суммы” ([85]: 37). Теперь Гедель ([28]: 135) указал, что эти две версии
на самом деле не являются синонимами, и что не "вовлеченность", а скорее "определимость только в
терминах" является критическим понятием. Именно принцип порочного круга в этом последнем смысле
нашел свое техническое выражение в предикативных принципах понимания Principia
и, позднее, в стандартных системах, таких как NBG set theory или fragment ACA

0

от

арифметика второго порядка. По словам Геделя, этот принцип применим

... только если вовлеченные сущности построены нами самими.... Если
же речь идет об объектах, существующих независимо от наших
построений, то нет ничего ни в малейшей
степени абсурдного в существовании тотальностей, содержащих члены, которые могут быть описаны (т. е.

([28]: 136; две сноски опущены)

Это хорошо известное высказывание Геделя о его платонических убеждениях. Таким образом
, проблема предикативности привлекла к себе внимание двух основных и противоположных философий
относительно математических объектов: платонического реализма и конструктивизма. Они уже были...

22

Начиная с усилий Гильберта и Аккермана в двадцатых годах к лямбда-исчислению Черча до Геделя

знаменитая интерпретация диалектики.

23

См., в частности, Фефермана [12], и вплоть до системы W из [14].

24

Полный обзор предикативных логик и их философии см. в [38].

Введение

13

подробно описано в литературе, и здесь нет необходимости вдаваться в подробности. Но
интересная вещь заключается в том, что есть два исторических события, вытекающие из одного и
того же источника, во время конфликта в философии: с одной стороны, есть
predicativist традиции, начиная с Германа Вейля и ведущих к современной области
в предикативной доказательство теории инициированного Феферман и Шютте; но с другой стороны
есть Геделя, который превратил идею ветвления таким образом, чтобы произвести
первые модели Zermelo–Френкеля теории множеств (дается теория ZF непротиворечива), в приятном
вселенная. Он достиг этого, приняв явное неконструктивистское отношение к объектам теории
множеств (или, во всяком случае, к ординалам, конструктивно работающим
оттуда). Другое часто цитируемое замечание Геделя в письме к Хао Вану
ясно говорит об этом: "однако, что касается, в частности, гипотезы континуума,
было особое препятствие, которое действительно сделало практически невозможным для конструктивистов
обнаружить мое доказательство последовательности. Это тот факт, что разветвленная иерархия, которая
была изобретена специально для конструктивистских целей, должна быть использована в совершенно иной форме.
неконструктивистский путь ” ([34]: 404).

Я хотел бы сделать здесь два замечания. Первый касается отношения в истории
точных наук между генезисом новых результатов и основополагающим философским
мировоззрением (если таковое существует), которое влияет на них. Когда новые идеи обладают хотя бы некоторой
технической эксплицитностью, они могут быть использованы и рекомбинированы в весьма продуктивных
и непредвиденных направлениях независимо от их первоначального предназначения или философии. В
случае теории разветвленного типа Рассела это является одним из преимуществ, вытекающих из
усилий, предпринимаемых в Principia, совершенно независимо от ее последующей судьбы как основополагающей
система. Во-вторых, этот случай показывает тщетность построения непрерывных генеалогий
в истории идей. На мой взгляд, в заявлениях о форме “все это
было в X”, где " X "означает " Рассел", "Фреге" или кто бы ни был любимым героем
историографа, мало смысла. Например, несмотря на ту заслугу, которую
сам Гедель ставил Расселу в отношении источников конструируемого универсума, мы
скорее согласимся с Р. Соловьевым, комментатором соответствующих сочинений Геделя в
сборнике трудов, который говорит: "мне кажется, что существует жизненно важное различие между
точное представление о Геделе и несколько расплывчатые рассуждения о разветвленной иерархии
можно найти в трудах Рассела. Таким образом, хорошо известные комментарии Геделя... о том, что
его понятие конструктивности можно рассматривать как естественное расширение
разветвленной иерархии Рассела в трансфинит, теперь поражают этого писателя слишком щедрым”
([83]: 120). Действительно, произошел решительный концептуальный прорыв и новый уровень
технической изощренности, который отличает Расселовскую концепцию ветвления от того, чем
она стала в руках Геделя. Тем не менее, историческое значение усилий Рассела является
это не умаляется тем фактом, что они были вытеснены более поздними разработками; скорее, это
должно быть измерено его потенциалом для создания плодотворных направлений исследований.

Позвольте мне кратко упомянуть еще о двух таких направлениях исследований, которые можно проследить вплоть до
предикативизма Рассела. Одна из них-теория истины; сравнивая подход Рассела к
семантическим парадоксам с подходом Тарского, А. Черч приходит к выводу: “Расселовское
разрешение семантических антиномий не отличается от Тарского, но является его частным
случаем” ([9]: 301). Таким образом, можно сказать, что Тарский расширил разветвленную иерархию

14

G. Ссылка

в своей теории истины, хотя и вводя существенные новшества в ее ход.
Другая разработка, уже упомянутая выше, касается современной исследовательской программы
предикативной математики. Он находит свою кристаллизацию в недавней работе S.
Feferman [14], которая берет предикативную программу Вейля в Das Kontinuum и формирует ее
в строгую теорию, называемую W, "гибких" конечных типов. Есть доказательство, совместно вызванное
Феферманом и Егером ([17], [18]), что W является как консервативным расширением, так и
доказательством-теоретически сводимым к арифметике Пеано. Таким образом, W значительно слабее, чем
любая теория порядка ZFC. Однако Феферман утверждает, что в принципе вся научно
применимая математика может быть формализована в W.

25

Это гораздо более конкретный
аргумент, чем те, которые обычно приводятся в дискуссии о незаменимости математики
для наук, инициированных Куайном и Патнэмом. На самом деле, Куайн признает
программу Фефермана, называя ее “важным результатом”, если бы она была осуществима: “это сделало бы чистую
развертку неизмеримых бесконечностей и неопределимых множеств” ([64]: 230). Для дальнейшего
обсуждения этого вопроса см. [15].

Редукционизм

Мы уже затронули основные редукционистские вопросы в работе Рассела, которые

они имели некоторый успех, как, например, устранение определенных описаний, сведение
классов к пропозициональным функциям и предикативная реформа логики. Однако
главная исследовательская программа логиков, которую начал Рассел, - сведение математики к
логике-оказалась неудачной. Главная причина заключалась, конечно, в том, что существенные
допущения существования, необходимые в математике (т. е. аксиомы бесконечности), чужды
области чистой логики.

26

Но программа также наткнулась на технические проблемы,

как и те, что связаны с печально известной аксиомой сводимости.

27

Кроме того, расширение до
эпистемологии редукционистского метода, провозглашенного Расселом как "высшая Максима в
научном философствовании" [76], а затем Карнапом в его логике Aufbau der

Welt, не удалось; по многим уважительным причинам он был оставлен в ходе

прошлый век.

28

25

Смотрите также постскриптум к [14] в [16], 281-83.

26

Любопытно, что Рассел, похоже, никогда не признавал этой неудачи. Как
ясно показывает, например, его обсуждение в [78], он полностью осознает тот факт, что аксиомы Пеано не имеют конечных моделей
и что инъективность функции-преемницы не может быть доказана из чистой логики. Фактически он называет
аксиому бесконечности "гипотезой", подобно мультипликативной аксиоме выбора и аксиоме сводимости, которую
он не считает логически необходимой. Однако в той же книге он прямо приравнивает математику к логике:
"Чистая логика и чистая математика (что одно и то же) стремятся быть истинными, по Лейбницевской фразеологии,
во всех возможных мирах, а не только в этом хаотичном мире, в который нас заключил
случай” ([78]: 192).

27

См., например, [38] для соответствующего фона, но также [9] для утверждения, что, в отличие от того, что было
обычным со времени критики Рамсея, повторенной Куайном, аксиома никоим образом не нарушает
цель разветвления Рассела, если только принимается во внимание существенно интенсиональный характер логики Principia.
Что касается последнего пункта, то здесь также уместна статья Линского в этом томе.

28

По существу, теория физического мира просто не может быть расширением феноменологической
теории чувственных данных. Недавнее обсуждение философских недостатков феноменалистской точки зрения
см., например, [60].

Введение

15

Однако в области логики и философии математики дух редукционизма
сохранился и даже усилился по мере появления более сложных логических инструментов
, таких как концепции относительной интерпретации между теориями, консервативности
одной теории по отношению к другой или теоретико-доказательной редукции. Это направление исследований вытекало
из двух основных источников: метаматематики Гильберта и номиналистической традиции в
современной логической философии.

Что касается бывшего, правда, Гильберта исходной программы финитарной последовательность
доказательств был отдан после теорем Геделя о неполноте; но современные
доказательства теории сохранил базовую методику во время отдыха finitist требования [30],
калибровочные теории в соответствии с их относительной непротиворечивости сила, исследуя редуктивных
отношений между ними [13], и исследования множества подсистем
анализа, т. е. второго порядка теории чисел, для развития большинства
повседневных математики. В дополнение к упомянутой выше программе предикативистских исследований
существует важная программа "обратной математики" [82], выделяющая различные
установленные принципы существования, которые не только достаточны, но и необходимы для конкретных
частей позитивной математики, тем самым раскрывая точные используемые ресурсы.

Другим крупным источником редукционистской философии математики является
номиналистическая программа, инициированная Гудменом и Куайном [36]. В то время как Куайн в свою очередь [61]
рассматривал классы как необходимые для научной практики, H. Field [21] пытался обосновать
эту практику, показав ее консервативность над номиналистической теорией основания. Еще одним
подходом является интригующая “теория зиллионов " С. лавина [48], которая посвящена
обоснованию неограниченной импредикативной теории множеств на основе ресурсов
“конечной математики”, присутствующих в концепции локально конечных теорий Я. Микельского [56].

Ведущим обоснованием, общим для всех этих подходов, является вид рассуждения, который
“осознает свои ресурсы” [49]. Типичным вопросом было бы не только: “можем
ли мы это доказать?- но более конкретно “в какой теории мы можем это доказать?", или “Какова
самая слабая теория для установления результата или, более широко, для обоснования обычной
математической практики?"Обратите внимание, что с фундаментальной точки зрения вопрос о
принятии теории таким образом "факторизуется" на два составных шага: (i) технический
вопрос о том, какие необходимые принципы лежат в основе теории, и (ii)
(главным образом) мотивированное философией решение принять или отвергнуть принципы и
тем самым Теорию.

Согласно полученному мнению, первые принципы ("аксиомы") должны быть не только
истинными, но и самоочевидными. Но, как напоминает нам статья А. Ирвина в настоящем Томе
, в методологии Рассела есть элемент, называемый "регрессивным методом" [73],
который требует признания принципов, которые могли бы предложить себя в качестве аксиом только
после значительного объема технической работы. Таким образом, вышеприведенное решение (ii)
все же не может быть обосновано—или, по крайней мере, не может быть обосновано исключительно—каким-либо философским
предубеждением или другой ситуацией, которая определенно должна приветствоваться. Это интересно отметить
что Гедель знал об этой особенности в работе Рассела и поддерживал ее.

29

29

Замечания, которые делают прямую ссылку на Рассела можно найти в ([28]: 127f.); см. Также его хорошо известный

утверждение по вопросу о новых аксиомах в теории множеств, в ([29]: 521).

16

G. Ссылка

Теперь здесь есть поразительная аналогия с методологической максимой в остальном
бескомпромиссно математической работе H. Woodin, выраженной, например, в
популярной [86], а также в его вкладе в этот том. Парадигмальным случаем вудина для
математических истин, которые могут быть открыты только апостериори, является дескриптивная теория множеств.
Эта область исследований, которая сводится к теории определимости континуума, увидела
период быстрого прогресса во времени Рассела благодаря работе французской школы
аналитиков во главе с Э. Борелем, Р. Байром и Х. Лебегом, а также русскому групповому раунду
Н. Лузина, но затем зашла в тупик, когда столкнулась с явлениями независимости,
не признававшимися таковыми в то время.

30

Существует иерархия сложности, очень похожая на
аналитическую иерархию в классической теории рекурсии, в подмножествах вещественных чисел
, называемых иерархией проективных множеств. Центральные свойства регулярности для этих
множеств, как и теоретико-измерительный вопрос измеримости Лебега, оказались
неразрешимыми на основе обычных аксиом теории множеств уже после нескольких ступеней
вверх по иерархии. В последние десятилетия была выделена группа так называемых аксиом
детерминации, возникающих из исследования бесконечных игр. Можно показать, что
аксиома, ориентированная на проективные множества, проективная детерминация, устанавливает их
свойства регулярности в контексте ZFC, тем самым обеспечивая удивительно замкнутый корпус
математических знаний. Вудин говорит об этой аксиоме:

Интересно отметить, что понимание этой аксиомы заняло довольно
много лет исследований и что достоверное утверждение об истинности
аксиомы стало возможным только после завершения этого исследования—нет
известного элементарного аргумента для истинности аксиомы. Этот факт
создает нечто вроде вызова для скептика, чтобы объяснить. ([88]: 31)

Вудин также дает нам свое мнение о "степени истинности" аксиомы по отношению к другим

более знакомые аксиомы: "я считаю, что аксиома проективной детерминации столь же верна, как
и аксиомы теории чисел."(там же.) Это утверждение, конечно, явно расходится
с убеждениями многих, в том числе и некоторых авторов настоящего Тома. Он не настаивает
ни на чем другом, кроме того, что "рай Кантора" действительной бесконечности не может быть легко разделен
на "незаменимую" и "рекреационную" (Quine [63]: 400) провинцию.

Вывод

Каков статус работы Рассела и его проекта математической философии a

сто лет спустя? Роль Рассела в логике кажется мне во многом сходной
с ролью Галилея в области физики. Сегодня закон падения тел Галилея выводится на
первых страницах любого стандартного учебника физики, точно так же, как парадокс Рассела встречается
на странице 2 или около того трактатов по теории множеств. Галилей был совершенно неправ во многих важных
научных вопросах своего времени. Например, вместо того, чтобы присоединиться к Кеплеру не только в его
общем Коперниканском мировоззрении, но и в его смелой гипотезе эллиптического движения

30

Исторический очерк связанных с этим проблем см. в [43].

Введение

17

что касается планет, то Галилей несколько упрямо придерживался принципа кругового движения
небесных тел, обвиняя погрешности измерений в наблюдаемых отклонениях. Через
четверть века после открытия им закона свободного падения он утверждал, что камень
, упавший с башни, будет описывать равномерное линейное движение, наложенное на
такое же равномерное круговое движение.

31

Опять же, стремясь запретить упоминание о "темных
качествах" он придумал ошибочный анализ приливов и отливов, отрицая какое-либо влияние
Луны. Но Галилей не только—и даже не главным образом-запомнился своим простым
законом; скорее, его глубокие структурные прозрения в природу движения (относительность движения,
инвариантность Галилея) и математизация натурфилософии в целом ознаменовали
начало новой области физической науки.

Работы Рассела можно рассматривать в совершенно аналогичном свете. Существует много
технических деталей, а также общей методологии, которые не выдержали более поздних
изменений. Однако его работа изменила характер традиционной области логики
таким образом, что она уже никогда не была прежней. То же самое относится и к философии. Рассел
оказал длительное влияние на путь развития философии, несмотря на то, что почти все
его позиции впоследствии подверглись жесткой критике, причем не только в неаналитических кругах, но
и под влиянием Витгенштейна, заклятого врага Рассела.

Математическая философия в стиле Расселла стремится получать информацию и
размышлять о самых последних и передовых результатах в области логики и
математики,

32

и вдохновлять на техническую основополагающую работу в свою очередь. Столетие
со дня открытия Рассела казалось подходящим поводом для документирования текущей деятельности в этой области
междисциплинарных исследований.

Вклад

Авторы этого тома-математики, логики или философы и
историки логики и математики, все они имеют характерный множественный опыт
более чем в одной из этих областей. Их вклад направлен на решение различных фундаментальных проблем
с различных точек зрения и в разных стилях. Некоторые статьи носят вполне технический характер,
но даже там, где стиль является неформальным, авторы опираются на солидные технические знания.
Таким образом, сборник статей представляет собой совокупность математической философии в том
смысле, который был объяснен выше. Он также предоставляет полезные указатели на текущие события в области
основы математики, во многих случаях сформированные в значительной степени авторами
настоящего Тома.

Вклады можно условно разделить на следующие группы: (I) документы
о текущих, после эпохи Коэн, теория множеств; (II) для доказательства теоретико-размышления на различные
нестандартные подходы к теории множеств, да и вообще на себя бесконечности; (III) в конструктивной
математике; (IV) в некоторых современных технических ответов на парадоксы; (в) документы на Рассела

31

Этот некогерентный взгляд был подчеркнут Фейерабендом в его классической работе [20], где он приписывается Галилею:

"тактика убеждения": важным моментом, который нужно было преодолеть, было вращение Земли, "не обращая внимания на детали".

32

И в науках вообще, хотя об этом в настоящем томе речь не идет.

18

G. Ссылка

логическая работа; (vi) документы, содержащие некоторый дополнительный исторический контекст, связанный с
основополагающим кризисом; (vii) философские документы, отражающие вопросы, поднятые
философской логикой Рассела. Хотя всегда существует некоторая произвольность в линейном порядке
, статьи располагаются в соответствии с этим подразделением и внутри каждой группы в соответствии с
тематической или исторической близостью.

Работы У. Вудин (см. [43], [87]) стали известны за пределами экспертных
кругах за его ошеломляющие атаки на анти-Платоником агностицизм относительно значения
теории множеств, в частности для удовлетворения иска, основанного на внушительное тело глубоко
оригинальная математика, что Кантора, континуум проблема осмысленный вопрос после всего,
и что он должен быть решен отрицательно. Его теория множеств бумаги после Рассела.
Путешествие обратно в Эдем содержит краткое изложение основной линии аргументации,
а также некоторые новые результаты, упомянутые выше, и изложение центрального понятия

- логика, которая отличается от более ранних учетных записей. - Одной из главных тем в
богатой и плодотворной фундаментальной работе Х. Фридмана была полезная или даже незаменимая
роль абстрактной (большой кардинальной) теории множеств в более низких и, казалось бы, не связанных областях
математики. Его статья "выход " является замечательным упражнением в этой методологии.
"Небольшая" поправка к аксиоме наивного понимания дает единую, довольно сильную
аксиому существования множества, которая выражается только множествами и которая, без дополнительных аксиом,
интерпретирует ZFC. Цена, которую нужно заплатить за это единообразие, - это обращение к логической силе
из разряда тонких кардиналов, которые находятся за пределами таких "маленьких" больших кардиналов, как
Мале и неописуемые, но все же совместимые с Геделем

В = л. — В своей статье
завершенность и итерации в современной теории множеств, набор теоретик С. Фридман, которые
внесли существенный вклад в тонкую структуру теории, эскизы рисунок для
Вселенной множеств основывается на двух принципах выполнения и итераций по отношению к
‘# (диез) операция’, который первоначально был представлен как устройство для преодоления
конструктивных Вселенной. - Наконец, в этой первой группе теоретик множеств и философ
математики К. Хаузер обращается к продолжающемуся поиску “новых аксиом” (
дополнительную информацию см. в [19]). В его эссе был Синд УНД соллен

(neue) аксиома?
сначала он дает доступный обзор технических вопросов, связанных с этим, и переходит к
интерпретации принципов, лежащих в основе развития современной теории множеств в свете
философии Гуссерля. Этот интригующий проект приобретает дополнительный интерес в связи
с хорошо известным фактом, что Гедель тщательно изучал Гуссерля, и из-за нового
интереса к Гуссерлю в недавней общей философии.

В теории доказательств в течение некоторого времени было проведено развитие для анализа слабых
теорий множеств в рамках теории допустимых множеств Крипке-Платека KP (см. [4]
для общего фона по KP и [42], [59] для его теоретико-доказательственных аспектов).
Одним из основных вопросов в этой исследовательской программе является перенос с классической
теории доказательств метода порядкового анализа, т. е. калибровки теорий с точки зрения их
теоретико-доказательной силы, заданной характерным порядковым номером. Хорошо известным
пределом предикативных теорий является наименее импредикативный порядковый номер Фефермана–Шютте

0

. Один

частные kp теории допустимых множеств с этой силой, KPi

0

, является ли отправной точкой

за вклад г. Егера и Д. Пробста, повторяющий

Операции в допустимых пределах

Введение

19

Теория множеств без основания: еще один аспект Метапредикативного Mahlo.
Система описывает рекурсивно недоступную вселенную над натуральными числами, принятыми как
urelements. Если схема аксиомы, допускающая итерацию

операции добавляются, а

теория приходит к тому, что теоретико-доказательный порядковый номер является метапредикативным

33

Махло порядковый номер

ϕω00.

34

Результат свидетельствует о другом аспекте современного доказательства

теория, а именно:, эмуляция больших кардиналов в рекурсивной настройке.

Дуайен математической логики С. Феферман обращается к поразительной особенности
"типичной двусмысленности" в представлении Рассела о теории типов, которая позволяет Расселу
избегать парадоксов, работая в теории типов, и все же избегать синтаксического беспорядка,
делая без явных различий типов, тем самым придавая смысл, в частности, утверждениям
типа Cls

CL Cls. Феферман неоднократно занимался в своей работе смежными
вопросами, возникающими в современной математической практике. В своей статье типичная двусмысленность: пытаясь
получить свой торт и съесть его тоже, он вводит систему рефлексивных теоретико-множественных
вселенных, консервативных по ZF(C), в которой строгий смысл может быть придан
таким саморефлексивным утверждениям, в том числе стандартным теориям категорий.
Подчеркивается, что заявления по форме

A ∈ A не может быть сделано буквально истинным таким образом,
конечно; но в глазах автора эта проблема подлинного самоприменения еще
не нашла удовлетворительного решения. Два подхода в литературе, теории с
антифундаментальной аксиомой, АФА и система новых оснований Куайна NF, вкратце
обсуждаются в этом отношении.

К.-Г. Niebergall -это логик и философ, который после докторской работы по
метаматематике неосознаваемых теорий и дальнейшей работы над конечностью Гильберта
в течение некоторого времени занимался углубленным анализом отношения
сводимости между теориями, как математическими, так и нематематиче