Решение треугольника по теореме Лежандра

Дано:

1.Значения исходных параметров элементов эллипсоида:

                         Красовского       WGS – 84          ПЗ –90                               

Полуось “а” 6 378 245 м      6 378 137 м  6 378 136 м                          

Сжатие “α” 1: 298,3           1: 298,25      1: 298,257839   

                      (0,003 352 330   0,003 352 891 0,003 352 804)

 2.Криволинейные координаты (геодезические) точки поверхности эллипсоида по вариантам n, где n – номер студента по списку в журнале учебной группы:

широта B = 55⁰ 10' 00,000” +10' n; долгота L = 37⁰ 30' 00,000”.

Определить:

1. Значения параметров основных элементов эллипсоида Красовского, WGS – 84 и ПЗ- 90:

1) значение малой полуоси b = a (1 - α) определить до 10^-4 метра.   

2) квадрат значения первого эксцентриситета: е² = α(2 - α);

3) квадрат значения второго эксцентриситета: (е¹)² = е²/ (1- е²);

значения эксцентриситетов определять до 10 ^–10 знака.

4) значение полярного радиуса кривизны: с = а² / b (до 10^-4 метра).

   Контроли: b²= а²(1-е²), b = a²/ c, е² = (a² –b²)/ a², (е¹)² = (a² –b²)/ b²,

      α = (a –b)/ a = α =1 - √ 1 - е²     a – b = a α; с = а/ (1 - α).

2. Значения основных (1-й и 2-й) сфероидических функций (W и V) геодезической широты B:

    W_i² = (1 - е²sin²B_i); V_i² = (1+ (e¹)²cos²B_i). Контроль: aW = bV.

3. Значения главных радиусов кривизны главных нормальных сечений и среднего радиуса кривизны: меридиана - М, первого вертикала – N, радиуса кривизны - R_ср:

М = с / V³ ; N = c / V = а / W = a / (1 – е² sin²B)^1/2; R_ср. = √ MN, удерживая 10^-4 м.                         Контроль: N / M = V².                                       

4. Значения декартовых координат заданной точки поверхности эллипсоида, используя параметрические уравнения поверхности эллипсоида:

                                  x = a cosUcosL,      

                               y = a cosUsinL,                                 

                              z = b sin U,                                                               

где U – приведенная широта: tg U =(1-e²)^1/2 tgB.

Координаты вычислять до 0,001 м.

Контроль:       x = N cosBcosL,

                      y = N cosBsinL,

                      z =N(1 – e²)sin B.

 

Полученные в первой работе значения параметров элементов земного эллипсоида являются справочными данными при выполнении последующих лабораторных работ.

Справка. В последующих лабораторных работах для значений ρ использовать:

      ρ⁰ = 57, 295 779 51⁰; ρ' = 3437,74677'; ρ” = 206264,8062”.

Рекомендуемая литература:

1. Бойко Е.Г. Сфероидическая геодезия, 2003 г. (глава 1).

2. Морозов В.П. Курс сфероидической геодезии, 1979 г. (глава 1).

3. Хаимов З.С. Основы высшей геодезии, 1984 г.(глава 4).

  4.Конспект лекций.

Лабораторная работа №2

                  Вычисление длины дуги координатных линий

                                        земного эллипсоида

Координатными линиями земного эллипсоида являются его меридианы и параллели. Геодезическими координатами точки на поверхности эллипсоида являются широта В и долгота L.

Целью лабораторной работы является закрепление теоретических знаний по данной теме и практическое сравнение результатов вычислений для различных земных эллипсоидов.

Дано: координаты первой точки дуги

                            B₁=55⁰10'00,000”+10'n;

                                L₁ = 37⁰ 30' 00,000”,

где n – номер студента по списку в журнале.

1.Вычислить значение длины дуги меридиана эллипсоида Красовского, WGS-84 и ПЗ- 90 между точками с разностью их широт ΔВ =2⁰ (В₂ = В₁ + 2⁰) тремя способами:

1) с погрешностью не более 0,0001 м (по разности дуг от плоскости экватора):

              ΔХ = Х₂ – Х₁,

где  Х_i = а₀ В_i – а₂ /2 sin2B_i + a₄/4 sin4B_i –a₆ /6 sin6B_i +....

Коэффициенты “a” для конкретного эллипсоида определяются по формулам:

            а₀ = m₀ +m₂/2 +3/8 m₄,                                       m₀ = a (1 – e²),

            a₂ = m₂/2 + m₄/2 + 15/32 m₆,_,                   m₂ = 3/2 e² m₀,

            a₄ = m₄/8 + 3/16 m₆,                             m₄ = 5/4 e² m₂,

            a₆ = m₆/32,                                             m₆ = 7/6 e² m₄,

где а –значение большой полуоси эллипсоида,

     е - значение первого эксцентриситета.

Например, для эллипсоида Красовского с а = 6 378 245 м и  

α=1: 298,3 имеем:

а₀ = 6 367 558,497 м, а₂ = 32 072,960 м, а₄= 67,312 м, а₆ = 0,132 м.

2) с погрешностью не более 0,02 м с вычислением по формуле Симпсона:

                     ΔХ = ΔВ/6 (M₁ + 4M_cр + М₂),    

где радиус кривизны М_i вычисляют по широте точек В₁,_,В_ср. и В₂ соответственно.

3) с погрешностью не более 2 м:

                     ΔХ = М_ср.ΔВ.

 

2. Вычислить значение длины дуги параллели при разности долгот ΔL = 2⁰ на широтах пунктов с В₁ и В₂ тех же эллипсоидов:

                      Δy_i = N_i cos B_i ΔL

3. Составить таблицу сравнения значений длины дуги меридиана и параллели: разности широт и долгот в 1⁰ -   в км, в 1^י и 1” - в метрах.

 Значения длины дуги меридиана и параллели в 1⁰, 1' и 1” являются справочным материалом при выполнении оценки точности результатов многих промежуточных вычислений.

Рекомендуемая литература:

1. Бойко Е.Г. Сфероидическая геодезия, 2003 г. (глава 1).

2. Хаимов З.С. Основы высшей геодезии, 1984 г. (глава4).

3. Практикум по высшей геодезии, 1982 г. (глава15).

4. Конспект лекций.

 

Лабораторная работа №3

Вычисление длины рамок и площади съемочной трапеции

                                         масштаба m

Схема трапеции

В     а₂       C

           

с      d  с                        

                               

А      а₁    D

Целью работы является закрепление теоретических и практических знаний на примере определения длины координатных линий при расчетах размеров трапеций картографических материалов.

Дано: масштаб трапеции 1: 50 000, значение широты точки А рамки а₁ трапеции условно принять равным В₁ = 50⁰  +10'n, где n - номер студента по журналу. Широта точки В₂ рамки а₂ определяется в соответствии с номенклатурой трапеции.

 Вычислить для топографической карты масштаба 1: 50 000:

1.     Значения длины рамок a₁, a₂, c и диагонали d трапеции в см

на поверхности эллипсоидов Красовского, WGS-84 и ПЗ.  

Рабочие формулы выбрать из работы 2. Значения ΔВ и ΔL определяются масштабом трапеции. Для выражения размеров рамок “a”, “с” и “d” в сантиметрах в числитель рабочих формул вводится коэффициент “100”, а в знаменатель - коэффициент, равный значению знаменателя m масштаба (50 000).      

Для графического контроля размера трапеции вычисляют значение ее диагонали “d” как: d² =(а₁а₂+ с²). 

2. Площадь съемочной трапеции с погрешностью до 0,01 км².

  Р _км ² = b² ΔL(sin B₂ – sin B1 + I + II + III) км ²,

 

где: b – значение малой полуоси эллипсоида в км;

I = 2/3 е² (sin³B₂ – sin³B₁),

II = 3/5 е⁴ (sin⁵B₂ – sin⁵B₁),

III = 4/7 е⁶ (sin⁷B₂ – sin⁷B₁).

 

Рекомендуемая литература:

1. Бойко Е.Г. Сфероидическая геодезия, 2003 г. (глава 1).

2. Хаимов З.С. Основы высшей геодезии, 1984 г. (глава4).

3. Практикум по высшей геодезии, 1982 г. (глава15).

4. Конспект лекций.

 

 

    

 

 

Лабораторная работа №4

Решение малого сфероидического треугольника

Решить треугольник – определить все его элементы: стороны и углы.    

Треугольник на поверхности эллипсоида, образованный геодезическими линиями, называют сфероидическим треугольником. (Вопрос о редуцировании треугольника с земной поверхности на поверхность эллипсоида рассматривается в лабораторной работе №8). Решение такого треугольника с большими длинами сторон с требуемой высокой точностью затруднительно. Треугольник сравнительно малых размеров – со сторонами до 240 км – решается достаточно просто, принимая его за сферический, в котором стороны являются дугами большого круга).           

Целью лабораторной работы является закрепление теоретических знаний по способам решения малых сфероидических треугольников на примере решения треугольника наиболее простыми известными способами: по способу аддитаментов (Зольднер,1820 г.) и с использованием теоремы Лежандра (1787 г.).

В геодезии известными обычно являются горизонтальные углы треугольника, измеряемые на пунктах, и длина одной из его сторон. Поэтому задача обычно сводится к нахождению длины двух других сторон треугольника.

  1. Решение малого треугольника по способу аддитаментов

Суть способа: при решении малого сфероидического треугольника его углы оставляют сферическими, а длину сторон исправляют специальной “добавкой” - аддитаментом.

Исходной рабочей формулой для решения задачи является теорема синусов для сферического треугольника:

                              sin a/R sin b/R   sin c/R

                              ---------- = ---------- = ----------.

                                sin A    sin B     sin C   

Стороны a, b, c малого треугольника значительно меньше радиуса земного шара R, поэтому, ограничивая разложение синуса малой дуги в ряд только двумя первыми членами, получаем:

sin a/R = (a – a³ / 6R²_СР.) = a′ = a - a³ k = a - A_a,

sin b/R = (a – a³ / 6R²_СР.) = b′ = b + b³k = b - A_b,

sin c/R = (a – a³ / 6R²_СР.) = c′ = c + c³k = c - A_c,

где: в скобках –длина сторон a′, b′, c′   плоского треугольника;       

 A_a, B_b, C_c – аддитаменты (добавки) в длину сферической стороны для получения значения длины стороны плоского треугольника: А_а = ка³; А_b = кb³; А_c = кc³;  коэффициент К = 1/ 6R²_СР.                

Для средней широты РФ, если R_ср. и длину стороны треугольника выражать в км, значение “к” = 409х10^-8. Тогда аддитаменты А будут выражаться в метрах.

Последовательность решения задачи:

1) вычислить аддитамент A_b исходной сферической стороны b как     

                                      А_b = кb³;

2) вычислить длину стороны b′ плоского треугольника

                              b′ = b – b³ А_b;

3) используя формулу синусов для плоского треугольника, определить длину двух других его плоских сторон а′ и с′;

4) по полученным значениям а′ и с′ вычислить аддитаменты этих сторон А_а и А_с;

5) определить длину искомых сферичских сторон а и c как:

       а = а′ + А_а и c = с′ + А_с . 

Решение треугольника выполняется в форме таблицы.

 

 

Пример решения

Дано:

1) сферический треугольник на поверхности эллипсоида с известной стороной b = 45 297,282 м и сферическими углами

 А = 60⁰ 12 ُ 45,257”, В = 51⁰ 20′ 20,552”, С = 68⁰ 26′ 59,701”, предварительно уравненными за невязку W треугольника:

W = А + В + С – 180⁰ - ε, где:

 ε” = (f b² sinA sinC) / sinB – сферический избыток, А,В и С - углы треугольника (значения которых достаточно знать до минут), сторона b – в километрах, f - коэффициент в функции широты f = ρ”/ 2R² (для территории РФ при R и b в км коэффициент f принимается равным f =0,00253”/ км²). Если имеется невязка W, то она распределяется поровну ∆_i = - W / 3 в каждый угол.

Схема треугольника

         B

 

   c           a                 

 

A   b     C  

        2) среднее значение широты треугольника: В_тр.= 55⁰.

    Определить длину сторон “а” и “c” с округлением до 0,001 м.

Решение:

аддитамент исходной стороны А_b = кb³ = 0,380 м;

длина стороны b′ плоского треугольника b′ = b - b³А_b = 45296,902 м;

значения плоских сторон а¹ = 52054,571 м; с¹ = 54341,166 м;                                 

аддитаменты сторон А_а = к а³ =  0,577 м; А_c = к c³ = 0,656 м.

	Сферические углы	sin углов	Плоская сторона, м	А, м	Сферич. сторона, м
А	620   12′ 45,257”	0,884683284	52054,571	0,577	52055,148
B	50 20 20,552	0,769834642	45296,902	0,380	45297,282
C	67 26 59,701	0,923544670	54341,166	0,656	54341,822

            

              

  Σ 180⁰ 00′ 05,510”   

    ε            5,510

     W               0,000 

Пример решения прямой геодезической задачи способом

  Рунге – Кутта - Ингланда на эллипсоиде Красовского

Рабочие формулы:

                  B₂ = В₁ + 1/ 6 (∆В₁ +  4∆В₃ + ∆В₄);

                  L₂ = L₁ + 1/ 6 (∆L₁ + 4 ∆L₃ + ∆L₄);                        (1)

 

                  А₂ = А₁ + 1/ 6 (∆А₁ + 4 ∆А₃ + ∆А₄),

где 

                                                             sin А_i

     ∆В_i = S₀ V_i³ cos А_i ,     ∆L_i =  S₀ V_i ----------, ∆А _i = ∆L_i sin В_i    (2)

                                                                cos В_i

  (1 +0,6 γ_i)

V_i = ---------------, γ_i = β cos² В_i,   β = 1,25 (е′)², S₀ = (S/с) ρ”,

  (1 + 0,2 γ_i)                                               

  с – полярный радиус кривизны.                                                         

  Для эллипсоида Красовского имеем:

  с = 6 399 698,3 м, β = 0,008 423 16, S₀^” = 0,0322304 S, где S – в м.

Значения В_i и А_i определяют в зависимости от номера приближения i (обычно достаточно четырех приближений).

Решение выполняется в форме таблиц 1 и 2.

                                                                                                      Таблица 1

№ i	Вi	А i
1	В1	А1
2	В1 + ½∆В1	А1 + ½∆А1
3	В1 + ¼(∆В1+∆В2)	А1 + ¼(∆А1+∆А2)
4	В1 - ∆В2 + 2∆В3	А 1 - ∆А2 + 2∆А3

 

  Последовательность операций решения задачи:

 

    1) исходные данные для точки Q₁ (В₁ и А₁) вписываются в строку 1 таблицы 1;

2) по этим данным по формулам (2) вычисляются значения ∆В₁, ∆А₁, ∆L₁ и определяются значения строки 2 таблицы: широту В₂ и азимут А₂;

Аналогично определяются значения строк 3 и 4.

Вычисление окончательные значений координат точки Q₂ и значение обратного азимута А₂₁ выполняется в форме таблицы 2.

Дано для точки Q₁:

        координаты точки B₁ = 50⁰ 07′ 40,97”; L₁ = 23⁰ 45′ 13,43”;                  

        прямой азимут линии S₁₂; А₁ = А₁₂ = 3⁰ 29′ 45,83”;

        длина линии                    S₁₂ = 281 260,18 м;

         S₀ = 9 065,125”; β = 1,25х 0,006 738 525= 0,008 423 156;

          γ_i = β cos² В_i = 0,0034617

Определить: координаты точки Q₂ и значение азимута А₂₁.

                                                                                               Таблица 2

i	1	2	3	4
Аi	30 29′ 45,83”	30 35′ 17,28”	30 35′ 29,24”	30 41′ 38,52”
Bi	50 07 40,97	51 23 23,91	51 23 23,18	52 39 03,89
Vi	1,001 384	1,001 311	1,001 311	1,001 239
Vi3	1,004 157	1,003 938	1,003 938	1,003 721
∆В”	9 085,87	9 082,98	9 082,95	9 079,96
∆L”	863,48	910,34	911,19	963,91
∆А”	662,70	711,35	712,02	766,27

 

∆В = 1/6 (∆В₁ + 4∆В₃ +∆В₄) = 2⁰ 31′ 22,94”;   В₂ = В₁ + ∆В = 52⁰ 39′03,91”;

  ∆L = 1/6 (∆L₁  + 4∆L₃ +∆L₄) = 0 15 12,02;  L ₂ = L ₁ + ∆ L = 24 00 25,45;

∆А=1/6(∆А₁+4∆А₃+∆А₄)=0⁰11′58,54”;  А₂₁= А₁₂ + ∆А ±180⁰ = 183 41 38,67.

 

 

             Решение прямой геодезической задачи

             способом Бесселя (1-й алгоритм)

Этапы решения прямой задачи

1. Операции перехода с эллипсоида на шар.

2. Решение задачи на шаре.

3. Переход с шара на эллипсоид.

Рабочие формулы

На первом этапе определяются значения:

1) приведенной широты U₁ известной точки Q₁ и вспомогательных

функций широты

                                                      tg U₁                                                 1

  tg U₁ = √(1-e²) tg B₁; sin U₁= ---------------- и cos U₁= ----------------

                                                √(1 + tg² U₁)                 √(1 + tg² U₁)

 

(контроль значений - по сумме квадратов функций)

2) вспомогательных значений функций А₀ и σ₁

                                                                      cos A₁                   

              sin A₀ = cos U₁ sin A₁;  ctg σ₁= ----------;

                                                                        tg U₁

                                 

                              2 ctg σ₁                                        ctg²σ₁ - 1

              sin2 σ₁= -----------;      cos2 σ₁= --------------.

                                              ctg²σ₁+1                        ctg²σ₁+1

3) коэффициентов А,В,С, α и β:

           А = b (1 + k²/ 4 – 3k⁴/ 64 + 5k⁶/ 256) м,

           B = b (k²/ 8 – k⁴/ 32 +15k⁶/ 1024) м,

           C = b (k⁴/ 128 - 3k⁶/ 512) м,

где b – значение малой полуоси эллипсоида в метрах, k² = (е′)² cos²A₀.

α”= [(е²/2 + e⁴/8 + e⁶/16) - (e⁴ +e⁶) /16 cos² A₀ + 3e⁶ cos⁴A₀ / 128] ρ”,

β” = [(e⁴/ 32 + e⁶ / 32) cos² A₀ – e⁶ cos⁴A₀ / 64] ρ”.

При определении сферического расстояния σ в радианах поправку δ получаем всекундах.

 

4) сферического расстояния σ между точками Q₁ и Q₂

σ₀ = [S – (B +C cos 2σ₁) sin 2 σ₁] / A,

sin2(σ₁ + σ₀) = sin 2σ₁ cos2σ₀ + cos2σ₁ sin2 σ₀,   

cos2(σ₁ + σ₀) = cos2σ₁ cos2σ₀ - sin 2σ₁ sin2 σ₀,

 

 

                                               sin2(σ₁ + σ₀)

σ = σ₀ + [B + 5 Ccos 2 (σ₁ + σ₀)] ------------------,                                                                     

                                                              A

 (обратить особое внимание на размерности величин σ₁ , σ₀ и σ)

5) поправки δ в разность долгот λ – ℓ,

где ℓ – неизвестная разность долгот точек Q₁ и Q₂ на эллипсоиде

λ - разность долгот на шаре

(λ – ℓ) = δ = { α σ + β [sin2(σ₁ + σ₀) - sin 2σ₁] } sin A₀.

На втором этапе задача решается на шаре

 

 1) вычисление приведенной широты U₂ точки Q₂

sin U₂  = sin U₁cos σ + cos U₁ cos A₁ sin σ

 2) вычисление разности долгот λ точек Q₁ и Q₂  на шаре

 

                     sin A₁ sin σ

tg λ = --------------------------------------------

       cos U₁ cos σ - sin U₁sin σ cos A₁

 

При вычислении значения λ следует руководствоваться правилом:

Знак sin A1	+	+	-	-
Знак tg λ	+	-	-	+
λ =	|λ|	1800 - |λ|	- |λ|	|λ| - 1800

 

3)     вычисление значения обратного азимута А₂ = α₂

 

                                             cos U₁ sin A₁

                 tg A₂ = -------------------------------------------

                              cos U₁ cos σ cos A₁ - sin U₁sin σ

 

При вычислении значения A₂ следует руководствоваться правилом:

 

Знак sin A1	-	-	+	+
Знак tg А2	+	-	+	-
А2 =	|А2|	1800 - |А2|	180 + |А2|	3600 - |А2|

 Третий этап – переход с шара на эллипсоид

1) вычисление значения широты В₂ точки Q₂

                       1

    tg В₂ = ------------ tg U₂                 

          √ 1 – е²

  2) вычисление значения долготы L₂ точки Q₂

     L₂ = L₁ + ℓ = L₁ + λ - δ

  3) вычисление значения обратного азимута А₂₁  линии Q₂Q₁

       А₂₁ = А₂ + 180⁰.

Промежуточные контроли (приближенные):   

      1. ΔB₁₂  ≈ ΔU₁₂

            2. ΔB⁰₁₂ 111,2 k м  = Q kм   Q² + P²  ≈    S²   

           ΔL⁰₁₂ 111,2 kм cos B_m = P kм          

Основной контроль – результаты решения обратной задачи.

 

 

Пример решения прямой геодезической задачи 

       способом Бесселя (1-й алгоритм) на эллипсоиде 

                                   Красовского

Даны для точки Q₁:

  координаты точки B₁ = 50⁰ 07′ 40,970”; L₁ = 23⁰ 45^′13,430”;

  прямой азимут линии S А₁₂ = 3⁰ 29′ 45,830”;

  длина линии S:             S =281 260,18 м;

 

Определить: координаты Q₂ и значение обратного азимута А₂₁.

Обозначения	Значения	Обозначения	Значения
B1	50007′ 40,97”	α”	690,8886
L1	23 45 13,43	β”	0,2893
A1	3 29 45,83	σ0 рад	0,043 345 949
S м	281 260, 18	2(σ0 + σ1)	1,835 019 318
√(1 – e2)	0,996 647 670	sin2(σ0 + σ1)	0.965 295 715
tg U1	1,193 163 659	сos2(σ0 + σ1)	- 0,261159 304
sin U1	0,766 418 545	σ рад	0,044 154 621
cos U1	0,642 341 508	δ”	1,195
sin A1	0,060 979 969	sin U2	0,793 971 915
cos A1	0,998 138 990	tg U2	1,305 972 728
sin A0	0,039 169 966	B2	520 39′ 03,91”
cos2 A0	0,998 465 714	sin σ	0,044 140 275
ctg σ1	0,836 548 266	cos σ	0,999 025 343
σ1 рад	0,874 163 710	tg λ	0,004 427 466
sin2σ1	0,984 282 701	λ”	913, 225
cos2σ1	-0,176600013	L2	240 00 ′ 25,46”
A м	6 367 542,105	tg A2	0,064 563 255
B м	5 337,303	A2	30 41′ 38,67”
C м	2,237	A21	1830 41′ 38,67”

Вывод по результатам лабораторной работы: сопоставление

полученных результатов решения прямой геодезической задачи обоими способами показывает, что они совершенно идентичны.

Исходные данные для решения задач по вариантам:

  Координаты точки Q₁: В₁ = 50⁰ 07′ 40, 000 ”

                                         L₁ = 24 45 14, 000

Прямой азимут:     А₁ = 3 30 00, 000 + 1⁰ n, где n- номер по списку в журнале группы

Длина S = 281 260, 18 м; Эллипсоид ПЗ-90.

 

  Решение обратной геодезической задачи

по формулам со средними аргументами

При решении обратной геодезической задачи для расстояний между точками Q₁ и Q₂ не более 400 км наиболее удобной оказывается формула со средними аргументами.

Точности определения длины линии, прямого и обратного азимутов характеризуются следующими предельными погрешностями:

S, км	δS, м	δА”
80 200 400	0,01   0,1   1,0	0,02 0,1 0,5

Технологическая цепочка решения задачи и рабочие формулы:

1) по координатам точек Q₁ и Q₂ вычисляются значения

 

                             (B₂ - B₁)”                 (L₂ - L₁)”               B₂  + B₁       

                ∆B_рад = ------------, ℓ _рад = ------------, B_m = ----------,

                                   ρ”                    ρ”                 2                                                                                           

                                                                                        a                V_m =√ (1 + e′² cos²B_m), N_m  = c / V_m, M_m = c / V_m³, c = ------------

                                                                                    √(1– e²)

    Контроль: N_m / M_m = V².

  2) вычисляются значения Q, Р, ∆A и А_m

 

                                               ℓ²(2 + sin² B_m)

    Q = S cos A_m =∆B M_m [ 1 - ---------------------]

                                                           24

 

                                                           ∆B²  - (ℓ sin B_m)² 

     P = S sin A_m  = ℓ N_m cos B_m [ 1 + ----------------------]

                                                                 24

                                    3∆B²  + 2 ℓ² - 2(ℓ sin B_m)² 

     ∆A” = ℓ sin B_m [ 1 + ------------------------------- ]ρ”

                                                  24

                                  tg A_m = P / Q

     3) вычисляются искомые значения прямого A₁₂ и обратного A₂₁ азимутов и расстояния S:

           A₁₂ = A_m  - ∆A / 2, A₂₁ = A_m  + ∆A / 2  ± 180⁰,

     S = P / sin A_m = Q / cos A_m = √(Q² + P²).

Контроль – сравнение с данными, полученными при решении

                    прямой геодезической задачи.    

     Исходные данные – геодезические координаты точек 1 и 2 принять из решения прямой задачи по своему варианту.

     Пример решения обратной геодезической задачи на

                            эллипсоиде Красовского

    Дано: значения координат точек Q₁ и Q₂

     B₁ = 50⁰ 07′ 40.97”, B₂ = 52⁰ 39′ 03,91”, (е′)² = 0,006 738525,

      L₁ = 23 45 13,43, L₂ = 24 00 25,46, с = 6 399 698,9018 м

    Определить: значения прямого А₁₂ и обратного А₂₁ азимутов и    

                      расстояния S между точками Q₁ и Q₂.

 

Решение выполняется в форме таблицы

Обозначение	Значение	Обозначение	Значение
B2 рад	0,918 934 806	Q, м	280 706,7048
B1 рад	0,874 899 472	P, м	17 636,3685
∆B рад	0,044 035 334	tg Am	0,062 828 461
ℓ рад	0,004 421 597	Am	30 35′ 42,29”
Вm рад	0,896 917 139	ℓ sin Bm	0,003 455 104
sin Вm	0,781 406 853	∆A“	712,79
cos Вm	0,624 021 898	∆A0/2	00 05′ 56,42”
(е′)2сos2 Вm	0,002 624 004	A012	3 29 45,85
Vm	1.001 311 142	A0 21	183 41 38,71
Nm, м	6 391 318,9751	S=√ Q2 + P2	281 260,19 м
Mm, м	6 374 592,0259	S=P/sinAm=Q/cosAm	281 260,19 м

Вывод: результаты решения обратной геодезической задачи соответствуют результатам решения прямой задачи.

Рекомендуемая литература:

1. Бойко Е.Г. Сфероидическая геодезия, 2003 г. (глава 3).

2. Морозов В.П. Курс сфероидической геодезии, 1979 г. (глава IY)

3. Хаимов З.С. Основы высшей геодезии, 1984 г. (глава 5).

4. Практикум по высшей геодезии, 1982 г. (глава 17).

5. Конспект лекций.

                                        

 

Лабораторная работа №6

Вычисление плоских прямоугольных координат

проекции Гаусса – Крюгера по криволинейным

        геодезическим координатам и обратно

Необходимость введения системы плоских координат вызвана тем, что эллипсоидальная геодезическая система оказывается сложной и мало пригодной в массовых геодезических работах.

Цель работы: закрепить теоретические знания по вычислениям, связанным с применением в геодезии прямоугольной проекции Гаусса – Крюгера. 

Пример решения по общим формулам для точки,

расположенной на эллипсоиде  Красовского

Исходные данные: x = 5 728 164,129 м      

                                           y = - 205 079, 9 7 3 м

                                          L₀ = 2 7 ⁰

Обозначения	Значения	Обозначения	Значения
βрад b2 sin 2 β b4 sin 4β b6 sin 6 β Вх рад Nx с е2 (е′)2 V2x                                         η2x	0,899 585 631 0,002 453 074 - 0,000 001 631 - 0,000 000 005 0,902 037 068 6 391 426,090 6 399 698,3 м 0,006 693 422 0,006 738 525 1,002 590 397 0,002 590 397	А2у2 рад А4у4 А6 у 6 Врад В0 Р1у Р3у3 Р5у5 ℓ рад ℓ0 L00 L0	- 0,000 653 111 + 0,000 000 547 - 0,000 000 001 0,901 384 503                  510 38′ 43,9000 ” - 0,051 751 708 + 0,000 037 343 - 0,000 000 050  - 0,051 714 415  - 20 57′ 46,8640”            270   240 02′ 13,1360 ”

   

 Рекомендуемая литература:

  1. Бойко Е.Г. Сфероидическая геодезия, 2003 г. (глава 5).

  2. Морозов В.П. Курс сфероидической геодезии, 1979 г. (глава YI)

  3. Хаимов З.С. Основы высшей геодезии, 1984 г. (глава 6).

  4. Практикум по высшей геодезии, 1982 г. (глава 4).

  5. Конспект лекций.

 

 

Лабораторная работа №7

Редуцирование углов

1) вычисление сближения меридианов ץ₁, используемого для перехода от азимута геодезической линии к дирекционному углу ее изображения на плоскости, по формулам общего вида (для любого эллипсоида) с погрешностью до 0,001”:

в функции геодезических координат

        ℓ³                                                      

ץ =[ℓ + ---- (1 +3η²) cos² B] sinB, где η = е′ cos B;

           3                                   

для контроля в функции плоских координат

     y      y³                                                           у⁵

ץ = [------ - -----(1 + tg² B_x – η _x²)] tgB_x + -------- (2+5 tg² B_x + 3 tg⁴ B_x) tgB_x

    N_x        3 N³_х                                     15 N⁵ _x

  где В_х , N_х, η _x определяют по формулам, приведенным в работе №6 для определения геодезических координат по плоским прямоугольным;

для приближенного определения ץ (в минутах) используют формулы: 

                 ץ ′ = 0,539 у_км tgB или ץ ′ = ℓ′ sinB;

 очевидно, что знак ץ определяется знаком у или знаком ℓ.    

В частности, для определения сближения меридианов по элементам эллипсоида Красовского в рекомендованной литературе приведены формулы, удобные при вычислениях на ЭВМ.

2) вычисление поправки δ₁₂ в направление азимута А₁₂ за кривизну изображения геодезической линии на плоскости (“поправка за кривизну”)

                      δ₁₂ = - f (∆ x)(y_m -∆ y/6 – y³ _m/ 3 R