Затем мы ищем статистически стационарное (не зависящее от времени) решение, пробуя

Анзац

W (z) ∝ exp (κ z).

(13.22)

Подставляя это и используя (13.21), получаем

1 = ∫ d

p (; T) e - T κ (λ ⊥ +) ∝ ∫ de Ts () - T κλ ⊥ - T κ.

(13.23)

Последний интеграл можно оценить при больших T, если взять максимум

выражение в экспоненте:

∫ de Ts () - T κλ ⊥ - T κ ∝ exp [ T (s (∗

) - κ

∗ - κλ ⊥)],

где значение ∗ определяется условием максимума

Стр. Решебника 333

Начало синхронизации: статистическая теория

311

ds (*)

d

= κ.

Подставляя эти два выражения в (13.23), получаем уравнение для ∗

s (∗

) - (

∗ + λ ⊥)

ds (*)

d

= 0,

(13,24)

из которого мы можем найти показатель вероятностного распределения κ. Тезнакомые

С термодинамическим формализмом можно легко узнать здесь обычные формулы для

преобразование Лежандра (общие сведения см. в учебниках по статистической механике).

ции и, например, Отт [1992] для приложений к хаотическим системам).

Отметим, что в (13.24) масштабная функция s () характеризует свойства флук-

Локальных мультипликаторов симметричного хаотического состояния и не зависит от

параметр связи ε. Зависимостьот ε входитв (13.24) толькочерез

поперечный показатель Ляпунова λ ⊥. Поскольку s (0) = s ′ (0) = 0, при критичности, где

поперечный показатель Ляпунова λ ⊥ меняет знак, показатель κ меняетзнакпри

хорошо. При малых λ ⊥ показатель κ линейнозависитот λ ⊥. Как следует из (13.14),

зависимость κ от ε - ε c также линейна.

В терминах возмущения w стационарное распределение (13.22) является степенным законом

W (w) ∝ w κ − 1.

(13,25)

Как и любой закон совершенной степени, это распределение не нормализуется. Как уже было

Как уже отмечалось, на пороге (13.15) показатель κ меняетзнак. Такимобразом

распределение (13.25) расходится при w → 0 врежимеполнойсинхрон изации

(где κ <0) ирасходитсяпри w →∞ длямалыхсвязей, когдасинхронная

режим неустойчив и κ > 0. Чтобыполучитьнормируемоераспределение, мыдолжныпойти

Вне линейного приближения с учетом дополнительных к линейному приближению членов

Отображение (13.16).

Ниже порога синхронизации ε < ε c

Расходимость при w →∞ возникаетиз - затого, чтомыпренебреглиэффектаминасыщения

В системе (13.9) и (13.10). Понятно, что разница x - y не может расти.

Без ограничения, поскольку аттрактор связанных отображений занимает конечную область в

Фазовое пространство. В общем случае насыщение следует описывать с помощью нелинейных

Члены в обоих уравнениях. (13.9) и (13.10). Соответствующая теория, однако, не

Пока не был разработан. В качестве упрощенной модели мы по-прежнему используем линейное уравнение (13.18),

и моделируем насыщение с искусственной верхней границей при z = z max = ln w max:

Случайное блуждание «отражается» этой границей, так что распределение (13.25) имеет

Отсечка при w макс.

С помощью этого обрезания мы можем нормализовать плотность распределения (13.25):

W (w) = {

κ w - κ

макс w κ − 1

для w ≤ w max,

0

Иначе.

Стр. Решебника 334

312

Полная синхронизация I

Из этого соотношения легко получить моменты возмущения w:

〈 W q 〉 =

κ

q + κ

ш

q

Макс.

Именно на пороге синхронизации все моменты исчезают, а при малых отклонениях

от критичности они линейно растут с ε c −ε (поскольку κ линейнозависитот

поперечный показатель Ляпунова λ ⊥). Это довольно необычное поведение при бифуркации

Точка; это напрямую связано со степенным характером распределения.

Числовая ловушка для идентичных систем

Интересный эффект можно наблюдать в несинхронизированном состоянии, близком к

Порог синхронизации. Если моделировать динамику связанных идентичных

Системы (13.4) на компьютере, то полную синхронизацию можно наблюдать даже

В области положительного поперечного показателя Ляпунова. Этот «нестабильный»

Синхронизация возникает из-за конечной точности численных расчетов. Действительно,

На компьютере, если состояния двух симметричных систем равны до последней цифры,

Эволюция этих состояний идентична и наблюдается полная синхронизация.

Например, точность компьютерных вычислений, выполненных с двойной точностью.

обычно составляет 10 − 15. Если в процессе динамики возмущение w меньше этого

величина в момент времени t 0, то для всех t > t 0 w 0, и это выглядит как полная синхронизация.

Хронизация. В терминах случайного блуждания логарифма возмущения z одно

можно интерпретировать этот эффект как наличие поглощающей границы при z min = ln (10 − 15):

Как только случайное блуждание достигает этой границы, оно остается в ней. Рядом с синхронизацией

Вероятность перехода для г, чтобы достичь г мин не мало, и, предположительно, «нестабильный»

О синхронизации сообщалось в нескольких публикациях. Этот числовой артефакт может

можно избежать, введя в систему небольшую асимметрию (например, через малый параметр