Задачи, проверяющие свойства, связанные с взаимным положением элементов

Имеется целый ряд позиционных задач, связанных не с построением некоторого элемента, а с необходимостью проверить взаимное положение заданных элементов. Например, условие может потребовать выяснить, параллельны ли плоскости, заданные геометрическими элементами (проверка параллельности одноименных следов), параллельна ли прямая плоскости (проверка параллельности одноименных проекций заданной прямой и прямой, построенной в заданной плоскости) или же доказать взаимную перпендикулярность плоскостей (проверка прохождения одной плоскости через перпендикуляр к другой).

Интересная задача этого рода рассмотрена на рисунке 73. В ней требуется выяснить, пересекаются ли прямые АВ и CD, одноименные проекции которых по условию не пересекаются в пределах листа задания.

Проверка базируется на положении о том, что пересекающиеся прямые должны задавать плоскость. Для проверки этого можно, опираясь на соответствующие следы прямых построить фронтальный и горизонтальный следы предполагаемой плоскости. Если точка их пересечения находится на оси Оx, то плоскость задана, и прямые являются пересекающимися. Однако такое решение связано с достаточно объемными построениями, в результате которых может получиться, что и вычерченные следы не пересекаются в пределах чертежа.

четырехугольника

A

B

CD

. Построим

фронтальную и горизонтальную проекции

x

O

A

I

I

B

I

I

C

I

I

D

I

I

A

I

B

I

C

I

D

I

K

I

I

L

I

Предлагается следующий ход рассуждений. Если прямые пересекаются и задают плоскость, то в этой плоскости могут быть построены другие пересекающиеся прямые, например, диагонали предположительно плоского

прямых AD и ВС. Точка пересечения фронтальных проекций K’’ не лежит на общей проекционной связи с точкой пересечения горизонтальных проекций L’. Поэтому можно сделать вывод, что прямые

AD и ВС скрещиваются и, следовательно,

Рисунок 73 – Проверка пересечения заданных прямых скрещивающимися являются также прямые АВ и CD.

23.3 Задачи, связанные с комплексным применением методов преобразования эпюра

При решении метрических задач мы, как правило, сталкивались с необходимостью пользоваться либо методом перемены плоскостей проекций, либо одним из вариантов метода вращения. Однако некоторые задачи требуют для решения их совместного применения, как последовательного, так и одновременного.

Один из вариантов таких задач рассмотрен на рисунке 74. В ней требуется повернуть точку К относительно прямой АВ так, чтобы она оказалась на заданном расстоянии L от прямой CD (прямые АВ и CD параллельны).

Рисунок 74 – Задача на совместное применение методов перемены плоскостей проекций и вращения

Заданные прямые находятся в частном положении: они параллельны фронтальной плоскости проекций. Это позволяет преобразовать их в проецирующее положение одной переменой плоскостей проекций. Проведем новую ось абсцисс π₄/π₂ под прямым углом к A’’B’’ и C’’D’’. В новой горизонтальной плоскости проекций π₄ прямые спроецируются в точки: A^IV (B^IV) и C^IV (D^IV). При построении измененной горизонтальной проекции точки К следует помнить об ее отрицательной ординате, в результате проекция K^IV занимает свое место по другую сторону от оси π₄/π₂.

В системе плоскостей проекций π₂ и π₄ при вращении точка К будет двигаться по окружности, параллельной π₄ и перпендикулярной π₂. Эта окружность отображается в натуральную величину на измененную горизонтальную плоскость проекций: вычерчиваем ее, взяв в качестве центра A^IV (B^IV), а в качестве радиуса – расстояние от центра до K^IV. Так как и прямая CD проецируется на π₄ в точку, расстояние до нее от любой точки отображается в натуральную величину. Поэтому мы можем построить дугу окружности с центром в C^IV (D^IV) и радиусом, равным L. Там, где она пересечет проекцию траектории перемещения К, и находится искомое ее положение. Таких пересечения два – задача имеет два решения, в этой проекции мы обозначили их как R^IV и S^IV.

Во фронтальной плоскости проекций траектория движения точки представляет собой прямую, перпендикулярную оси вращения A’’B’’, и, соответственно, параллельную оси π₄/π₂. На этой линии в проекционной связи с R^IV и S^IV находим точки R’’ и S’’. Их исходные горизонтальные проекции определяем, используя одну из особенностей метода перемены плоскостей проекций: ординаты точек в плоскости π₁ и в плоскости π₄ равны. Поэтому мы строим R’ и S’ на том же расстоянии от оси π₂/π₁, на каком лежат от оси π₄/π₂ точки R^IV и S^IV (знак координат также учитывается).