Здесь представлены только основные черты динамики, оставляя в стороне некоторые мелкие аспекты.

(Приблизительная) бифуркационная диаграмма уравнения (7.45) показано на рис. 7.6. Мы начинаем

анализ с нахождением стационарных решений (неподвижных точек). Положив ˙ a = 0, мы

получим следующее кубическое уравнение для квадрата амплитуды R 2 = | а | 2:

R 2 (1 - R 2) 2 + ν 2 R 2 = е 2.

Это уравнение имеет три действительных корня при условии

9 ν 2 + 1 - (1 - 3 ν 2) 3/2 <

E 2

2

<9 ν 2 + 1 + (1 - 3 ν 2) 3/2,

Или один настоящий корень в противном случае. Таким образом, уравнение. (7.45) имеет либо три, либо одну неподвижную точку (точки). В

область с тремя корнями обозначена буквой A на рис. 7.6. В регионах B, C и D есть

Только одна фиксированная точка.

Чтобы определить устойчивость неподвижной точки, мы должны линеаризовать уравнение. (7.45), что

Приводит к характеристическому уравнению

λ 2 + (4 R 2 - 2) λ + (1-3 R 2) (1 - R 2) + ν 2 = 0.

Мы видим, что устойчивость определяется величиной амплитуды R, и в зависимости от

По параметрам возможны разные типы устойчивости (стабильный и нестабильный узел, сад-

dle, фокус). Наиболее важной бифуркацией здесь является бифуркация Хопфа при 4 R 2 − 2 = 0,

Что соответствует гиперболе

е 2 = ν 2 /2 +

1

8

,

который разделяет области B и D на рис. 7.6.

Стр. Решебника 216

194

Синхронизация периодических осцилляторов периодическим внешним воздействием.

Эти отношения уже дают «грубую» картину возможных переходов. 8 дюймов

В областях A и B единственным устойчивым решением является устойчивая неподвижная точка; это регион

Идеальная синхронизация, при которой синхронные колебания имеют постоянную амплитуду

И постоянный фазовый сдвиг по отношению к внешней силе (конечно, эти величины

Являются константами только в используемом приближении). В областях C и D глобальный аттрактор

В системе (7.45) - предельный цикл; здесь движение вынужденного слабонелинейного

Осциллятор квазипериодический.

Поучительно посмотреть, как появляется / исчезает синхронизация с вариацией.

параметров e, ν. 9 Из рис. 7.6 видно, что бифуркации различны для

Малые и большие значения e; мы обсуждаем эти два случая отдельно.

Здесь мы не описываем тонкую сложную структуру бифуркаций вокруг точки

ν = 0,6, e = 0,5, см. [Holmes and Rand 1978; Argyris et al. 1994] для подробностей.

Эти нормированные параметры связаны с параметрами исходной системы (7.41) через

Уравнения. (7.44).

0,0

0,5

1.0

1.5

2.0

| ν |

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1.0

е

D

А

B

C

Рисунок 7.6. Бифуркационная диаграмма для изохронной вынужденной слабонелинейной

осциллятора (уравнение (7.45)): зависимость от отстройки частоты ν и

(перенормированная) амплитуда воздействия e. В областях A и B есть устойчивая неподвижная точка,

Соответствующему устойчивому синхронизированному состоянию (в A дополнительно имеется пара

Неустойчивые неподвижные точки). В областях C и D есть неустойчивая неподвижная точка и стабильная

предельный цикл; разница между C и D проиллюстрирована в тексте и на рис. 7.9.

Переход от A к C происходит через бифуркацию седло-узел (жирная кривая), это

проиллюстрировано на фиг. 7.7 и 7.8. Переход B → D → C показаннарис. 7.9

и 7.10. Линия бифуркации Хопфа (B → D) показанапунктирнойкривой; в

показан переход из режима захвата частоты в несинхронное состояние (D → C).

Штрихпунктирной кривой. В области, показанной рамкой, сложные бифуркации

происходить. Из [Пиковский и др. 2000].

Стр. Решебника 217

Слабонелинейный осциллятор

195

Синхронизационный переход при малых амплитудах внешней силы

Фиксируя параметр e на малом значении (0,5) и меняя | ν |, мынаблюдаемпереход

Между областями A и C.В области A есть три фиксированных точки: одна неустойчивый фокус,

Один стабильный узел и одно нестабильное седло. При бифуркации седло и узел сталкиваются

и появляется стабильный предельный цикл, как показано на рис. 7.7 и 7.8. Этот переход очень

Аналогично тому, что происходит в фазовом приближении, как описано в разделе 7.1. Этот

Неудивительно, поскольку теория раздела 7.1 должна быть универсально применима для очень малых

Амплитуды воздействия.

а)

–1

0

1

–1

0

1

Re (а)

Я (а)

(б)

–1

0

1

–1

0

1

Re (а)

Я (а)

(c)

–1

0

1

–1

0

1

Re (а)

Я (а)

Рисунок 7.7. Потеря синхронизации из-за бифуркации седло-узел (переход

A → C насхемерис. 7.6). Посерединеобластисинхронизацииесть

Существуют неустойчивый фокус (показан треугольником), стабильная неподвижная точка (закрашенный кружок) и

неустойчивая (пустой кружок) неподвижная точка (а). Стабильные и нестабильные фиксированные точки приближаются

у границы синхронизации (б). Устойчивый предельный цикл существует вне

область синхронизации (с); он рождается из инвариантной кривой, образованной неустойчивым

многообразия седла. Из [Пиковский и др. 2000].

0

50

100

150

200

Время

–1

0

1

Х (т)

–2

–1

0

1

ψ / 2 π

а)

(б)

0

50

100

150

200

Время

–1

0

1

Х (т)

–2

–1

0

1

ψ / 2 π

(c)

(г)

Рисунок 7.8. Колебания вынужденного слабонелинейного осциллятора при малом воздействии

амплитуды. Внутри области синхронизации (A на рис. 7.6) амплитуда и

разность фаз постоянна (а, б). Сразу после перехода на синхронизацию

(A → C нарис. 7.6) разностьфаз ψ вращаетсянеравномерно, эпохипочти

постоянные ψ перемешаныс 2 π - проскальзыванием (в); (г) амплитуданемного

модулированный. Из [Пиковский и др. 2000].

Стр. Решебника 218

196