Обобщенные системы уравнений в Расширенной Вселенной

Прежде чем мы сможем сформулировать понятие общей системы уравнений, нам придется
эмулировать урелементы и множества, построенные из них в теории множеств CZFA с чистыми
множествами. Для этого мы используем механизм наибольших фиксированных точек предыдущего
подраздела. Возьмем наборы вида 1

, x, чтобы быть urelements и называть их
∗ -urelements. Класс ∗ - urelements будет обозначаться U. определенные множества, построенные из
них, будут называться

∗ - множества. Если a = 2, u пусть a

∗

= u. элементы a

∗

будет

называться то

∗- элементы a. пусть ∗ - множества являются самым большим классом множеств вида
a = 2, u таких, что каждый ∗-элемент a является либо a ∗-урелементом, либо a ∗-множеством. Чтобы
включить это в заголовок предыдущего подраздела, определите

∗

(Х) = { 2, У: ∀Х∈U (Х∈Х ∧ Х ∈ два) ∨ X является ∗-urelement },

где два-класс всех упорядоченных пар вида 2

, в. Очевидно,

∗

это

set-непрерывный оператор. Тот

∗

является ли непостижимым можно увидеть, позволив

q (a) = {v ∈ a

∗

: v ∈ TWO}.

Заметьте также, что

∗

имеет

0

определение.

То

∗- множества точно являются элементами J

∗

. Учитывая класс из

Z из ∗ - урелементов

мы также определим класс

Z -множества должны быть самым большим классом ∗ - множеств, таким что каждый
∗-урелемент в Z-множестве находится в Z. Мы будем использовать обозначение V [Z] для класса Z-множеств.

Определение 5.23. Общая система уравнений представляет собой пару

E = (X, e) состоит из a

набор

X ⊆ U (неопределенных) и функция

e: X → V [X].

Суть требования:

e принимать значения в V [X] означает, что таким образом e не может принимать
∗ - урелементы в качестве значений и что все значения e являются множествами, которые используют только ∗ - урелементы
из

X в их наращивании. Следовательно, можно определить операцию подстановки на

значения этого слова:

е.

Теорема 5.24 ((CZFA), Лемма подстановки). Пусть...

Y быть a

0

класс такой что

- ДА.

Для каждой карты

ρ: Y → V существует уникальная операция sub

ρ

что присваивает каждому

212

M. Rathjen

a ∈ V [Y ] A множество sub

ρ

а) такие, что

SUB

ρ

(суб

ρ

(x): x ∈ a

∗

∩ V [Y]} {{ρ (x): x ∈ a

∗

∩ Год }.

(6)

Доказательство. Класс

V [Y ] образует узлы помеченного элемента

0

система

M с ребрами a

б

для

a, b ∈ V [Y ] всякий раз, когда b ∈ a

∗

, и обозначая карту

℘ (a) = a

∗

∩ Год. По Corol-

lary 5.13 существует уникальная карта

ˆ

ρ: V [Y ] → V такое, что для каждого a ∈ V [Y ],

ˆ

ρ (a) = { ˆ

ρ (x): x ∈ a

∗

∩ V [Y]} {{ρ (x): x ∈ a

∗

∩ Год }.

(7)

Поставить sub

ρ

а): = ˆ

ρ (a). Затем sub

ρ

удовлетворяет (6). Так как уравнение (7) однозначно

определяет

ˆ

ρ отсюда следует, что sub

ρ

также однозначно определяется.

Определение 5.25. Пусть...

E - общая система уравнений, как в определении 5.23. Один

решение к

E - функция s: X → V, удовлетворяющая всем x ∈ X,

s (x) = sub

с

(ми

икс

),

(8)

где

е

икс

: = e (x).

Теорема 5.26 ((CZFA), Лемма о решении). Пусть...

E - общая система уравнений

как и в определении 5

.23. Тогда E имеет уникальное решение.

Доказательство. Класс

V [X] предоставляет узлы для помеченного объекта

0

система

М с ребрами

б

c для b, c ∈ V [X] всякий раз, когда c ∈ b

∗

, и с картой маркировки

℘ (b) = b

∗

Х. ∩

С

e: X → V [X], мы можем использовать следствие 5.13 (с Y = X). Таким образом, существует a

уникальная функция

π и уникальная функция ˆ

π такое, что

π (x) = ˆ

π(e

икс

)

(9)

для всех

x ∈ X, и

ˆ

π (a) = { ˆ

π(b):: b ∈ a

∗

} {{π (x): x ∈ a

∗

∩ Икс}.

(10)

В силу теоремы 5.24 мы получаем

ˆ

π = sub

π

из (10). Таким образом позволяя

s: = π, (9) тогда

дает искомое уравнение

s (x) = sub

с

(ми

икс

) для всех x ∈ X. Далее, s является уникальным

вследствие уникальности

π в (9).

Замечание 5.27. Структура, в которой АФА изучается в [5], является теорией множеств с
собственным классом урелементов

U, который также имеет аксиому полноты, которая является

соединение следующих предложений:

∀А∀B новый(а, b) ∈ u,при
∀а∀а ∀б∀б новые(а, b) = новый(А, Б) → В = а ∧ в = Б,
∀А∀Б ⊆ U и → создать(А, Б) /

∈ б,

где new-это двоичный функциональный символ. Естественно задаться вопросом, Может ли версия CZFA
с элементами urelements и аксиомой полноты дать какую-либо дополнительную силу. То, что такая
теория не является более сильной, чем CZFA, можно легко увидеть, моделируя элементы urelements и

Предикативность, цикличность и Антиосновность

213

наборы из [5] внутри CZFA с помощью

∗- урелементы и ∗ - множества соответственно. Интерпретировать

символ функции new define

НОВОЕ

∗

(a, b): = 1, a, b, b

Р

,

где

б

Р

= {r ∈ TC (b): r /

∈ р}. Очевидно, новые

∗

(a, b) является a ∗ - urelement и новым

∗

является инъекционным. Кроме того, новые

∗

(a, b) ∈ b будет означать новые

∗

(a, b) ∈ TC (b) и таким образом

б

Р

∈ TC (b). Последнее приводит к противоречию b

Р

/

∈ б

Р

∧ б

Р

∈ б

Р

. В результате,

НОВОЕ

∗

(a, b) /

∈ B. интерпретация нового по-новому

∗

таким образом, подтверждается и аксиома полноты.