Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2022-10-29 | 34 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Однородное уравнение с неоднородными граничными условиями , , , где - заданная функция из исходного семейства обладает свойством: ,
т.е. максимальное по модулю значение функции являющейся решением задачи (2), (3) достигается на границе сетки .
Доказательство.
Результат прямо следует из теоремы 1, т.к. для задачи (2), (3) справедливы одновременно случай 1) и 2) теоремы 1.
1) , следовательно наибольшее положительное значение достигается на границе сетки .
2) , следовательно наименьшее отрицательное значение достигается на границе сетки .
Также для следствия 1 можно сформулировать его аналог для .
Следствие 1′.
Пусть дано однородное уравнение из исходного семейства вида:
(4) , с граничным условием Дирихле:
(5) , .
Тогда решение задачи (4), (5) не положительно на , т.е. .
Теорема сравнения. Мажоранта
Теорема 2.
Пусть поставлена задача (I) с уравнением из исходного семейства вида:
(1) ;
(2) .
А также поставлена задача (II):
(3) ;
(4)
и выполняются неравенства:
(5′) ,
то
( 5)
Замечание.
Введем обозначение: , .
Т.о. неравенство (5) можно переписать в виде: .
Задачу (3), (4) называют мажорирующей по отношению к задаче (1), (2).
- мажоранта по отношению к .
Доказательство.
Зададим сеточные функции:
(6) ;
(7) .
Нетрудно видеть, что
В силу линейности оператора , получаем:
(8)
(9) .
Задача с учетом (8), (9) может быть записана в виде:
(10) ;
(11) .
Задача (10), (11) удовлетворяет следствию теоремы 1:
в силу (5′), и граничное условие .
Следовательно, .
Аналогично функция .
Вычитая (1) из (3), (2) из (4), и пользуясь линейностью оператора, получаем:
(12) ;
(13) .
Таким образом, получаем аналогичную задачу для функции .
Итак
(14) , с другой стороны
(15)
, что и требовалось доказать.
Следствие из теоремы сравнения
Следствие 1. Оценка решения однородной задачи.
Пусть поставлена задача из исходного семейства:
(1) ;
(2)
Тогда для нормы решения этой задачи справедлива оценка:
(3) ,
также справедлива оценка:
Доказательство.
Для задачи (1), (2) построим мажорирующую задачу вида:
(3.1) ;
(4) ;
правые части (3.1) и (1) удовлетворяют неравенству:
, по теореме сравнения .
Если удастся доказать, что , то требуемый результат будет доказан.
Воспользуемся следствием 4 из теоремы 1, в соответствии с которым для задачи (3.1), (4) справедлива оценка:
и следовательно, .
Доказательство проведено в условиях применимости теоремы 1, т.е. . Рассмотрим в данном следствии второй случай, когда .
В силу равенства (4) и из последнего равенства получаем, что , что и требовалось доказать.
Более того, можно доказать,что если поставлена задача (3.1), (4), взяв обобщение (4)
и , будет следовать, что .
Доказанное следствие будет далее использовано для оценки решения неоднородного уравнения с оператором вида:
(5) ,
(6) .
Решение задачи (5), (6) может быть получено в виде двух функций:
,
где - решение задачи:
(7) ;
(8) ,
- решение задачи:
(9) ;
(10) .
Поскольку оценка для задачи (7), (8) была получена в следствии 1, то перейдем к оценки решения задачи (9), (10).
Оценка решения неоднородного уравнения
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!