Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2022-10-29 | 26 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассмотрим задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами.
. (1)
. (2)
. (3)
Согласование начальных и граничных условий:
.
Поставим в соответствие задачи (1), (2), (3) неявную схему (4), (5), (6).
Неявная схема.
(4)
. (5)
. (6)
Система (4) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с трех диагональной матрицей; главная диагональ имеет вид: . Матрица симметрична и обладает свойством строго диагонального преобладания.
Граничные условия (6) могут быть учтены в векторе правых частей.
.
Правая часть будет иметь вид:
.
Поскольку матрица А имеет строго диагональное преобладание, то задача (4-6) однозначно разрешима.
Погрешность аппроксимации задачи (4-6) на решении задачи (1-3) будет исследована ниже в случае схемы с весами.
Исследуем устойчивость построенной схемы методом гармоник.
Как и ранее будем искать решение задачи (4-6) с нулевыми граничными условиями и нулевой правой частью в виде:
. (7)
Подставим (7) в (4):
,
,
так как ,
то получаем:
.
.
Очевидно, что
.
Сравним полученные результаты для явной и неявной схем.
Явная схема устойчива, если , неявная схема устойчива для любых шагов по времени и по пространству.
Схема с весами
Рассмотрим задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами.
. (1)
. (2)
. (3)
Согласование начальных и граничных условий:
|
.
Для уравнения теплопроводности схема с весами имеет вид:
. (4)
- числовой параметр:
. (5)
. (6)
Согласование начальных и граничных условий:
. (7)
Получим задачу для погрешности решения.
Подставим
в (4, 5, 6).
. (8)
. (9)
. (10)
Задача (8-10) поставлена.
Задача (8) по своей структуре (по результату действия оператора левой части уравнения) аналогична задаче (4), если (4) переписать в виде:
. (4′)
Отличия возникли в правых частях у задачи (4′) это , у (8) – погрешность аппроксимации разностных уравнений (4) на решении непрерывной задачи (1, 2, 3).
Исследуем эту погрешность аппроксимации, предполагая, что разностная схема (4, 5, 6) устойчива.
______________________________________________________________
‼ Исследовать условия устойчивости для задачи (4 - 6) методом гармоник.
______________________________________________________________
Исследуем погрешность аппроксимации.
. (11)
.
. (12)
Аналогично:
. (13)
Подставим (12), (13) в (11).
. (14)
Разложим функции, стоящие в фигурных скобках по переменной в окрестности в ряд.
. (15)
. (16)
. (17)
. (18)
.
. (19)
Подставим (15)-(19) в (14).
.
Пусть ;
.
. (20)
Из полученного представления видно, что при погрешность аппроксимации
.
В частности, если , то - симметричная схема с весами.
|
Если имеем явную схему, для которой
.
Если имеем неявную схему, для которой .
Воспользуемся следующим равенством:
. (21)
(22)
подставим (22) в (20):
.
Преобразуя выражение получаем:
.
Будем считать, что
.
(23)
Выберем итерационный параметр так, чтобы первое слагаемое обращалось в ноль.
.
Следовательно,
.
При таком итерационном параметре мы имеем схему повышенного порядка аппроксимации.
______________________________________________________________
‼ Существуют ли такие значения итерационного параметра , при которых погрешность аппроксимации ?
______________________________________________________________
Были рассмотрены двухслойные разностные схемы. Для уравнений гиперболического типа используют трехслойные разностные схемы.
|
|
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!