Точка встречи прямой с плоскостью

Пересечение прямой и плоскости общего положения

Вне зависимости от способа задания плоскости, определение точки встречи прямой и плоскости производится по одному и тому же алгоритму:

16.1.1 Заключить прямую во вспомогательную проецирующую плоскость, т.е. провести проецирующий след через одну из проекций заданной прямой.

16.1.2 Найти линию пересечения вспомогательной плоскости с заданной (по одному из Алгоритмов, описанных в разделе 15, в зависимости от способа ее задания).

16.1.3 Найти точку пересечения проекции заданной прямой и полученной в п. 16.1.2 линии пересечения плоскостей. Это – проекция искомой точки встречи.

16.1.4 Построить вторую проекцию точки встречи на соответствующей проекции прямой (следе вспомогательной проецирующей плоскости) в проекционной связи.

16.1.5 Определить видимость прямой относительно заданной плоскости (см. параграф 16.2).

Рисунок 39 показывает примеры нахождения точки встречи прямой и плоскости для различных способов задания плоскостей общего положения.

Рисунок 39 – Определение точки встречи прямой с плоскостью общего положения, заданной:

а) следами; б) треугольником

Плоскость α на рисунке 39, а задана следами. Проводим через прямую АВ фронтальнопроецирующую плоскость: след f’’_0β проходит через A’’В’’. Находим линию пересечения плоскостей α и β:

отмечаем точки пересечения одноименных следов – горизонтальную проекцию горизонтального следа линии пересечения M’ и фронтальную проекцию фронтального следа N’’. Точки M’’ и N’ находим в проекционной связи на оси Оx. Соединяем одноименные проекции точек M и N: фронтальная проекция линии пересечения вспомогательной и заданной плоскости M’’N’’ совпадает с фронтально-проецирующим следом f’’_0β, а горизонтальная проекция M’N’ пересекает продолжение горизонтальной проекции отрезка A’B’ в точке K’. Прямые АВ и MN лежат в одной плоскости – вспомогательной плоскости β. Следовательно, если пересекаются проекции, то пересекаются и сами прямые. С другой стороны, прямая MN принадлежит и заданной плоскости α, следовательно, найденная точка К – точка встречи прямой АВ и плоскости α. Ее фронтальную проекцию K’’ находим в проекционной связи на продолжении фронтальной проекции отрезка A’’В’’.

На рисунке 39, б плоскость α задана треугольником АВС. Заключим прямую KL во вспомогательную, горизонтально-проецирующую плоскость β: горизонтальный след h’_0β проходит через горизонтальную проекцию K’L’. Горизонтальная проекция линии пересечения плоскостей α и β совпадает с проецирующим следом h’_0β. Чтобы найти ее фронтальную проекцию, отметим точки, в которых h’_0β пересекает элементы плоскости α: 1’ – на горизонтальной проекции A’C’ и 2’ – на B’C’. Их фронтальные проекции 1’’ и 2’’ находим на A’’C’’ и В’’C’’ в проекционной связи. Проекции 1’’2’’ и K’’L’’ пересекаются в точке T’’. Так как прямые 12 и KL лежат в одной плоскости β, то T – точка их пересечения. С другой стороны, прямая 12 лежит и в плоскости треугольника АВС, поэтому в точке T пересекаются прямая KL и плоскость α. Ее горизонтальную проекцию T’ находим в проекционной связи на K’L’ (на следе h’_0β).

16.2 Определение видимости прямой относительно плоскости с помощью конкурирующих

Точек

Конкурирующими называют точки, принадлежащие скрещивающимся прямым, которые на одной из плоскостей проекций отображаются одной точкой. Их различное расположение на другой или других плоскостях проекций позволяет судить о взаимном положении прямых относительно наблюдателя. Как определить положение одной прямой относительно другой, помогает разобраться пример на рисунке 40.

Пусть даны две скрещивающиеся прямые АВ и CD. Фронтальные проекции этих прямых пересекаются в конкурирующих точках 1’’ и 2’’. Найдем их горизонтальные проекции в проекционной связи: проекция точки 1’ пусть принадлежит, а точки – проекции прямой

A’B’ 2’

Рисунок 40 – К понятию конкурирующих

C’D’. Удаленность от фронтальной плоскости точек проекций определяется координатой y для каждой из точек. Чем больше координата y, тем ближе

данная точка находится к наблюдателю. Значение координаты y для точек 1 и 2 определяется по горизонтальной проекции прямых A’B’ и C’D’. Следовательно, на фронтальной плоскости проекций в месте выборе конкурирующих точек прямая АВ перекрывает прямую CD, т.е. точка находится ближе к наблюдателю.

Чтобы для прямых АВ и CD определить их взаимное положение относительно горизонтальной плоскости проекций, нужно выбрать конкурирующие точки в месте пересечения A’B’ и C’D’, на продолжении горизонтальных проекций заданных отрезков.

При пересечении прямой с плоскостью видимость прямой относительно плоскости меняется в точке встречи. Для того чтобы выяснить взаимное расположение прямой и плоскости, можно также воспользоваться конкурирующими точками. Алгоритм работы в каждой из плоскостей проекций таков:

16.2.1 Оценить, можно ли обозначить конкурирующие точки на заданных проекциях прямой и элементов плоскости. Если проекции скрещивающихся прямой и элементов плоскости не пересекаются в пределах чертежа, провести проекцию вспомогательной прямой, принадлежащей заданной плоскости, которая обеспечит конкурирующие точки. Найти вторую проекцию вспомогательной прямой (см. Алгоритмы 10.1 или 10.2, в зависимости от положения вспомогательной прямой и способа задания плоскости).

16.2.2 Обозначить конкурирующие точки в месте пересечения проекций прямой и элемента плоскости.

16.2.3 Найти проекции конкурирующих точек в другой плоскости проекций в проекционной связи на соответствующих геометрических элементах.

16.2.4 Определить направление проецирования на исходную плоскость проекций и взаимное положение конкурирующих точек на проецирующем луче.

16.2.5 Обозначить видимость прямой в месте выбора конкурирующих точек: если первой на проецирующем луче находится точка, принадлежащая прямой, то прямая видима относительно плоскости; если первой проецируется точка элемента плоскости, значит, плоскость закрывает прямую.

16.2.6 Указать «обратную» видимость прямой относительно плоскости с другой стороны от точки встречи.

На рисунке 41 указана видимость относительно плоскостей для тех же прямых, точки встречи которых были найдены на примерах рисунка 39.

Рисунок 41 – Определение видимости прямой относительно плоскости, заданной: а) следами;

б) треугольником

При построении точки встречи прямой АВ с плоскостью α точка N’’ была обозначена на пересечении фронтальных следов f’’_0α и f’’_0β (рисунок 41, а). В эту же точку проецируется точка, принадлежащая прямой; обозначим ее 1’’. Находим ее горизонтальную проекцию 1’ в проекционной связи. Направление проецирования на плоскость π₂ – снизу вверх. Первой видим точку 1’, принадлежащую А’В’; следовательно, на выбранном участке, т.е. слева от K’’, прямая находится перед плоскостью; справа от K’’ прямая на фронтальной плоскости проекций будет перекрыта плоскостью.

Горизонтальная проекция прямой A’B’ параллельна h’_0α, поэтому для того чтобы выбрать конкурирующие точки, проведем горизонтальную проекцию горизонтали плоскости α, совпадающую с A’B’. В одной точке с проекцией A’ находится принадлежащая ГПГ точка 2’. Продлим ГПГ до пересечения с осью Оx, обозначим на ней проекцию фронтального следа N’₁, его фронтальная проекция N’’₁ лежит на следе f’’_0α. Фронтальная проекция горизонтали (ФПГ) от этой точки проходит параллельно оси Оx, на ней находим в проекционной связи точку 2’’. Направление проецирования на горизонтальную плоскость проекций – сверху вниз. Первой на проецирующем луче лежит A’’, поэтому видимость на горизонтальной плоскости проекций такая же, как и на фронтальной.

При построении точки встречи прямой KL с плоскостью треугольника АВС (рисунок 41, б) была обозначена точка 1’ на горизонтальной проекции A’C’. Сюда же проецируется точка, принадлежащая прямой: обозначим ее горизонтальную проекцию 3’. Находим фронтальные проекции 1’’ и 3’’ в проекционной связи. При проецировании на горизонтальную плоскость проекций первой на проецирующем луче находится 1’’, принадлежащая плоскости. Поэтому в месте выбора конкурирующих точек плоскость перекрывает прямую. На участке слева от T’ прямая перекрыта плоскостью, однако при задании плоскости фигурой видимость обозначают относительно фигуры, поэтому штриховой линией обозначен участок 3’T’.

На участке T’L’ отрезок прямой виден относительно АВС.

Аналогичное использование конкурирующих точек 4 и 5 с совпадающими фронтальными проекциями позволило выявить видимость на фронтальной плоскости проекций. Линией невидимого контура обозначен участок от Т’’ до проекции стороны треугольника A’’C’’.