Метод перемены плоскостей проекций

Среди способов преобразования проекций метод перемены плоскостей проекций (ППП) является наиболее применяемым из-за своей универсальности: он позволяет перевести геометрические элементы из общего положения в частное, что облегчает решение позиционных и метрических задач. Его суть состоит в сохранении одной из плоскостей проекций неизменной и в замене другой плоскости, находящейся под определенным углом к исходной.

Общие случаи применения метода ППП

17.1.1 Преобразование точки, прямой

Если необходимо перенести точку или отрезок прямой (две точки) в новую систему плоскостей проекций, следует действовать так:

17.1.1.1 Провести новую ось координат, подходящую для решения определенной задачи.

17.1.1.2 Вычертить линии проекционной связи от точек в неизменной плоскости проекции перпендикулярно новой координатной оси.

17.1.1.3 Отложить на линиях проекционной связи от новой координатной оси координаты точек в новой плоскости проекции с учетом знаков: они равны расстояниям точек от старой оси координат в плоскости проекций, подлежащей изменению.

17.1.1.4 Обозначить проекции точек на новой плоскости проекций.

Преобразование отрезка прямой методом ППП проиллюстрировано на рисунке 45, а.

O

x

A

I

B

I

A

I

I

B

I

I

A

I

V

B

I

V



1

O

f

I

I

0



X



X



1

N

I

I

N

I

1

I

I

1

I

1

I

V

h

I

I

h

I



2



2



4

x



1



2



1



4

h

I

0



f

I

V

1



a) б)

 

Рисунок 45 – Примеры применения метода ППП: а) преобразование отрезка прямой;

б) преобразование плоскости

Пусть проекцию отрезка АВ следует перенести в новую горизонтальную плоскость проекций π₄.

Опустим из точек A’’ и B’’ фронтальной проекции отрезка A’’B’’ перпендикуляры на ось координат π₂/π₄. Из оснований этих перпендикуляров откладываем координаты y концов отрезка АВ, измеренные в старой системе плоскостей проекций – π₂/π₁: расстояние от A^IV до оси π₂/π₄ равно расстоянию от A’ до оси π₂/π₁ (Оx), а расстояние от B^IV до π₂/π₄ равно расстоянию от B’ до π₂/π₁, причем эти отрезки откладываются в разные стороны от π₂/π₄, так как координаты концов отрезка имеют разные знаки. Отрезок A^IVB^IV – новая горизонтальная проекция АВ.

17.1.2 Преобразование плоскости, заданной следами

В некоторых случаях при решении задач плоскость общего положения необходимо перевести в иное общее положение в новой системе плоскостей проекций. Принято действовать следующим образом:

17.1.2.1 Провести новую ось координат, подходящую для решения определенной задачи.

17.1.2.2 Отметить пересечение следа плоскости в плоскости проекций, не подлежащей перемене, с новой координатной осью – это новая точка схода следов.

17.1.2.3 Вычертить произвольную линию частного положения в заданной плоскости, параллельную неизменной плоскости проекций (см. Алгоритм 10.1.2).

17.1.2.4 Найти пересечение проекции этой прямой в неизменной плоскости проекций с новой осью координат – это проекция следа данной прямой в новой плоскости проекций.

17.1.2.5 Найти проекцию полученной точки в исходной изменяемой плоскости проекций.

17.1.2.6 Перенести эту точку в новую плоскость проекций (см. Алгоритм 17.1.1) – она будет лежать на искомом следе плоскости.

17.1.2.7 Вычертить след заданной плоскости в новой плоскости проекций: он пройдет через точки, построенные в пп. 17.1.2.2 и 17.1.2.5.

Пусть необходимо построить след плоскости α (рисунок 45, б) на новой фронтальной плоскости проекций π₄. Новая точка схода следов X_α1 получается на пересечении следа h’_0α с координатной осью π₁/π₄. Из произвольной точки N’’ на следе f’’_0α проведем фронтальную проекцию горизонтали плоскости α: она параллельна оси π₂/π₁ (Оx). Горизонтальная проекция этой горизонтали проходит от точки N’, лежащей на π₂/π₁, параллельно следу h’_0α. Эта проекция пересекает ось π₁/π₄ в точке 1’. Ее фронтальная проекция 1’’ лежит на фронтальной проекции построенной горизонтали N’’1’’ в проекционной связи.

Ищем новую фронтальную проекцию точки 1. На проекционном перпендикуляре к оси π₁/π₄, восстановленном из горизонтальной проекции 1’, откладываем неизменную координату z этой точки:

расстояние от 1^IV до 1’ равно расстоянию от 1’’ до оси π₂/π₁.

Новый фронтальный след f^IV_1α проходит из точки схода следов X_α1 через построенную проекцию 1^IV.

Перевод отрезка прямой в частное положение

17.2.1 Преобразование прямой общего положения в прямую, параллельную плоскости

Проекций

17.2.1.1 Провести новую координатную ось параллельно одной из проекций отрезка прямой.

17.2.1.2 Построить проекцию отрезка прямой в новой плоскости проекций согласно Алгоритму

17.1.1.

Для прямой АВ на рисунке 46, а, новая ось координат π₂/π₄ была проведена параллельно фронтальной проекции A’’B’’. Таким образом, в новой системе плоскостей проекций π₂ и π₄ прямая АВ становится горизонтальной. Опустим из концов отрезка A’’B’’ проекционные перпендикуляры на ось π₂/π₄. Из их оснований на координатной оси отложим неизменные координаты y концов отрезка АВ: расстояние от оси π₂/π₄ до точки A^IV равно расстоянию от π₂/π₁ до точки A’, а расстояние от π₂/π₄ до точки B^IV равно расстоянию от π₂/π₁ до точки B’, причем последний отрезок откладывается в отрицательном направлении подразумеваемой оси Oy. Соединим полученные точки – в новой плоскости проекций A^IVB^IV является горизонтальной проекцией горизонтали, следовательно, отрезок проецируется в истинную величину.

17.2.2 Преобразование прямой в проецирующую

В проецирующее положение прямая переводится методом ППП из частного положения, когда прямая параллельна одной из плоскостей проекций:

17.2.2.1 Провести новую координатную ось перпендикулярно той проекции прямой, которая отображается в истинную величину.

17.2.2.2 Построить проекцию отрезка прямой в новой плоскости проекций согласно Алгоритму

17.1.1. Прямая спроецируется в одну точку.

Прямая CD на рисунке 46, б является фронтальной. Проведем новую координатную ось π₂/π₄ перпендикулярно фронтальной проекции отрезка прямой C’’D’’. При этом фронтальная плоскость проекций π₂ остается неизменной, а меняется горизонтальная плоскость проекций – на π₄. Проекционный перпендикуляр на ось π₂/π₄ является продолжением проекции C’’D’’. На этой линии проекционной связи откладываем расстояние, равное удалению проекции C’D’ от оси π₂/π₁. Отрезок прямой C^IVD^IV проецируется в одну точку, следовательно прямая CD перпендикулярна к плоскости проекций π₄.

a) б)

 

Рисунок 46 – Преобразование прямой методом ППП: а) из общего положения в прямую, параллельную плоскости проекций; б) в проецирующую прямую

Для того чтобы сделать проецирующей прямую общего положения, необходимо провести две перемены плоскостей проекций, последовательно применив Алгоритмы 17.1.1 и 17.2.2.