Пересечение с призмами и пирамидами

Линия пересечения многогранников – ломаная, состоящая из отрезков прямых линий. Поэтому для ее нахождения достаточно определить точки излома: точки пересечения заданной плоскости с ребрами тела.

22.1.1 Выделить проекцию линии пересечения на проецирующем следе. Обозначить точки пересечения с ребрами многогранника.

22.1.2 С помощью проекционных связей перенести точки излома на ребрах на вторую проекцию.

22.1.3 Соединить проекции отрезков линии пересечения, принадлежащие граням тела, с учетом их видимости.

Кафедра инженерного

проектирования

 

 

Рисунок 66 – Пример решения задания по Алгоритму 21.4

Разработчики:

И.И.Гнилуша

На рисунке 67 показан

s

' пример построения сечения

пирамиды фронтальнопроецирующей плоскостью. Сечение призмы строится 4 I I f I I аналогичным образом.

0_{} фронтальноПирамиду -проецирующая SABCD рассекает

I I плоскость α. На фронтальную

I _I 3 плоскость проекций линия

I _I 2 f’’_0α. Обозначим точки пересечения пересечения проецируется на след

1

I I I I I I ребер с заданной плоскостью. На

X _{} B D C фронтальной проекции это следующие точки: 1’’ на S’’A’’, 2’’ на

O

x A I I S’’B’’’, 3’’ на S’’D’’ и 4’’ на S’’C’’.

_I Построим в проекционной

I 2 связи горизонтальные проекции этих

B ^I точек, обозначая их на соответствующих ребрах: 1’ на S’A’, C

I 2’ на S’B’, 3’ на S’D’ и 4’ на S’C’. На

S

I 4 горизонтальной плоскости проекций

все грани пирамиды видимы, поэтому все проекции отрезков линии

h I A ^I 1 _I 3 I пересечения основной сплошной линией. 1’2’3’4’ соединены

0 D I 22.2 Пересечение с конусами

Как известно, в

зависимости от положения

Рисунок 67 – Пересечение пирамиды с фронтально-проецирующей ^{секущей плоскости коническую}

плоскостью поверхность можно пересечь по

двум прямым, параболе, гиперболе или эллипсу. Как следствие, при пересечении конуса получается либо замкнутая эллиптическая кривая, либо ломаная, объединяющая в себе фрагмент одной из упомянутых гладких кривых и отрезок прямой (если плоскость проходит через основание тела), либо, наконец, треугольник (если плоскость пересекает и основание, и вершину конуса).

Один из возможных методов приближенного решения – определение точек пересечения с произвольными образующими конуса.

22.2.1 Выделить проекцию линии пересечения на проецирующем следе. Обозначить точки пересечения с основанием тела, если таковые имеются.

22.2.2 Построить в плоскости проецирующего следа образующие, на которых изменяется видимость фигуры сечения, и ряд произвольных образующих, так чтобы их общее количество составило 8-10 шт. Отметить точки пересечения проецирующего следа с проекциями построенных образующих.

22.2.3 С помощью проекционных связей перенести точки пересечения с образующими и основанием на вторую проекцию.

22.2.4 Последовательно соединить точки пересечения с образующими лекальной кривой, а с основанием – отрезком прямой. Учесть изменение видимости при переходе через крайние образующие.

На рисунке 68 наклонный конус рассекается горизонтально-проецирующей плоскостью α. Она пересекает как боковую поверхность, так и основание тела.

Обозначим на горизонтальной плоскости проекций точки пересечения с основанием как A’ и B’. Для определения линии пересечения с боковой поверхностью спроецируем на плоскость π₁ крайнюю образующую SD и проведем ряд промежуточных образующих SC, SE, SF, SG и SK. Обозначим на их горизонтальных проекциях точки пересечения со следом h’_0α. На отрезке S’C’ находится точка 5’, на S’D’ – 4’, на S’E’ – 3’, на S’F’ – 2’, на S’G’ – 1’ и на S’K’, проецирующемся на ту же линию, что и S’F’, - точка 6’.

I I С помощью

S

проекционных связей перенесем

точки линии пересечения 1’ - 6’ на соответствующие 3 I I I I фронтальные проекции образующих, а точки A’’ и B’’

4 I I f отметим на фронтальной

2 I I I I 0 F I I проекции основания конуса.

5 Видимость линии пересечения I I меняется при переходе через 1 C I I крайнюю образующую S’’D’’,

т.е. в точке 4’’. Участок A’’5’’4’’ находится на невидимой части

I I

6 I I E конуса, обозначим его линией невидимого контура, тогда как

видимый участок

B’’6’’1’’2’’3’’4’’ очерчиваем

x B I I K I I G I I A I I X D I I O основной сплошной линией.

 Отрезок A’’B’’ в основании

3I 4 I C I конуса невидим, но он перекрывается видимым краем основания конуса.

2I I A _I D

, 6 I 22.3 Пересечение с

Цилиндрами

I В зависимости от

1 _I положения секущей

5 плоскости цилиндрическая

I E I поверхность пересекается по

_S двум прямым (плоскость параллельна образующей) I I или по эллиптической кривой. h F

0 B I K I G I При пересечении с наклонным или прямым

цилиндром в сечении могут

Рисунок 68 – Пересечение наклонного конуса с горизонтальнопроецирующей плоскостью

участвовать основания. Это приведет к получению в качестве линии пересечения замкнутой ломаной, в которой будут присутствовать

один или два прямых участка.

Определение линии пересечения цилиндра проецирующей плоскостью может быть выполнено с помощью промежуточных образующих, по тому же Алгоритму 22.2, что был описан для конусов. Пример таких построений показан на рисунке 69, а.

Наклонный цилиндр пересекает горизонтально проецирующая плоскость α. Следовательно, в плоскости π₁ линия пересечения лежит на проецирующем следе между точками 6’ и 7’ на крайних образующих (они обозначены точками K’ и L’ в нижнем основании цилиндра). Кроме боковой поверхности, плоскость α пересекает основание цилиндра по отрезку, горизонтальная проекция которого обозначена как A’B’.

Для уточнения вида кривой, получающейся в сечении боковой поверхности, построим в горизонтальной плоскости проекций еще ряд образующих: прежде всего, крайние образующие на фронтальной плоскости проекций, опирающиеся на точки C’ и D’, а также образующие, проходящие через точки E’, G’ и F’. Эти линии пересекаются со следом h’_0α в точках 1’, 2’, 3’, 5’ и 4’, соответственно.

Спроецируем точки линии пересечения на построенные фронтальные проекции перечисленных образующих. Отрезок A’’B’’ лежит в основании цилиндра и перекрыт его ближним видимым краем.

Построенные на боковой поверхности точки позволяют провести через них лекальную кривую

A’’3’’6’’1’’5’’4’’7’’2’’B’’. Видимость этого фрагмента эллипса изменяется в точках 1’’ и 2’’, причем участки A’’3’’6’’1’’ и 2’’B’’ – видимые, участок 1’’5’’4’’7’’2’’ представлен линией невидимого контура.

I I Если проецирующий след

5 проходит в той же плоскости

I I I I проекций, в которой цилиндр виден 1

I I 4 I I со стороны боковой поверхности,

6 27 ^{I I} f 0 I I тем самым определены крайние точки линии сечения, и построение может быть выполнено с помощью

вспомогательных секущих

I I

D плоскостей.

I I I I 22.3.1

C 3

x K I I EI I A I I F I L I I I B I I X _{}O

_{I I}

G I F I I D I 7 _I

G

_L

I I I I C 5I 2, 4 22.3.2

I

K E I AI B

h 0_{} I I 6 I I

1, 3

А)

22.3.3

I I

I I I I f 0

I I I I

f 0 I I 4 I, I 5C 5 I I 6, 7 8 I I f 0I I 

f 0 I I 1 I I 2 I, I 3 I I f I I 0

f 0

x X C 1 I I I I O

3 4 _I h 0 I 6

I

I C 1

1 I

C 5 I

I 8

2 I I

5 7

22.3.4 б)

 

Рисунок 69 – Определение линии пересечения проецирующей плоскости с наклонным цилиндром: а) с

помощью образующих; б) за счет вспомогательных

секущих плоскостей

Выделить проекцию линии пересечения на проецирующем следе. Обозначить точки пересечения с основанием или основаниями тела, если таковые имеются. В плоскости проекций, на которую проецирует заданная плоскость, провести ряд следов плоскостей уровня, параллельных второй плоскости проекций, в пределах выделенной линии пересечения. Для каждой из плоскостей уровня выполнить следующие построения: обозначить точку или точки, лежащие на пересечении проецирующего следа заданной плоскости и следа плоскости уровня; во второй плоскости проекций найти линию пересечения цилиндрической поверхности плоскостью уровня – окружность с центром, положение которого определяется в проекционной связи с точкой пересечения следа плоскости уровня и оси цилиндра; спроецировать на эту окружность точку или точки линии пересечения. Соединить полученные точки линии пересечения на боковой поверхности конуса лекальной кривой или кривыми, а точки на основаниях, если таковые имеются, отрезками прямых.

22.3.5 Определить видимость участков линии пересечения.

На рисунке 69, б фронтально-проецирующая плоскость β рассекает наклонный цилиндр. Этот цилиндр лежит своим основанием в плоскости π₁. Такое взаимное положение тела и секущей плоскости позволяет без дополнительных построений определить верхнюю и нижнюю точки сечения. В плоскости проекций π₂ линия пересечения находится на проецирующем следе, между точками 1’’ и 8’’ на крайних образующих.

Рассечем цилиндр рядом вспомогательных плоскостей, параллельных горизонтальной плоскости проекций, в пределах линии пересечения с плоскостью β. Их фронтальные следы обозначены f’’_0α, f’’_0γ, f’’_0δ, f’’_0ε и f’’_0κ. Первая и последняя плоскость проходят через точки 1’’ и 8’’. Остальные плоскости занимают промежуточное положение и дают по две точки на линии пересечения: на ближней (видимой) и дальней (невидимой) образующих. Каждая из вспомогательных секущих плоскостей рассекает цилиндр по окружности с центром, проецирующимся на его ось. На рисунке 69, б обозначены центры только двух окружностей С₁ и С₅, лежащих, соответственно, в плоскостях α и κ.

Поясним порядок построений для одной из плоскостей. Плоскость α рассекает наклонный цилиндр по окружности, фронтальная проекция центра которой – точка C’’₁. Спроецируем ее на горизонтальную плоскость проекций на ось цилиндра, получим точку C’₁. С центром в этой точке построим дугу окружности с радиусом, равным радиусу оснований цилиндра. С помощью проекционной связи на этой дуге найдем точку, принадлежащую линии пересечения с плоскостью β, - точку 1’. Аналогичным образом построены другие 7 точек на четырех вспомогательных плоскостях.

Построенные в плоскости π₁ точки 1’ – 8’ соединены лекальной кривой. Точки 1’, 3’, 4’ и 6’ лежат на видимой части линии пересечения, точки 2’, 5’, 7’ и 8’ принадлежат невидимой части эллипса. Видимость меняется на крайних образующих. В данном случае положение точек изменения видимости определено приближенно. Для точного их выявления необходимо прибегнуть к методу образующих.