Граничные условия для уравнений гидродинамики

 

Решение реальных задач с помощью уравнений гидродинамики требует постановки начальных и граничных (краевых) условий. Поскольку все рассмотренные модели описываются дифференциальными уравнениями первого порядка по времени, постановка начальных условий сводится к заданию значений гидродинамических параметров в начальный момент времени :

, , .           (12.21)

Естественно, если необходимо, вместо начального значения температуры среды  можно задать значение энергии или давления.

Постановка граничной задачи определяется характером взаимодействия рассматриваемой сплошной среды с поверхностью на границе области. На практике часто приходится решать задачу о течении сплошной среды в области, ограниченной твердыми поверхностями[38]. Число необходимых для решения задачи граничных условий определяется порядком дифференциального уравнения. Поэтому эти условия и их число оказываются существенно различными для разных моделей среды. Простейшей моделью среды являются уравнения невязкой жидкости – уравнения Эйлера. Они получаются из уравнений переноса (12.9), (12.11), (12.13), если использовать определяющие соотношения

 

, .                     (12.22)

 

Уравнения переноса импульса и температуры в этом случае содержат производные от скорости и температуры первого порядка. Соответственно для температуры и каждой из компонент скорости необходимо поставить по одному условию на твердой поверхности. Так как в рассматриваемой ситуации вязкость и теплопроводность отсутствуют, не существует механизма, который бы изменял температуру жидкости (газа) на твердой поверхности. Поэтому жидкость течет вдоль поверхности без потери импульса и энергии. Естественно, также, что она не может протекать через поверхность. Это и определяет необходимое граничное условие, скорость жидкости по нормали к поверхности  должна обращаться в нуль для неподвижной поверхности

                                     (12.23)

или совпадать со скоростью движения границы

                            (12.23а)

где  – вектор нормали к поверхности, а  – скорость точки на поверхности. Условие (12.23) называют обычно условием непротекания.

В вязкой жидкости на границе изменяются и температура, и тангенциальная скорость жидкости. В феноменологической гидродинамике обычно предполагается, что изменения эти очень сильные. Скорость и температура движущейся сплошной среды на границе равны соответственно скорости и температуре поверхности

, ,            (12.24)

где  – скорость движения поверхности и ее температура, а  – ее координата.

Жидкость вследствие вязкости и теплопроводности «прилипает» к поверхности, условия (12.24) и называются условиями прилипания.

 

 

Заключение

 

Несколько итоговых слов относительно предположений, закладываемых в основание феноменологической гидромеханики. Краеугольным камнем является, как мы видели, концепция сплошной среды. Моделирование системы многих частиц сплошной средой будет тем более успешным, чем меньше размеры частиц и чем выше их плотность. Сплошной средой вполне можно считать молекулярные жидкости и не слишком разреженные газы, молекулы которых достаточно малы (диаметр молекул порядка нескольких ангстремов).

Уравнения сохранения (12.9), (12.11), (12.13) являются следствиями законов сохранения в системе массы, импульса и энергии. Линейные навье-стоксовские определяющие соотношения (12.15), (12.16) (точнее, определяющие соотношения Ньютона и Фурье) применимы для описания обычных молекулярных жидкостей и газов при сравнительно малых градиентах гидродинамических величин. Важно подчеркнуть, что эти соотношения линейные и локальные по времени и пространству. Последнее означает, в частности, что возмущения в такой среде должны распространяться с бесконечной скоростью. В этом легко убедиться на примере линейных гидродинамических задач, хотя справедливости ради следует отметить, что в общем случае при решении полных нелинейных уравнений Навье – Стокса скорость распространения возмущения может оказаться конечной.

Пространственная локальность определяющих соотношений (12.15), (12.16) предполагает, что изменение потока макроскопической величины в точке  обусловлено изменением соответствующей термодинамической силы в той же точке. Это также противоречит нашим физическим представлениям. Изменение потока в данной точке должно определяться, по крайней мере, термодинамической силой (градиентом гидродинамической величины) в этой же точке и в некоторой ее окрестности. Последнее обусловлено свойствами переноса, когда некоторый макроскопический признак из точки  переносится в точку .

Наконец следует подчеркнуть, что все феноменологические гидродинамические теории приводят к моделям, которые формулируются с точностью до некоторых постоянных, коэффициентов переноса. Их физический смысл в рамках гидродинамики выяснить не удается. Не удается понять и механизмы диссипации. Чтобы сделать это, приходится привлекать кинетическую теорию. Парадокс состоит в том, что для объяснения механизмов диссипации необходимо рассмотреть перенос макроскопических признаков среды на кинетических масштабах, которые в гидродинамике не различимы и просто не существуют! Именно это является исходным посылом концепции сплошной среды.

 

Вероятность того, что случайное

объяснение окажется правильным,

               равна 50 %!

 

Гарретт Биркгоф

 

Идеальный (совершенный) газ

 

 

Уравнения движения

 

Наиболее простой гидродинамической моделью является модель идеального газа, которая получается из уравнений гидродинамики (12.9), (12.11), (12.13), если в них пренебречь эффектами вязкости и теплопроводности среды. Такой газ называют идеальным или совершенным газом[39]. Определяющие соотношения в этом случае имеют вид

.           (13.1)

Уравнения переноса такой среды тогда можно записать так:

.               (13.2)

 

Для замыкания этой системы уравнений необходимо задать еще уравнение состояния, т. е. уравнение, связывающее давление с плотностью и энергией (температурой),

или .                (13.3)