Взаимно перпендикулярные плоскости

Известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.

Через точку в пространстве можно провести бесконечное множество плоскостей, находящихся под прямым углом к заданной плоскости. Для того чтобы решение было однозначным, задают дополнительное условие: например, можно потребовать построить плоскость, перпендикулярную заданной, проходящую через заданную прямую. В этом случае решение является совокупностью уже рассмотренных алгоритмов:

14.1 Через одну из точек заданной прямой (как правило, один из концов отрезка прямой)

построить перпендикуляр к заданной плоскости (см. Алгоритм 13.1, п. 13.1.2, 13.1.3).

14.2 Заданная прямая и построенный перпендикуляр определяют искомую плоскость. Если эту плоскость требуется определить следами, выполнить переход от плоскости, заданной пересекающимися прямыми, к заданию следами (Алгоритм 9.3).

Пусть необходимо построить плоскость β, перпендикулярную к плоскости α, заданной треугольником АВС, и проходящую через прямую KL (рисунок 34, б).

Определяем направления следов заданной плоскости: проводим горизонтальную проекцию фронтали A’1’ (f’_α) параллельно оси Оx, построенная в проекционной связи фронтальная проекция фронтали A’’1’’ задает направление f’’_0α; проводим фронтальную проекцию горизонтали C’’2’’(h’’_α) параллельно оси Оx, при этом C’2’ задаст направление горизонтального следа плоскости h’_0α.

Из точки K прямой KL опускаем перпендикуляр на плоскость α: его горизонтальная проекция K’N’₂ проходит перпендикулярно к C’2’, а фронтальная проекция K’’N’’₂ – под прямым углом к A’’1’’.

Строим следы плоскости, определяемой пересекающимися прямыми KL и KN₂.

Находим следы прямой, перпендикулярной к плоскости α: пересечение ее горизонтальной проекции с осью Оx дает горизонтальную проекцию фронтального следа N’₂; точка N’’₂ определяется в проекционной связи; на пересечении K’’N’’₂ с Оx отмечаем фронтальную проекцию горизонтального следа M’’₂, горизонтальная проекция горизонтального следа M’₂ строится в проекционной связи.

I I I I

f 0 K

I

^M ₂ I I

N 2

I I I I

h

I



C L

I I I I

M 1

O

I

M 1 I

h 0_{}

б)

0

 

Рисунок 34 - Построение плоскости, перпендикулярной заданной: а) плоскость задана следами;

б) плоскость задана треугольником

Аналогично находим горизонтальный след заданной прямой KL: на пересечении продолжения фронтальной проекции отрезка K’’L’’ с Оx отмечаем M’’₁, горизонтальная проекция M’₁ находится в проекционной связи.

Две полученные горизонтальные проекции горизонтальных следов пересекающихся прямых позволяют провести горизонтальный след искомой плоскости: h’_0β строится через M’₁ и M’₂.

Пересечение h’_0β с осью Оx позволяет получить точку схода следов X_β. Через нее и N’’₂ проводим фронтальный след искомой плоскости – f’’_0β. Задача решена.

Если плоскость задана следами (рисунок 34, а), задача решается аналогично. В этапе определения направлений следов заданной плоскости нет необходимости.

На рисунке 35 представлена одна из задач №4 из альбома домашних заданий.

Пересечение плоскостей

Плоскости пересекаются по прямой линии. Следовательно, для того чтобы определить линию пересечения плоскостей, в общем случае необходимо найти две точки, лежащие на этой прямой.

Обе плоскости заданы следами