Элементарный Конструктивный Анализ

Мы понимаем реальные числа как модулированные последовательности Коши рациональных чисел.

1

Так что настоящий

число, или просто реальное, есть не что иное, как последовательность

(ля

м

)

м∈

Н

рациональных чисел к-

гетер C модулем упругости

M: Q

+

→ N такие, что |a

м

− ля

н

/ ≤ ε для m, n ≥ M (ε). Позволь

1

Поскольку мы не фокусируемся на фиксированных модулях, мы отклоняемся от [2, 3, 21]. Подход, аналогичный тому, который описан выше.

настоящий снимок был сделан в [22, 16].

228

P. Schuster and H. Schwichtenberg

мы подчеркиваем, что на протяжении всей этой статьи мы строго отождествляем понятия “действительное число” и
“модулированная последовательность рациональных чисел Коши” друг с другом, хотя
иногда мы говорим, что экземпляр последнего представляет, дает или определяет соответствующий
экземпляр первого. Как обычно, обозначим множество

2

вещественных чисел по

Р.

Каждый рациональный человек

q молчаливо понимается как реальное, представленное константой se-

Квентин

один

м

= q с постоянным модулем M (ε) = 1. Для любого рационального q с |q|,

менее тривиальное представление реального (по сути, рационального

1

1

−вопрос

) является ли то, что дано самим

частичная сумма

один

н

=

n
i=0

q

я

из геометрической серии: as

|ля

м

− ля

н

| ≤

2

|1-q|

|вопрос|

n+1

всякий раз, когда

m ≥ n, соответствующий модуль равен M (ε) = min{ n ∈ N / / q|

n+1

≤

|1-q|

2

ε }.

Реальный

a неотрицателен (записывается как A ∈ R

0

+

) если

- ε ≤ a

M (ε)

для всех рациональных людей

ε > 0,

и положительный (написано как

a ∈ R

+

) если

ε ≤ a

М(

ε
2

)

для некоторых рациональных людей

ε > 0. Мы пишем:

ля ∈

ε

Р

+

всякий раз, когда рациональный

ε > 0 является таким свидетелем a ∈ R

+

. Так что если

ля ∈

ε

Р

+

,

затем

один

м

≥

ε
2

для всех

m ≥ M(

ε
2

).

Даны действительные числа

a, b, представленные последовательностями рациональных чисел (a

м

)

м∈

Н

,

(b

м

)

м∈

Н

с помощью модулей

M, N, определим каждый c из списка a +b, −a, |a|, a ·b, и

1
а

(только последнее

при условии

|ля| ∈

η

Р

+

) как представлено соответствующей последовательностью

(с

м

) рациональных людей

с модулем упругости

Л:

с

с

м

L (ε)

a + b

один

м

+ b

м

максимум

М

ε
2

, Северный

ε
2

−ля

−ля

м

M ε

|ля|

|ля

м

|

M (ε)

а · б

один

м

* b

м

максимум

М

ε

2

К

/ b|

, Северный

ε

2

К

|ля|

1
а

для

|ля| ∈

η

Р

+

1

один

м

если

один

м

= 0

0

если

один

м

= 0

максимум

М

η
2

, Северный

εη

2

4

где рациональное число

К

один

= max{ a

н

| n ≤ M (1) } + 1 таково, что a

м

≤ K

один

для

ВСЕ

m ∈ N. Излишне говорить, что a-b и

а
б

(для

b ∈ R

+

) означать

a + (- b) и a ·

1
б

,

соответственно.

Мы пишем:

a ≤ b для b-A ∈ R

0

+

и

a

+

. Разматывать то

определения дают, что

a ≤ b означает, что для каждого рационального η > 0 существует P

η

∈ Северный

такие что

один

м

≤ b

м

+ η для всех m ≥ P

η

. Кроме того,

a

выражая присутствие рационального человека

η > 0 и положительное целое число Q с a

м

+ η ≤ b

м

для всех

m ≥ Q; затем мы пишем a

η, Q

b (или просто a

η

b, если Q не требуется) всякий раз, когда

мы хотим вызвать этих свидетелей.

Конструктивно, равенство

A = b и неравенство a = b между вещественными числами являются к

быть определено как

a ≥ b ∧ a ≤ b и a < b ∨ a > b, соответственно. Некоторые рутинные доказательства

покажем, что арифметика вещественных чисел соблюдает равенство. Более того,

А ≤ b может

эквивалентно определяется как

(a > b), и a = b как (a = b), тогда как a >

2

Поскольку мы не решаемся полностью посвятить себя какой-либо теории множеств, мы хотим понимать каждое множество как

отождествляется с определяющим свойством его элементов.

Конструктивные решения непрерывных уравнений

229

являются конструктивно сильнее, чем

(a ≥ b) и (A = b), соответственно.

3

Интервалы есть

затем определяется знакомым образом; так что

[a, b] определяется как множество { c ∈ R | A ≤ c ≤ b }.

За исключением свойств полноты, которые мы обсудим далее,
обычно проверяют, что реалы, определенные выше, обладают всеми признаками реалов
, которые обычно считаются конструктивными [4]. Конструктивно, в частности, мы
не можем сравнить два вещественных числа, но мы можем сравнить каждое вещественное число с каждым нетривиальным интервалом,
как в следующем приближенном принципе расщепления.

Лемма 1. Для всех вещественных чисел

a, b, c, если a < b, то либо a < c, либо c < B.

Доказательство. Пусть...

M, N, L обозначают модули a, b, c соответственно и предполагают, что

ля <

7

η, Р

b, т. е.,

один

м

+ 3η

м

+ 4η ≤ b

м

− 3η

для каждого

m ≥ P. Для Q = max{M(η), N (η), L (η), P} имеем либо c

Q

< ля

Q

+4η

иначе

один

Q

+ 4η ≤ c

Q

но не оба сразу. В первом случае,

с

Q

< б

Q

- 3η, и таким образом

с

м

+ η ≤ c

Q

+ 2η

Q

- η ≤ b

м

для каждого

m ≥ Q, Что означает, что c

η, Q

b. в последнем случае a

Q

+ 3η

Q

, и

таким образом

один

м

+ η ≤ a

Q

+ 2η

Q

- η ≤ c

м

для каждого

m ≥ Q, Что означает, что a

η, Q

с.

Примечательно, что хотя

a < c и c < b вполне могут произойти одновременно,
доказательство леммы 1 содержит процедуру, которая автоматически фиксирует одну из
альтернатив в каждом таком случае. Это достоинство, которое, конечно, стоит и падает с
наличием модулей для

a, b, c и свидетель для a < b, имеет особое значение
всякий раз, когда приближенный принцип расщепления применяется бесконечно часто, поэтому в доказательстве
теоремы 12 ниже. Используя эту процедуру, мы можем избежать обычного вызова
зависимого выбора для последовательного построения последовательности действительных чисел.

Непосредственным следствием леммы 1 является то, что

b ≤ c означает, что a

a

За 1 год

≤ j ≤ n пусть a

j

быть действительным числом, заданным последовательностью рациональных чисел

(ля

j m

)

м∈

Н

с модулем упругости

М

j

. Тогда максимум max

{ ля

j

| j ≤ n } - это действительное число, представленное

по последовательности рациональных чисел max

{ ля

j m

| j ≤ n }

м∈

Н

с модулем максимальным

{ М

j

| Дж ≤

северный }. Конструктивно нельзя выбрать индекс i, для которого a

я

= max{ a

j

| j ≤ n }, но

для каждого

ε > 0 мы можем найти—следующим образом-индекс i такой, что a

я

является максимальным вплоть до

ε

среди всего этого

один

j

.

Лемма 2. Для всех вещественных чисел

один

1

,..., ля

н

и каждый рациональный

ε > 0 > мы можем найти an

i ≤ n так что a

j

≤ ля

я

+ ε для каждого j ≤ n.

3

Это ясно ввиду экзистенциального и универсального характера предикатов

∈ Р

+

и

∈ Р

0

+

,

соответственно.

230

P. Schuster and H. Schwichtenberg

Доказательство. Для каждого из них

j ≤ n пусть a

j

быть представленным последовательностью рациональных чисел

(ля

j m

)

м∈

Н

с модулем упругости

М

j

. Учитывая рациональный подход

ε > 0, set

M = max M

j

ε
2

j ≤ n,

b = max{ a

j M

| j ≤ n },

и

i = min{ k ≤ n / a

км

= b }.

Для каждого

j ≤ n мы тогда имеем

один

j m

≤ ля

j M

+

ε
2

≤ ля

Мгновенные сообщения

+

ε
2

≤ ля

Мгновенные сообщения

+ ε

для каждого

m ≥ M, так что a

j

≤ ля

я

+ ε как требовалось.

Что касается леммы 1 выше, то мы хотим подчеркнуть, что в силу наличия модулей

алгоритм, приведенный в доказательстве леммы 2, всегда выбирает определенный индекс

я даже когда
есть несколько выполняющих его спецификацию. Эта функция снова позволяет нам делать доказательства
без Счетного выбора.

Давайте теперь посмотрим на свойства полноты, характерные для реального

числа. Сначала мы рассмотрим последовательную полноту. Последовательность

(ля

м

)

м∈

Н

из реалов

является последовательностью Коши с модулем

M: Q

+

→ N всякий раз, когда |a

м

− ля

н

| ≤ ε для

m, n ≥ M (ε), и сходится с модулем M: Q

+

→ N к вещественному b, его пределу,

всякий раз, когда

|ля

м

- b / ≤ ε для m ≥ M (ε).

Лемма 3. Каждая модулированная последовательность рациональных чисел Коши сходится с тем же
модулем к действительному числу, которое она представляет.

Доказательство. Пусть...

(ля

м

)

м∈

Н

быть последовательностью Коши рациональных чисел с модулем

М, и пусть б

будьте реальным числом, которое он представляет. Для каждого rational

ε > 0 и каждый m ≥ M (ε), мы

придется это доказывать

|ля

м

- b / ≤ ε, то есть c

м

≥ 0 для c

м

= ε − / a

м

- b|.

Теперь настоящий

с

м

представляется последовательностью

ε − / a

м

− ля

к

|

к∈

Н

из рационалов, которые

опять имеет модуль упругости

M: для каждого рационального η > 0 и всех k, l ≥ M (η), имеем

|с

к

− с

л

| = |ля

м

− ля

к

| − |ля

м

− ля

л

| ≤ (ля

м

− ля

к

) − (ля

м

− ля

л

) = |ля

к

− ля

л

| ≤ η.

Следовательно

с

м

≥ 0 эквивалентно −η ≤ ε - / a

м

− ля

M (η)

| для всех рациональных чисел η > 0. Этот

следует из

|ля

м

− ля

M (η)

| ≤ |ля

м

− ля

максимум

{M (ε), m (η)}

| + |ля

максимум

{M (ε), m (η)}

− ля

M (η)

| ≤ ε + η,

что справедливо в силу неравенства

m ≥ M (ε).

По неравенству треугольника, каждая сходящаяся последовательность вещественных чисел с модулем

М есть

последовательность Коши с модулем

ε → M(

ε
2

). Написание ε для наименьшего целого числа ≥ ε

всякий раз, когда

ε > 0 рационально, теперь мы докажем обратное следствие.

4

4

Это вытекает из неопубликованных лекционных заметок второго автора.

Конструктивные решения непрерывных уравнений

231

Теорема 4 (Последовательная Полнота). Для каждой модулированной последовательности Коши re-

кроме того, мы можем найти действительное число, к которому оно сходится с модулем.

Доказательство. Пусть...

(ля

м

)

м∈

Н

быть последовательностью Коши вещественных чисел с модулем

M; для каждого

m ∈ N, пусть a

м

быть представленным последовательностью Коши

(ля

знак

)

к∈

Н

из рациональных соображений с

модуль

М

м

. Обратите внимание сначала, что для каждого

m ∈ N и всякое рациональное η > 0, по Лемме 3

У нас есть

|ля

м

− ля

мл

| ≤

1

м

для всех

l ≥ M

м

(

1

м

). Следующий набор

б

м

= ля

мм

м

1

м

для каждого

m ∈ N, так что |a

м

- b

м

| ≤

1

м

для всех

m ∈ N по частному случаю

l = M

м

1

м

из вышеизложенного рассмотрения. Затем

/ b

м

- b

н

/ ≤ / b

м

− ля

м

| + |ля

м

− ля

н

| + |ля

н

- b

н

| ≤

1

м

+

ε
2

+

1
н

≤ ε

для всех

m, n ≥ N (ε) = max M(

ε
2

),

4
ε

, что означает, что

(b

м

) - это Коши

последовательность C модулем

N, и поэтому представляет собой действительное число b. кроме того,

|ля

м

- b / ≤ / a

м

- b

м

| + / b

м

- b / ≤

1

м

+

ε
2

≤ ε

для всех

m ≥ N (

ε
2

) = max M(

ε
4

),

8
ε

; другими словами:

(ля

м

) сходится с b с

модуль

ε → N (

ε
2

).

Это доказательство не нуждается в Счетном выборе, но требует определенного концептуального
выбора, сделанного заранее: что каждое действительное число должно быть ничем иным, как модулированной
последовательностью рациональных чисел Коши. Учитывая эту предпосылку, у нас нет никаких оговорок
с точки зрения свободного выбора, что одна последовательность вещественных понятий понимается как
двойная последовательность рациональных понятий.

5

С другой стороны, счетный выбор стал бы необходимым для доказательства
последовательной полноты, как только понятие вещественных чисел было бы ослаблено либо до
последовательностей Коши рациональных чисел без модулей, либо до классов эквивалентности, по модулю

=,
модулированных последовательностей Коши рациональных чисел. Чтобы начать наше доказательство теоремы 4 в
первом случае, нужно выбрать, для каждого

m, целое число l с |a

м

− ля

мл

| ≤

1

м

, который

при наличии модуля упругости

М

м

от

один

м

мы можем просто определить, установив

l = M

м

(

1

м

).

В последнем случае нужно выбирать первым, опять же для каждого

м, представитель (а

знак

)

к∈

Н

от

реальный

один

м

, который мы понимаем как уже состоящий ни в чем, кроме такой последовательности

из рациональных людей.

5

Когда кто—то хочет прочитать это доказательство как доказательство полноты для последовательного завершения произвольного
метрического пространства, он снова должен просмотреть последовательности в этом завершении—пространство (модулированных)
последовательностей Коши в исходном пространстве-как двойные последовательности в последнем. Такая интерпретация может, однако,
выглядеть несколько странной в случаях, которые более сложны, чем завершение рационалов к
реалам.

Для этого наблюдения, а также для многих других о роли Счетного выбора в конструктивной математике,

первый автор в долгу перед Фредом Ричманом, на чью позицию мы ссылаемся в работе [15].

232

P. Schuster and H. Schwichtenberg

Следуя [2, 3, 5] в стиле [19], давайте теперь рассмотрим полноту порядка.

С этой целью, пусть

S - множество действительных чисел. Вещественное b является верхней границей S, или S является

ограничена сверху путем

b, когда s ≤ b для всех s ∈ S, и наименьшая верхняя граница или

supremum sup

S из S, Если, кроме того, для каждого реального a с a

r > a.

6

Если

b-это наименьшая верхняя граница, а A-верхняя граница S, тогда a,

так что

b ≤ a; откуда до равенства существует не более одного супремума S. Если S имеет

значит, супремум.

S обитаем и ограничен сверху, но даже когда S обладает
двумя последними свойствами, первое не дается конструктивно. Простое исключение-это
максимум конечного числа реалов (см. выше), который, конечно же, является его супремумом
.

Более релевантное достаточное условие конструктивного существования супремума

из общего набора

S вещественных чисел (обитаемых и ограниченных сверху) - это S

будьте порядок расположен сверху

7

, что означает, что

С

(a, b):

любой

s ≤ b для всех s ∈ S или a

держит для всех пар

a, b вещественных чисел с a

три условия, которые полезно рассмотреть

С

(a, b):

оба

s ≤ b для всех s ∈ S и a

как свойство любой пары

a, b вещественных чисел с a

С

(a, b)

и

С

(A, b) являются дизъюнкцией и конъюнкцией, соответственно, одной и той же пары

предложения.

Теорема 5 (Полнота Порядка). Пусть...

S ⊂ R будет заселен, ограничен сверху,

и порядок, расположенный сверху. Затем

S имеет наименьшую верхнюю границу.

Доказательство. Мы можем предположить, что у нас есть

a, b ∈ Q с a

С

(a, b). Мы

сооружать

c, d: N → Q такие, что для всех m

с

0

≤ с

1

≤ · * * ≤ c

м

< д

м

≤ · * * ≤ d

1

≤ д

0

= b,

(1)

С

(с

м

, д

м

),

(2)

д

м

− с

м

≤

2
3

м

(b-a).

(3)

Позволь

с

0

,..., с

м

и

д

0

,..., д

м

быть уже построенным таким, что (3) выполняется. Позволь

икс =

с

м

+

1
3

(д

м

− с

м

) и y = c

м

+

2
3

(д

м

− с

м

). Так как S-это порядок, расположенный сверху,

любой

s ≤ y для всех s ∈ S или иначе x

М+1

:= с

м

и

д

М+1

:= y, а во втором случае пусть c

М+1

:= x и d

М+1

:= д

м

. Тогда понятно

С

(с

М+1

, д

М+1

), а также (1) и (3) продолжают держаться для m + 1. Мы утверждаем, что

6

Это позитивный способ сказать, что каждый настоящий

а с собой

верхняя граница из

С.

7

Это название было придумано в [8]. То же самое свойство из

S был назван " нижним расположением” Эриком Пальмгреном

[11] и (если, кроме того,

S ограничен сверху) "расположен сверху" Питера Акцеля и Майкла Ратьена [1].

Конструктивные решения непрерывных уравнений

233

действительное число

c = d задается модулированной последовательностью Коши рациональных чисел (c

м

) и

(д

м

) является наименьшей верхней границей S. действительно, это верхняя граница, потому что для ε > 0

У нас есть

d ≤ d

м

< д + ε для некоторых M и D

м

является ли верхняя граница

S, и аналогично

c-ε

м

≤ c для некоторых m и c

м

< R для некоторых Р С. ∈

Можно подумать, что зависимый выбор был использован в этом доказательстве: в случае

различие " либо

s ≤ y для всех s ∈ S или иначе x

ну и перекрытие. Однако ссылка на алгоритм обеспечивается предположением, что

С

именно порядок, расположенный сверху, делает этот выбор излишним.

Еще одним важным условием, достаточным для существования супремума, является то, что

С

это полностью ограниченный набор реалов. Давайте рассмотрим эту концепцию далее.

Для начала назовем произвольное множество конечным, если существует отображение из

{1,..., северный}

на этот набор с

n ≥ 1; в частности, конечные множества являются обитаемыми.

8

Набор

S вещественных чисел

полностью ограничен всякий раз, когда для каждого (rational)

ε > 0 существует ε> - аппроксимация
S: то есть конечное подмножество T из S такое, что каждый элемент S находится в пределах ε элемента

Т. Полностью ограниченные множества вещественных чисел, очевидно, обитаемы и ограничены.

Обратите внимание, что определение полной ограниченности включает в себя два объекта наблюдения:

последовательность

(T

м

)

m≥1

конечных подмножеств из

S так, что каждый T

м

это

1

м

- приближение объекта

С,

а также для каждого

m функция, присваивающая каждому элементу из S элемент из T

м

тот

ложь внутри

1

м

из первых. Заметим также, что последняя функция, имея конечный диапазон,

это обязательно не непрерывный процесс.

Ясно, что каждый полностью ограниченный набор вещественных чисел является порядком, расположенным сверху; поэтому
мы сразу получаем из теоремы 5:

Следствие 6. Каждый полностью ограниченный набор вещественных чисел имеет супремум.

В качестве отступления давайте вспомним стандартное применение следствия 6.

Предложение 7. Пусть...

D ⊂ R, и пусть f: D → R -равномерно непрерывная функция.

Если домен...

D из f полностью ограничен, то же самое относится и к диапазону f (D) из f.

Доказательство. Ибо...

ε > 0, выбрать δ >> 0 так, чтобы для всех x, y ∈ D, если |x − y| ≤ δ, то>>
|f (x) − f (y)| ≤ ε. Теперь, если T-конечное δ-приближение к D, то f (T)-конечное
ε-приближение к f (D).

Следствие 8. Если бы...

f: D → R -равномерно непрерывная функция на полностью ограниченной

подмножество

D из R, то существует супремум f (D).

В частности, хотя нельзя ожидать, что конструктивный метод найдет точку

в

D, при котором f достигает своего супремума, для каждого ε > 0 существует такое x ∈ D, что

8

В этом отношении мы следуем [2, 3], а не [5, 10], где конечные множества разрешены пустыми. Для
простоты мы также используем "конечный “вместо конструктивно более правильного термина” конечно перечисляемый “
(из-за лучевых мин) или” субфинитный" (придуманный Эрретом Бишопом). Обычно " конечное” зарезервировано для множеств, которые
находятся в биективном соответствии с множествами вида

{1,..., n}, и которые обязательно дискретны.

234

P. Schuster and H. Schwichtenberg

отхлебывать

f (D) - ε Сравните это с Леммой 2 и обратите внимание, что существование

максимум конечного числа вещественных чисел является частным случаем следствия 8.

Обратите внимание, что последовательная полнота может быть выведена из полноты заказа в a

выбор-свободный путь [19]

9

. Однако, когда человек буквально переносит этот вывод в
настоящий контекст, он не может автоматически предоставить необходимые модули. В качестве отступления,
давайте таким образом предоставим более подходящий аргумент, который все еще не использует
счетный выбор.

Уменьшение последовательной полноты заказа. Пусть...

(ля

м

)

м∈

Н

быть последовательностью Коши

вещественных чисел, и определить

L как множество всех p ∈ Q, для которых существует N ∈ N

так что

p

м

для всех

m ≥ N. Эта L явно обитаема и ограничена сверху; мы сначала

показывать что

L-порядок, расположенный сверху. Для этого пусть r

Для

ε =

s-r

3

- у нас есть...

один

M (ε)

- ε ≤ a

м

≤ ля

M (ε)

+ ε

для всех

m ≥ M (ε),

и

r + ε < s-ε, так что либо r + ε

M (ε)

или

один

M (ε)

< с − ε. В первом случае,

r < q

M (ε)

- ε для некоторого q ∈ Q, для которого q ∈ L. В последнем случае p

каждый

p ∈ L.

По комплектности заказа,

L имеет супремум b. чтобы завершить доказательство, мы теперь проверяем

тот

(ля

м

) сходится к b с модулем ε → M

ε
2

. Учитывая рациональный подход

ε > 0, выберите p ∈ L

с

Ъ −огонек

ε
2

< p, и N ∈ N с p

м

для всех

m ≥ N. Для K = max N, M

ε
2

,

заметьте сначала, что

Ъ −огонек

ε
2

< ля

к

и так далее

b-ε

м

для всех

m ≥ M

ε
2

. Предположим, что далее

тот

один

к

> b +

ε
2

. Затем

один

к

−

ε
2

> b, так что b > < p

к

−

ε
2

для некоторых рациональных людей

p, ибо

что, в частности, и произошло,

p

м

для всех

m ≥ M

ε
2

и так далее

p ∈ L, противоречие к

p > b. отсюда a

к

≤ b +

ε
2

и таким образом тоже

один

м

≤ b + ε для всех m ≥ M

ε
2

.

Излишне говорить, что подход к наибольшим нижним границам (псевдоним infima) полностью

аналогично тому, что из наименее верхних границ (псевдоним Супрема).

Далее мы поставляем стандартные конструктивные варианты промежуточного значения Тео-

Рем. Функция

f: [a, b] → R является локально неконстантным всякий раз, когда a ≤ a

и

d является произвольным веществом, то f (c) = d для некоторого вещественного c ∈ [a, b ]. Обратите внимание, что если f

является непрерывным, то есть также рациональным

c этим свойством. Строго монотонные
функции явно локально непостоянны, и поэтому не являются постоянными вещественными многочленами.

Предложение 9 (Теорема о промежуточном значении для локально Неконстантных функций). Пусть
a < b -действительные числа. Если f: [a, b] → R непрерывен с f (a) < 0 < f(b) и
локально неконстантен, то мы можем найти

c ∈ [a, b] с f (c) = 0.

Доказательство. Мы можем предположить, что

a, b ∈ Q. построим c, d: N → Q такие, что для всех m

с

0

≤ с

1

≤ · * * ≤ c

м

< д

м

≤ · * * ≤ d

1

≤ д

0

= b,

(4)

f (c

м

) < 0

м

),

(5)

9

Кроме того, дедукция, приведенная в [4], может быть легко переформулирована без выбора.

Конструктивные решения непрерывных уравнений

235

д

м

− с

м

≤

2
3

м

(b-a).

(6)

Позволь

с

0

,..., с

м

и

д

0

,..., д

м

быть уже построены таким образом, что (6) имеет место. Позволь

икс =

с

м

+

1
3

(д

м

− с

м

) и y = c

м

+

2
3

(д

м

− с

м

). Исходя из предположения, мы имеем рациональное

z ∈ [c

м

, д

м

] с f (z) = 0. В случае 0

М+1

= с

м

и

д

М+1

= z, а в

дело

f (z)

М+1

= z и d

М+1

= д

м

. Как

f непрерывно, f (c) = 0 = f (d)

для реальных чисел

c = d задается модулированной последовательностью Коши рациональных чисел (c

м

)

и

(д

м

).

Можно было бы подумать, что в этом доказательстве использовался зависимый выбор: будет ли
f (z) > 0 или f (z) >< 0 вполне может зависеть от выбора z. однако это не
так, поскольку мы можем сослаться на алгоритм, содержащийся в предположении, что

f-это

локально неконстантный.

В разделе 3, однако, мы можем сделать доказательство фундаментальной теоремы алгебры
только с помощью следующего основного инструмента под рукой. Заметьте, что ясно, что каждый вещественный многочлен
равномерно непрерывен на

[a, b].

Теорема 10 (Приближенная Теорема О Промежуточном Значении). Пусть...

а < б быть настоящим числом-

Берс. Для каждой равномерно непрерывной функции

f: [a, b] → R с f (a) ≤ 0 ≤ f (b),

и каждое

ε > 0>, мы можем найти c ∈ [a, b] такое, что |f (c)| ≤ ε.

Доказательство. В дальнейшем мы неоднократно ссылаемся на лемму 1. Позволь

ε > 0, и сравнить f (a)

и

f (b) с −ε

ε
2

и

ε
2

< ε, соответственно. Если-ε < f (a) или f (b)

|f (c)|

f (a)

ε
2

и

ε
2

< Ф (б).

А теперь выбирай

δ > 0 таким образом, что для всех x, y ∈ [a, b], если |x−y| ≤ δ, то |f (x)−f (y)| ≤ ε, и

делить

[a, b] В a = a

0

< ля

1

< · · ·

м

= b такое, что |a

i-1

− ля

я

| ≤ δ. Сравнить

каждый

f (a

я

) с −

ε
2

<

ε
2

. Исходя из предположения

f (a

0

) < −

ε
2

и

ε
2

< ф (а

м

), мы можем

Найти

j минимальное такое, что

f (a

j

) <

ε
2

и

−

ε
2

< ф (а

j +1

).

Наконец, сравните

f (a

j

) с −ε

ε
2

и

f (a

j +1

) с

ε
2

< ε. Если-ε

j

),

У нас есть

|f (a

j

)| < ε. Если f (a

j +1

)

j +1

)| < ε. Если оба f (a

j

) < −

ε
2

и

ε
2

< ф (а

j +1

), то у нас был бы |f (a

j +1

)- f (a

j

) / > ε, что противоречит

|ля

j +1

− ля

j

| ≤ δ.

В отличие от доказательств этого результата, которые мы знаем из литературы, приведенное выше доказательство является

полностью свободный от выбора.

10

Представляется характерным для построений (однозначно
детерминированных или) приближенных решений то, что они даже не требуют Счетного выбора [19].

10

Опять же, это доказательство было взято из лекционных заметок второго автора.

236

P. Schuster and H. Schwichtenberg