Переход от одного осевого меридиана зоны к другому

                     в проекции Гаусса - Крюгера

Разделение поверхности эллипсоида на зоны стандартизует вычисления, но вызывает затруднения при установлении связи между точками, расположенными в разных зонах - возникает необходимость перевычисления координат пунктов одной зоны в систему плоских координат зоны с другим осевым меридианом (по существу возникает необходимость в расширении одной из зон).  

Задача преобразования плоских координат с осевым меридианом

 одной зоны в другую систему состоит в том, чтобы по заданным координатам точки первой зоны определить координаты этой же точки в системе координат соседней зоны.

Цель работы: закрепить теоретические знания по теории преобразования плоских координат проекции Гаусса при переходе от осевого меридиана одной зоны к осевому меридиану другой зоны, понять сущность технологии решения такой задачи. 

Технологическая цепочка решения задачи:

   1) в исходной зоне с известными прямоугольными координатами точки x_1,y₁ определяют значения ее геодезических координат B₁, L₁ по методике, приведенной в работе № 6;

2) по значениям геодезических координат B₁, L₁ устанавливают значения осевых меридианов исходной L¹₀ и соседней L²₀зон;

3) определяют новое значение разность долгот ℓ₂ = L¹ – L²₀ исходной точки относительно осевого меридиана L²₀ соседней зоны;

4) по геодезическим координатам исходной точки определяются значения ее плоских координат в системе координат соседней зоны с использованием нового значения ℓ₂ по формулам из работы №6.

С целью проверки правильности решения задачи, выполняется обратный переход в начальную зону - определяют геодезические координаты точки и сравнивают с вычисленными по плоским координатам точки первой зоны.

Исходная информация

Дано: значения плоских координат исходной зоны (выбрать по варианту из работы №6 для точки на эллипсоиде Красовского).

Определить: значения плоских координат заданной точки в системе соседней шестиградусной зоны (с номером варианта четным – с запада, при нечетном номере - восточнее).

В текстовой части отчета по работе привести рабочие формулы и последовательность вычислений.

        Пример решения задачи для 6-ти градусной зоны с

                  элементами эллипсоида Красовского

Дано: плоскиепрямоугольные координаты точки на эллипсоиде Красовского в шестиградусной зоне с осевым меридианом L₀ = 27⁰:

                                   x = 5 728 164,129 м

                                   y = - 205 079,973 м                                       

Определить плоские прямоугольные координаты этой точки в системе координат смежной с запада зоны с L₀ = 21⁰.

Геодезические координаты заданной точки и значения ℓ выписываются из примера работы №6:

                                     B = 51⁰ 38′ 43,9000”

                                 L = 24 02 13,1360

  ℓ _п = L– (L₀)_п = - 2⁰ 57′ 46,8640” и ℓ _л = L – (L₀)_л + 3⁰  02′ 13,1360”

Контроль: ℓ_л - ℓ_п = 6⁰.

По геодезическим координатам точки с новым значением удаления от осевого меридиана левой зоны      ℓ = + 3⁰  02′ 13,1360”

 вычисляются значения плоских координат точки в системе координат левой зоны.

Рабочие формулы для вычисления плоских координат на эллипсоиде с элементами Красовского:

х _М = 6 367 558, 4969 В – {а₀ – [0,5 + (а₄ +а₆ ℓ²) ℓ²] ℓ²N}sinB cosB,

y _м  = [ 1 + (a₃ + a₅ ℓ²) ℓ²] ℓ N cosB.

Коэффициенты а_i вычисляются по формулам:

а₀ = 32140,404 – [135,3302 – (0,7092 – 0,004cos² B) cos² B] co s² B;

а₄ = (0,25 + 0,00252cos²B) cos²B – 0,04166;

a₆ = (0,166 cos²B– 0,084) cos²B;  

а₃ = (0,3333333 + 0,00123 cos²B) cos²B – 0,1666667;

а₅ = 0,0083 – [ 0,1667 – (0,1968 + 0,004 cos²B) cos²B] cos²B.   

N = a / √ 1 – e²sin²B.

                    Решение записывают в таблицу

Обозначения	Значения	Обозначения	Значения
Врад       ℓрад   sin B   cos B   cos2B   sinBcosB  ℓ2 N N ℓ2	0,901384503 0,053005340 0,784186779  0,620524854 0,385051094 0,486607386 0,002 809 566 6 391 412,450 17 957,095	а0   а4      а6      а3   а5 6367558,4969В           x 1 + (а3 +а5 ℓ2) ℓ2 N ℓcos B      y	32088,3990 0,05497640  - 0,00773241 - 0,03814984 - 0,02648124 5739618,5511 5 728 374,47 5 м 0,999892651 210 220,7833   2 10198, 207 м

 

Для контроля по полученным значениям плоских координат точки вычисляют ее геодезические координаты:

              В = В_х – [1 – (b₄ – 0,12z²)z²]z²b²

                     ℓ = [1 – (b₃ – b₅ z²) z²]z.       

B_x= β+{50221746+[293622 +(2350 + 22cos²β)cos²β] cos²β}sinβcosβ 10^{- 10}

β = x / 6 367 558,4969;     z = y / N_x cos B_x 

  b₂ = (0,5 + 0,003 369 cos²B_x)sinB_x cosB_x

  b₃ = 0,333 333 – (0,166 667 – 0,001 123 cos²B_x) cos²B_x

  b₄ = 0,25 + (0,16161 + 0,00562 cos²B_x) cos²B_x

  b₅ = 0,2 – (0,1667 – 0,0088 cos²B_x) cos²B_x.

Решение задачи с элементами эллипсоида Красовского приведено в таблице при х = 5 728 374,475 м и у= 210 198,207 м:                   

   

Обозначения	Значения	Обозначения	Значения
βрад  sin β  sin 2β  cos2 β sin β cos β Вх рад е2 Nx cos2Bx cosBx Nx cosBx  z	0,899 618 665 0,783 089 811 0,613 229 652 0,386 770 347 0,487 010 313 0,902 070 064   0,006693 4216 6 391 426,778 0,384384005 0,619 987100 3 962 602,157 0,053045 498	z2 b2  b4  b3  b5 z2 b2 Врад В 0 ℓ рад ℓ “ ℓ0 L 0	0,002 813 824 0,243 854 67 0,312 950 66 0,269 434 80                  0,137 223 40 0,000 686 164 0,901 384 504 510 38′ 43,90 00” 0,053 005 339 10933,1361  30 02′13,1361” 240   02′ 13,13 61”

 

  Рекомендуемая литература:

1. Бойко Е.Г. Сфероидическая геодезия, 2003 г. (глава 5).

2. Морозов В.П. Курс сфероидической геодезии, 1979 г. (глава YI)

3. Хаимов З.С. Основы высшей геодезии, 1984 г. (глава 6).

4. Практикум по высшей геодезии, 1982 г. (глава 4).

5. Конспект лекций.

 

 

 

Лабораторная работа №8

Редуцирование треугольника с поверхности Земли

                     на поверхность эллипсоида

  Цель работы: закрепить теоретические знания по вопросам решения редукционной задачи в геодезии – проектирования измеренных величин на поверхность эллипсоида.

Сущность задачи - перейти от значений измеренных величин элементов треугольника на земной поверхности к их проекциям на поверхности относимости (эллипсоид).

Метод решения данной редукционной задачи состоит в проектировании измеренных на земной поверхности величин элементов треугольника на поверхность эллипсоида по нормалям.

При решении данной редукционной задачи возникают следующие операции:

1.Редуцирование измеренных углов: 1) переход от отвесной линии к нормали; 2) вычисление поправок за высоту над поверхностью эллипсоида наблюдаемого пункта; 3) переход от нормальных сечений к геодезическим линиям на поверхности эллипсоида;

2. Редуцирование длины стороны треугольника.

Задание: редуцировать значения измеренных на земной поверхности элементов треугольника триангуляции 1 класса на поверхность относимости c параметрами элементов эллипсоида WGS - 84.

1. Рабочие формулы для вычисления поправок в углы до 0,001”:

1. Поправки v₁ за уклонение отвесной линии в измеренный угол по направлению 1-2:

                     v₁” = (η^аг₁ cos A₁₂  - ζ^аг₁ sin A₁₂) ctg z₁₂,

где η^аг₁, ζ^аг₁– составляющие уклонения для пункта 1; A₁₂ – азимут направления 1 - 2, z₁₂ – зенитное расстояние по направлению 1-2.

2. Поправки v₂ в угол по направлению 1-2 за высоту наблюдаемого объекта 2: v₂” =к₁ H₂ cos²В₂ sin 2 A₁₂,

где к₁ = [ρ”(e′)² / 2 a], a – большая полуось в км, e′ -  второй   эксцентриситет, H₂ -геодезическая высота наблюдаемого пункта в км.

Для элементов эллипсоида Красовского к₁ = 0,109 ^”/км

3. Поправка v₃ в угол по направлению 1-2 за переход от нормального сечения к геодезической линии для сторон 50≤S≤100 км и В ≤ 75⁰ (для сторон S до 50 км эта поправка не учитывается):

       v₃” = к ₂ S² cos² B₁ sin 2A₁₂,  где к ₂ = ρ ”(e′)²/12a², S - в км.  

Для эллипсоида с элементами Красовского к ₂= 0,282 10^{-5 ”}/км².

4. Суммарная поправка в угол треугольника по направлению ik:

                                        δ_ik= v₁ + v₂ + v₃.

Поправка ∆ в измеренные углы треугольника между направлениями их образующих, вычисляется как разность поправок δ в эти направления:

                     В                               ∆ А = δ_АС - δ_АВ

                                                       ∆В = δ_ВА - δ_ВС

                                                       ∆С = δ_СВ - δ_СА.                                       

А                     С

Вычисляются значения сферических углов треугольника на поверхности эллипсоида: А + ∆ А, В + ∆В, С + ∆С.                

 Невязка W = (А+В+С) + (∆ А + ∆В + ∆С) - 180⁰ - ε,

где ε – сферический избыток треугольника.

2. Рабочие формулы для вычисления поправок в значения

     длины измеренных наклонных расстояний

             S      Q₂        1) вычисление хорды d

                                                                   d= √ S² - ∆H² (1 – H_m/ R_m), где                              

Q₁                                       Н _i –геодезическая высота                

H₁         S₀       H₂                  ∆H = | Н ₂ - Н ₁ |

Q¹₀     d    Q²₀                R_m =   a (1 – 0,5 e² cos 2B_m);

                                           H_m   =   (Н₂ + Н₁) /2                                                                                                                                               

     R_m       R_m                             

                                          2) вычисление длины S₀

                                                                       при S ≤ 60 км можно принять

               0                              S₀ = d +d³/24 R² _m

Поправка ∆ S в измеренное наклонное расстояние S: ∆ S м = S₀ – S.    

        Исходные данные по вариантам задания:

 

геодезический азимут стороны А_АС = 107⁰30′00,00”+1⁰ х n,

длина стороны АС: S = 45 324,432 м + 100 м х n,

 где n – номер по списку в журнале,

среднее значение широты треугольника: В_m = 55⁰, 

значения измеренных углов треугольника:

    А = 62⁰ 12′ 45,448 ”; В = 50⁰ 20′ 20,318 ^”; С = 67⁰ 26′ 59,338 ^”.

   высота вершин треугольника:

    Н_А = 2650,3 м; Н_В = 2341,4 м Н_С = 1600,3 м

значения измеренных зенитных расстояний Ζ_ik,

значения составляющих уклонения отвеса в вершинах треугольника ξ” и η“.

                      Таблица общих исходных данных:

Вершина	Измеренный угол 0  ′      ”	Z 0  ′	А 0  ′	Н, м		ξ”	η“
В А                         С	62 12 45,448	90 19    90 46	450 20′                 107 33		2650,3	- 24,7	+18,0
С  В         А	50 20 20,318	90 21    89 40	175 00   225 20	2341,4		- 13,5	+24,4
А С        В	67 26 59,338	89 14    89 42	287 33   355 00	1600,3		-14,4	- 1,0