Определить значения углов и стороны АС треугольника на поверхности эллипсоида с параметрами WGS -84

  Пример решения задачи для эллипсоида Красовского                                    

Схема треугольника

          В      Исходные данные из таблицы для нулевого варианта

                                                        сторона АС = S = 45 324,440м;

   с           а                            широта Вm = 55⁰

А     b      C                          азимут А_АС = 107⁰ 30′ 00,00”

значения углов А,В,С, зенитных расстояний Ζ_ik, высот Н_i, составляющих уклонений отвеса ξ_i” и η_i“ - из таблицы.                                                                                                                                          

   

Редуцирование измеренных горизонтальных углов                             

 По рабочим формулам вычисляют значения поправок V₁ и V₂ по всем направлениям измеренных углов и значения сферических углов треугольника.

                Результаты вычислений вносятся в таблицу:

	v 1	v 2	v 1 + v 2	∆	Измеренный угол	Сферический    угол
АВ   А  АС	- 0,355”   - 0,421	0,072”   - 0,033	-0,263”                - 0,454	-0,191”	620 12′ 45,448”	620 12′ 45,257”
ВС  В  ВА	- 0,214   - 0,084	- 0,010   0,094	-0,224   +0,010	+0,234	50 20 20,318	50 20 20,552
СА   С  СВ	- 0,326   - 0,019	- 0,054   +0,002	-0,380   -0,017	+0,363	67 26 59,338	67 26 59,701
				+0,406	180 00 05,104	180 00 05,510          05,510

  2. Редукция измеренного наклонного расстояния S = АС

                            (эллипсоид Красовского)

                 S       С

                                               1) вычисление хорды d:

      А                                                                        S = 45 324,432 м

     H_A        S₀         H_C                    ∆H = | Н_C - Н_A| = |1050,0 м|                                                     

                                                  H_m = (Н_С + Н_А) /2 = 2125,3 м

                   d                        B_m = 55⁰

                                              R_m = a (1– 0,5 e² cos 2B_m) = 6 385,546 м

           R_m       R_{m                 -------------------}

                                                d = √ S² - ∆H² (1 – H_m/ R_m) = 45 297,187 м

                                                                                                       

   2)вычисление длины стороны сфероидического треугольника АС:

  

            S₀ = d +d³/24R²_m = 45 297,187 м + 0,095 м = 45 297, 292 м

3) поправка ∆ S м = S₀ – S = 45 297, 292 - 45 324,432 = - 27, 140 м

Рекомендуемая литература:

1. Морозов В.П. Курс сфероидической геодезии, 1979 (глава III). 

2. Хаимов З.С. Основы высшей геодезии, 1984 г. (глава 2).

3. Практикум по высшей геодезии, 1982 г. (глава 20).      

4. Конспект лекций.

 

 

    

 

 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    

 

 

Лабораторная работа №9

Редуцирование треугольника с поверхности эллипсоида

                на плоскость проекции Гаусса - Крюгера

 

На поверхности эллипсоида стороны треугольника изображаются геодезическими линиями. Поэтому суть редуцирования треугольника с поверхности эллипсоида на плоскость заключается в том, чтобы перейти от длины и азимутов геодезической линии на эллипсоиде к длине хорды ее изображения и к дирекционному углу на плоскости проекции Гаусса - Крюгера.

Целью лабораторной работы является закрепление теоретического материала по вопросу редуцирования и технологической цепочки практического решения задачи.

Теоретической основой рассматриваемой задачи являются формулы для вычисления сближения меридианов и вычисления поправок за кривизну и масштаб изображения геодезической линии на плоскости.

                                                                              X          Х′

                               Р                                                  ץ₁           α₁₂ Q₂                                                         

                                                                                  Q₂

                                                              A₁₂                                                                             d₁₂

                                    Q₁ s                                                  Q₁   δ₁₂ σ

                                            L₀                   L₁                   L ₂                                            L₁

                                                                               

             экватор                                            0 (L₀)                                      Y

                                                                                                                          

На эллипсоиде:                         На плоскости:

s – геодезическая линия        d - хорда

 А₁₂ – азимут линии                  α₁₂ – дирекционный угол хорды

L₀ – осевой меридиан зоны   Х–изображение осевого  меридиана                                                    

 L₁,L₂ – долгота точек Q₁,Q₂         Х′-прямая, параллельная проекции

                                                       осевого меридиана 0Х (L₀)

ץ₁– cближение меридианов в                                                                                                                                                         точке Q₁

δ₁₂–угол между кривой σ и                                                                                  хордой d₁₂

                                                 

Технологическая цепочка вычислительных работ содержит два следующих основных этапа:

1. Редуцирование углов

2. Редуцирование расстояний

Редуцирование углов

1) вычисление сближения меридианов ץ₁, используемого для перехода от азимута геодезической линии к дирекционному углу ее изображения на плоскости, по формулам общего вида (для любого эллипсоида) с погрешностью до 0,001”:

в функции геодезических координат

        ℓ³                                                      

ץ =[ℓ + ---- (1 +3η²) cos² B] sinB, где η = е′ cos B;

           3                                   

для контроля в функции плоских координат

     y      y³                                                           у⁵

ץ = [------ - -----(1 + tg² B_x – η _x²)] tgB_x + -------- (2+5 tg² B_x + 3 tg⁴ B_x) tgB_x

    N_x        3 N³_х                                     15 N⁵ _x

  где В_х , N_х, η _x определяют по формулам, приведенным в работе №6 для определения геодезических координат по плоским прямоугольным;

для приближенного определения ץ (в минутах) используют формулы: 

                 ץ ′ = 0,539 у_км tgB или ץ ′ = ℓ′ sinB;

 очевидно, что знак ץ определяется знаком у или знаком ℓ.    

В частности, для определения сближения меридианов по элементам эллипсоида Красовского в рекомендованной литературе приведены формулы, удобные при вычислениях на ЭВМ.

2) вычисление поправки δ₁₂ в направление азимута А₁₂ за кривизну изображения геодезической линии на плоскости (“поправка за кривизну”)

                      δ₁₂ = - f (∆ x)(y_m -∆ y/6 – y³ _m/ 3 R² _m ),

где f = ρ”/ 2 R² _m, ∆ x = x₂ - x₁, ∆ y = y₂ – y₁, y_m = (y₂ + y₁) / 2,

                      δ₂₁ = f (∆ x)(y_m + ∆ y/6 – y³ _m/ 3 R² _m ).

Значение f можно выбрать из специальной таблицы по аргументам широты В_m  или Х_км. Для территории РФ можно принять f = 0,00253 при выражении R, ∆x, ∆y и y_m  в км.

Поправка δ_ik алгебраически прибавляется к направлениям измеренного угла.

Значения плоских координат вершин треугольника в километрах можно получить по схеме построения треугольника в масштабе, например, 1: 100 000 или 1: 200 000 (одна из вершин треугольника обычно имеет значения плоских координат, вычисленных по геодезическим).

				В
А
					С

 

 

                        5770км                           

                           

                         5 760                                                       

               

                         5 750

 

                         5 740                                                             

                               

                         5 730                        

                              

                         5 720

 

                         5 710                                                                                                           

                                   -210 -200 -190 - 180 -170 -160 -150 км

3) вычисление дирекционного угла по формуле

                             α₁₂ = А₁₂ - γ₁ + δ₁₂;

4) вычисление значения поправки в сферический угол треугольника, например, А: δ_А = δ_АС  - δ_АВ.

Контроль: δ_А +δ_В + δ_С = - ε”, (сумма плоских углов А +В +С = 180⁰).  

2. Редуцирование расстояний

Для перехода от длины геодезической линии к длине ее изображения на плоскости в проекции Гаусса – Крюгера применяется формула общего вида dd= m dS или d ≈ m_m S,

 где m_m – среднее значение масштаба изображения (в функции у при S ≤ 10 км,с обеспечением получения на краю 6⁰-ой зоны хорды d c погрешностью не более 10^-6, определяется как m_m = 1 + y²/ 2R²_m + y⁴_m / 24R⁴_m +...).

Значение стороны d на плоскости определяется как                                             d_ik = S_ik +∆ S_ik

При вычислении поправки ∆ S_ik c погрешностью не более 0,001 м используют формулу:                                                  

∆ S_ik = f ′_m (y²_m + ∆y²/ 12 + y⁴_m / 12R²_m)S_ik,

            1

где f′_m= ------ можно выбрать из специальных таблиц по В_m или Х_км:

         2R²_m

 

            Таблица значений f_m и f_m′ при R в км

Широта               В0	х, км	f m	f ′m
50 52  54 56	5 541 5 763 5 986 6 209	0,0025322 0,0025310 0,0025299 0,0025287	1,22763 10-8 1,22706 10-8 1,22651 10-8 1,22597 10-8

 

     Исходные данные для решения задачи по вариантам: значения элементов треугольника на поверхности эллипсоида взять из решения задачи по варианту работы №8;

азимут стороны АС= b принять равным А_АС=107⁰ 33′ + 30′ n, где n – номер по списку журнала группы;

геодезические и прямогольные координаты вершины А треугольника принять из решения задачи по варианту работы №6.

           Пример решения задачи с использованием элементов

                            эллипсоида Красовского

                              Исходные данные:

схема треугольника

          B             Среднее значение широты треугольника В_m = 55⁰                                                                                                                                                                           

            

    c          a

A      b     C

 

сферические углы треугольника:

                                                         А= 62⁰ 12′ 45,257”

                                                        В= 50 20 20,552

                                                        С= 67 26 59,701

сторона сферического треугольника:                                                              

                                                        АС= b = 45297,282 м                                                       

  координаты вершины А:

                      геодезические           B = 51⁰ 38′ 43,9000”

                                                         L = 24 02 13,1361

                             плоские          х = 5 728 164,129 м

                                                          у = - 205 079,973

   азимут исходной стороны    А_АС = 107⁰ 30′ 00,000”

  

Определить:

      Элементы плоского треугольника и плоские координаты его вершин на плоскости проекции Гаусса – Крюгера.     

  Последовательность вычислений

1. Вычисление значения гауссова сближения меридиана ץ _А в исходной точке А по ее прямоугольным и геодезическим координатам для эллипсоида с параметрами элементов Красовского с погрешностью не более 0,001”:

 ץ _А={1–[(0,33333–0,00225 cos⁴ B_x)–(0,2 – 0,067 cos² B_x) z²] z²} z sinB_x.,

 где В_х ,N_х ,η_х определяют по формулам, приведенным в работе №6;

для контроля - в функции геодезических координат:    

ץ _А={1+[(0,33333+0,00674 cos² B)+(0,2 cos² B–0,0067)ℓ²] ℓ² cos² B} ℓ sinB,

очевидно, что знак ץ _А  определяется знаком z или ℓ.

2. Построение схемы треугольника в масштабе 1:100 000 по координатам х_А, у_А исходной точки А, исходной стороне АС и углам треугольника. Снятие со схемы приближенных значений координат вершин В и С до десятых долей километра.

3. Вычисление в первом приближении поправок в секундах в направления углов δ”_АС = - δ”_СА = - 0,00253 у_m (x_С –x_A) и поправок в стороны в метрах ∆S_АС = 0,123 (у_m/100)² S_АС, где (x_С–x_A), у_m и S_АС – в километрах.

4. Вычисление значения дирекционного угла α_АС в первом приближении как α_АС = А_АС - ץ_А + δ_АС.

5. Вычисление поправок δ_i в сферические углы треугольника в первом приближении

                 δ_А = δ_АС – δ_АВ; δ_В = δ_ВА – δ_ВС; δ_С = δ_СВ – δ_СА.

6. Вычисление значений координат вершин треугольника В и С в первом приближении как

 

     x_B = x_A + ∆х_ВА; у_В = у_А +∆у_ВА; x_С = x_A + ∆х_СА; у_С = у_А +∆у_СА,

где ∆х_ВА = (S_АВ +∆S_АВ)cos α_АВ;     ∆х_СА = (S_АС +∆S_АС)cos α_АС;

  ∆у_ВА = (S_АВ +∆S_АВ)sin α_АВ;      ∆у_СА = (S_АС +∆S_АС)sin α_АС.

7. Вычисление во втором приближении поправок в направления углов δ”_ik и поправки ∆S_АС в исходную сторону:

 

                  δ”_ik = - f_m(∆х_ki)[y_m - ∆у_ki /6 – y³_m /3R²_m];

                  δ”_ki = f_m(∆х_ki)[y_m  +∆у_ki /6 + y³_m /3R²_m];

                  ∆S_АС = S_AС (у²_m/ 2R²_m +∆у²/24 R²_m+y⁴_m /24R⁴_m),

где S_AС , у_m и ∆y_ki  выражают в километрах до 0,001 км.

8. Вычисление поправок δ” в углы вершин треугольника, длины исходной стороны на плоскости S_АС и ее дирекционного угла α_АС во втором приближении.

9. Вычисление значений длин сторон S_АВ S_ВС на плоскости во втором приближении по теореме синусов для плоского треугольника.     

10. Окончательное вычисление плоских координат вершин В и С треугольника.

 

    Результаты вычислений:

1. Сближение меридиановץ _А :

по прямоугольным координатам   ץ _А = - 0,040 567 790 рад = - 2⁰ 19′ 27,707”

по геодезическим координатам ץ _А = - 0,040 567 788 рад = - 2⁰ 19′ 27,707”

2. Значения длин сторон треугольника в первом приближении

Вершина   Угол      Синус    Сторона:

     А     62⁰ 12′ 45” 0,88468 а = BC = 52055 м

                                                                                               

     В        50 20 20 0,76983 b = AC = 45297

 

    С      67 27 00 0,92354 c = AB = 54341

3. Построение схемы треугольника и снятие координат

     вершин В и С:

                                Х_В = 5 767,0 км;  Х_С = 5 714,4 км; 

                                У_В = - 166,3.        У_С = - 161,9.

 

 

4.Вычисление поправок δ”_ik и ∆S _ik в метрах в первом приближении

 

                  δ”_ik = - δ”_ki = - 0,00253 у_m (x_k –x_i);

                

                 (∆S _ik)_м = 0,123 (у _m/100)²S_ik,

 

где (x_k –x_i), у_m и S_ik – в километрах.

Обозначение	А  С	А В	С В
хА, км	5 728,2	5 728,2	5 714,4
хС, км	5 714,4	5 767,0	5 767,0
∆.ХСА = ХС - ХА, км	-13,8	+ 38,8	+ 52,6
Уm, км	- 183,5	- 185,7	- 164,1
УА, км	- 205,1	- 205,1	- 161,9
УС, км	- 161,9	- 166,3	- 166,3
У2m	33 672	34 484	26 929
SАС, км	45	54	52
δ”ik	- 6”	+ 18”	+ 22”
δ”ki	+6	- 18	- 22
∆Sik, м	19	23	17

 

5. Вычисление дирекционного угла α_АС исходной стороны АС в первом приближении:

 

α_АС = А_АС – γ_А + δ_АС = 107⁰ 30′ 00,000” – (-2⁰ 19′ 27,707”) +(-6”)= 109⁰ 49′ 22”

  

6. Вычисление поправок δ_i в углы треугольника в первом приближении:

                            δ_А = δ_АС- δ_АВ = - 6” – 18” = - 24”

                            δ_B = δ_BА- δ_ВC = -18  + 22 = +  4

                            δ_С = δ_CВ- δ_CА =+ 22 - 6 = +18

 

7. Вычисление координат вершин В и С треугольника в первом приближении и поправок δ”_ik , δ”_ki и ∆S_АС во втором приближении

 

                  δ”_ik = - f_m(∆х_ki)[y_m - ∆у_ki /6 – y³_m /3R²_m];

                  δ”_ki = f_m(∆х_ki)[y_m  +∆у_ki /6 + y³_m /3R²_m];

                 ∆S_АС = S_AС (у²_m/ 2R²_m +∆у²/24 R²_m+y⁴_m /24R⁴_m),   

где для В_m = 55⁰: R_m= 6384,653 км ; f_m= 0,00253 ”/ км², S_{AС –} в метрах

α Угол  δ αАС S, км ∆S, м s, км cos αАС sin αАС  xA, км  ∆х, км хС, км уА, км ∆у, км уС, км Вm уm, км ∆у / 6 Rm, км у3m/3R2m fm δ”ik δ”ki у2m/2R2m ∆у2/24 R2m y4m/24 R4m ∆S, м dАС, м

1090 49′ 22” 45,297      19 45,316 - 0,33911 0,94075 5 728,164 -15,367 5 712,797 - 205,079   42,631 - 162,448 520 - 183,764 7,105  6 384,653  - 0,051     0,00253 - 7,419 +6,866 0,000414 0,000002 0,000000 18, 844 45 316,126

1090 49′ 22” - 62  12  45        - 24 47 37 01 54,341       23 54,364 0,67408 0,73865 5 728,164 36,646 5 764,810 - 205,079 40,156 - 164,923 520 - 185,001 6,693 6 384,653  - 0,052 0,00253 17,768 - 16,536

2890 49′ 22” + 67 27 00          18  357 16 40 52,055       17 52,072 0,99887 - 0,04749 5 712,797 52,013 5 764,810 - 162,448 - 2,473 - 164,921   520 - 163,684 - 0,412 6 384,653  - 0,036 0,00253 21,480 - 21,599

    

8. Вычисление поправок δ”_i  в углы треугольника во втором приближении

                       δ_А = δ_АС- δ_АВ = - 7,419” – 17,768” = - 25,187”

                            δ_B = δ_BА- δ_ВC = -16,536 + 21,599 = + 5,063

                            δ_С = δ_CВ- δ_CА =+ 21,480 - 6,866 = +14,614

 

Контроль: Σδ_i = - ε, ε= f ab sinC = 5.511” Σ= - 5,510”

9. Окончательное решение треугольника на плоскости                                               

 

Вершины	Сферический    угол	δ”i	Углы плоские	Синусы углов	Сторона d, м
А	62012′45,257”	-25,187	62012′ 20,070”	0,88462635	52 072,252
В	50 20 20,552	5,063	50 20 25,615	0,76985031	45 316,126
С	67 26 59,701	14,614	67 27 14,315	0,92357184	54 364,722
Σ    ε	180 00 05,510         05,510	- 5,510	180 00 00,000

10. Вычисление точного значения исходного дирекционного угла α_АС

         

       А_АС = 107⁰ 30′ 00,000”

       - γ_А = - 2 19 27,707

      +δ_АС =           - 7,419

        α_АС = 109⁰ 49′ 20,288 ”

11. Вычисление окончательных значений координат

                       вершин треугольника

Окончательные значения ординат представляются в условной

                            форме с указанием № зоны.

Обозначение	А       С	А       В	С       В
α Угол αАС cos αАС d, м sin αАС xA , м ∆x, м xC , м yA , м ∆y, м yC, м	1090 49′ 20,288” -0,339 104 132 45 316,126  0,940 748 844 5 728 164,129 - 15 366,886 5 712 797,243 5 294 920,027 42 631,093 5 337 551,120	1090 49′ 20,288” - 62 12 20,070 47 37 00,218   0,674086792 54 364,722 0,738652148 5 728 164,129 36 646,541  5 764 810,670 5 294 920,027 40 156,619 5 335 076,646	2890 49′ 20,288” 67 27 14,315 357 16 34,603 0,998870286 52 072,252  - 0,047520003 5 712 797,243 52 013,425 5 764 810,668 5 337 551,120 - 2 474,474 5 335 076,646

 

 

  Рекомендуемая литература:

1. Бойко Е.Г. Сфероидическая геодезия, 2003 г. (глава 5).

2. Морозов В.П. Курс сфероидической геодезии, 1979 г. (глава YI)

3. Хаимов З.С. Основы высшей геодезии, 1984 г. (глава 6).

4. Практикум по высшей геодезии, 1982 г. (глава 5).

5. Конспект лекций.

 

 

Лабораторная работа № 10

                   Вычисление аномалий силы тяжести

                 и построение гравиметрической карты

Разность реального значения силы тяжести g на гравиметрическом пункте и ее нормального значения ץ называют аномалией силы тяжести ∆ g в данной точке:                     

                                            ∆ g = g – ץ.

Изучив аномалии силы тяжести по всей земной поверхности, можно определить высоты над общеземным эллипсоидом и уклонения отвеса от нормали к поверхности общеземного эллипсоида.     

Для использования результатов гравиметрических определений в различных практических целях создаются специальные гравиметрические карты. Они служат для изучения гравитационного поля Земли, вычисления уклонений отвесных линий, аномалий высот, нормальных высот точек земной поверхности.

Основой гравиметрической карты обычно служит топографическая карта масштабов 1: 5 000 000 – 1: 200 000.

Наибольшее распространение имеют карты аномалий силы тяжести, на которых через определенные интервалы нанесены изоаномалы – кривые равных аномалий силы тяжести (подобно горизонталям при изображении рельефа на топографических картах).

Сечение изоаномал выбирают обычно в пределах от 20 до 2 мГал.