Между двумя сечениями с этой поверхностью определим фазу как линейную функцию

времени, так что фаза увеличивается на 2 π скаждымвозвращениемнаповерхностьсечения:

φ (t) = 2 π

Т - т н

t n +1 - t n + 2 π n,

т н ≤ т < т п +1.

(10.1)

Здесь t n - время n- го пересечения секущей поверхности. Очевидно, что определение

Неоднозначно, поскольку существенно зависит от выбора поверхности Пуанкаре.

Тем не менее, введенная таким образом фаза удовлетворяет условиям, перечисленным выше как

Следует.

(i) Для периодической траектории, пересекающей поверхность сечения только один раз, фаза

(10.1) полностью согласуется с формулой. (7.3). Это не относится к периодическим орбитам.

Имеющие несколько сечений с поверхностью; для этих траекторий фаза

(10.1) является кусочно-линейной функцией времени. Для любой конкретной периодической орбиты

Можно выбрать небольшой участок поверхности сечения вокруг него и определить

Напоминаем читателю, что хаотическое движение можно представить через расширение в движении

По неустойчивым периодическим орбитам (UPO), вложенным в странный аттрактор; обсуждение и

цитаты приведены в разделе 10.2. Свойства фазы для набора UPO:

Рассматривается в разделе 10.2.3.

Стр. Решебника 271

Фаза хаотического осциллятора

249

Фаза, которая удовлетворяет уравнению. (7.3), но сделать это глобально, т. Е. Для всех

Периодические орбиты. Важно отметить, что для периодической орбиты с периодом Т,

приращение фазы согласно формуле. (10.1) имеет вид φ (T) - φ (0) = 2 π N,

Где N - количество сечений этой орбиты с поверхностью

Раздел; следовательно, приведенное выше определение фазы дает правильное значение

Частота (и поэтому мы считаем это определение разумным). Примечание

Что N есть не что иное, как период соответствующей орбиты в системе Пуанкаре.

Карта; мы называем его топологическим периодом (это понятие становится важным в

Раздел 10.2).

(ii) Фаза (10.1) локально пропорциональна времени, поэтому ее возмущение

Не растет и не затухает. Следовательно, фаза (10.1) соответствует нулю

Показатель Ляпунова.

(iii) Фаза (10.1) учитывает «повороты» хаотического осциллятора, причем повороты

Определяются в соответствии с выбором отображения Пуанкаре: каждая итерация

Отображение эквивалентно одному циклу системы непрерывного времени. Фаза

Легко рассчитать; более того, если нас интересует только характеристика

Динамику с точки зрения захвата частоты, мы можем просто вычислить (среднее)

Частота как количество возвратов на поверхность Пуанкаре (т. е. количество

циклов) в единицу времени.

Фаза - важный компонент (обычно используется в нелинейной динамике)

редукция динамической системы с непрерывным временем к дискретному отображению Пуанкаре (см., например,

Уравнения. (10.7) и (10.8) позже). В математической литературе часто говорят наоборот.

Способ: начиная с отображения, строят непрерывный поток, используя специальный поток

строительство [Cornfeld et al. 1982].

Чтобы не быть излишне абстрактным, проиллюстрируем этот подход двумя прототипами.

модели нелинейной динамики, а именно модели Рёсслера [Rössler 1976] и Lorenz

[Lorenz 1963] осцилляторы. Обе являются трехмерными диссипативными системами с хаотическим

Аттракторы.

Простой случай: система Рёсслера

Динамика системы Рёсслера

˙ x = - y - z,

˙ у = х + 0,15 у,

˙ z = 0,4 + z (х - 8,5),

(10.2)

показаны на рис. 10.1. Временные зависимости x (t) и y (t) можно рассматривать как «почти

Синусоидальные»хаотически модулированные колебания, а z (t) - последовательность хаотических

Импульсы. Правильный выбор поверхности Пуанкаре для вычисления фазы

согласно формуле. (10.1) может быть, например, полуплоскостью y = 0, x <0. Проекция плоскости

Фазовый портрет на плоскости (x, y) выглядит как размытый предельный цикл с четко выраженным

Вращения вокруг начала координат. В этом и подобных случаях можно также ввести угол

Стр. Решебника 272

250

Фазовая синхронизация хаотических систем

переменной θ преобразованиемвполярныекоординаты (началокоординатсовпадаетс

центр вращения, ср. [Горячев, Капрал 1996; Пиковский и др. 1996]):

θ = загар

− 1 (у / х).

(10,3)

Мы можем рассматривать угловую переменную θ каклегковычислимуюоценкуфазы

φ; дляэтогоконкретногопримераразницамежду θ и φ незначительна [ Пиковский

и другие. 1996].

Отметим, что хотя фаза φ ифазоподобнаяпеременная θ несовпадаютнамикроуровне

Объемно (т. е. в масштабе времени меньше одного характерного периода колебаний, см.

Рис. 10.3 ниже), они обеспечивают равные средние частоты: средняя частота определяется как

среднее по времени 〈 d θ / dt 〉 совпадает с прямым определением среднего