Способы решения прямой геодезической задачи

Существуют разные способы решения прямых задач на эллипсоиде. При выборе конкретного способа решения следует руководствоваться его эффективностью в зависимости от длины расстояния Q₁Q₂ и требуемой точностью определяемых элементов.

На практике приходится решать задачи для точек с длиной расстояния между ними вплоть до 20 000 км.

 При малых расстояниях (до 300 км) для решения прямой задачи с погрешностью координат в пределах10…15 см (0,003 …0,005”) и азимута менее 0,003” наиболее часто применяют способ РУНГЕ-КУТТА - ИНГЛАНДА, в основу которого положен численный метод интегрирования дифференциальных уравнений первого рода. При решении задачи на любые большие расстояния это расстояние делится на части, которые соответствуют, например, средним расстояниям, рассматривая части как шаг интегрирования.

При любых больших расстояниях (более 1000 км) задачу решать целесообразно способом БЕССЕЛЯ (первый алгоритм).

Пример решения прямой геодезической задачи способом

  Рунге – Кутта - Ингланда на эллипсоиде Красовского

Рабочие формулы:

                  B₂ = В₁ + 1/ 6 (∆В₁ +  4∆В₃ + ∆В₄);

                  L₂ = L₁ + 1/ 6 (∆L₁ + 4 ∆L₃ + ∆L₄);                        (1)

 

                  А₂ = А₁ + 1/ 6 (∆А₁ + 4 ∆А₃ + ∆А₄),

где 

                                                             sin А_i

     ∆В_i = S₀ V_i³ cos А_i ,     ∆L_i =  S₀ V_i ----------, ∆А _i = ∆L_i sin В_i    (2)

                                                                cos В_i

  (1 +0,6 γ_i)

V_i = ---------------, γ_i = β cos² В_i,   β = 1,25 (е′)², S₀ = (S/с) ρ”,

  (1 + 0,2 γ_i)                                               

  с – полярный радиус кривизны.                                                         

  Для эллипсоида Красовского имеем:

  с = 6 399 698,3 м, β = 0,008 423 16, S₀^” = 0,0322304 S, где S – в м.

Значения В_i и А_i определяют в зависимости от номера приближения i (обычно достаточно четырех приближений).

Решение выполняется в форме таблиц 1 и 2.

                                                                                                      Таблица 1

№ i	Вi	А i
1	В1	А1
2	В1 + ½∆В1	А1 + ½∆А1
3	В1 + ¼(∆В1+∆В2)	А1 + ¼(∆А1+∆А2)
4	В1 - ∆В2 + 2∆В3	А 1 - ∆А2 + 2∆А3

 

  Последовательность операций решения задачи:

 

    1) исходные данные для точки Q₁ (В₁ и А₁) вписываются в строку 1 таблицы 1;

2) по этим данным по формулам (2) вычисляются значения ∆В₁, ∆А₁, ∆L₁ и определяются значения строки 2 таблицы: широту В₂ и азимут А₂;

Аналогично определяются значения строк 3 и 4.

Вычисление окончательные значений координат точки Q₂ и значение обратного азимута А₂₁ выполняется в форме таблицы 2.

Дано для точки Q₁:

        координаты точки B₁ = 50⁰ 07′ 40,97”; L₁ = 23⁰ 45′ 13,43”;                  

        прямой азимут линии S₁₂; А₁ = А₁₂ = 3⁰ 29′ 45,83”;

        длина линии                    S₁₂ = 281 260,18 м;

         S₀ = 9 065,125”; β = 1,25х 0,006 738 525= 0,008 423 156;

          γ_i = β cos² В_i = 0,0034617

Определить: координаты точки Q₂ и значение азимута А₂₁.

                                                                                               Таблица 2

i	1	2	3	4
Аi	30 29′ 45,83”	30 35′ 17,28”	30 35′ 29,24”	30 41′ 38,52”
Bi	50 07 40,97	51 23 23,91	51 23 23,18	52 39 03,89
Vi	1,001 384	1,001 311	1,001 311	1,001 239
Vi3	1,004 157	1,003 938	1,003 938	1,003 721
∆В”	9 085,87	9 082,98	9 082,95	9 079,96
∆L”	863,48	910,34	911,19	963,91
∆А”	662,70	711,35	712,02	766,27

 

∆В = 1/6 (∆В₁ + 4∆В₃ +∆В₄) = 2⁰ 31′ 22,94”;   В₂ = В₁ + ∆В = 52⁰ 39′03,91”;

  ∆L = 1/6 (∆L₁  + 4∆L₃ +∆L₄) = 0 15 12,02;  L ₂ = L ₁ + ∆ L = 24 00 25,45;

∆А=1/6(∆А₁+4∆А₃+∆А₄)=0⁰11′58,54”;  А₂₁= А₁₂ + ∆А ±180⁰ = 183 41 38,67.

 

 

             Решение прямой геодезической задачи

             способом Бесселя (1-й алгоритм)

Этапы решения прямой задачи

1. Операции перехода с эллипсоида на шар.

2. Решение задачи на шаре.

3. Переход с шара на эллипсоид.

Рабочие формулы

На первом этапе определяются значения:

1) приведенной широты U₁ известной точки Q₁ и вспомогательных

функций широты

                                                      tg U₁                                                 1

  tg U₁ = √(1-e²) tg B₁; sin U₁= ---------------- и cos U₁= ----------------

                                                √(1 + tg² U₁)                 √(1 + tg² U₁)

 

(контроль значений - по сумме квадратов функций)

2) вспомогательных значений функций А₀ и σ₁

                                                                      cos A₁                   

              sin A₀ = cos U₁ sin A₁;  ctg σ₁= ----------;

                                                                        tg U₁

                                 

                              2 ctg σ₁                                        ctg²σ₁ - 1

              sin2 σ₁= -----------;      cos2 σ₁= --------------.

                                              ctg²σ₁+1                        ctg²σ₁+1

3) коэффициентов А,В,С, α и β:

           А = b (1 + k²/ 4 – 3k⁴/ 64 + 5k⁶/ 256) м,

           B = b (k²/ 8 – k⁴/ 32 +15k⁶/ 1024) м,

           C = b (k⁴/ 128 - 3k⁶/ 512) м,

где b – значение малой полуоси эллипсоида в метрах, k² = (е′)² cos²A₀.

α”= [(е²/2 + e⁴/8 + e⁶/16) - (e⁴ +e⁶) /16 cos² A₀ + 3e⁶ cos⁴A₀ / 128] ρ”,

β” = [(e⁴/ 32 + e⁶ / 32) cos² A₀ – e⁶ cos⁴A₀ / 64] ρ”.

При определении сферического расстояния σ в радианах поправку δ получаем всекундах.

 

4) сферического расстояния σ между точками Q₁ и Q₂

σ₀ = [S – (B +C cos 2σ₁) sin 2 σ₁] / A,

sin2(σ₁ + σ₀) = sin 2σ₁ cos2σ₀ + cos2σ₁ sin2 σ₀,   

cos2(σ₁ + σ₀) = cos2σ₁ cos2σ₀ - sin 2σ₁ sin2 σ₀,

 

 

                                               sin2(σ₁ + σ₀)

σ = σ₀ + [B + 5 Ccos 2 (σ₁ + σ₀)] ------------------,                                                                     

                                                              A

 (обратить особое внимание на размерности величин σ₁ , σ₀ и σ)

5) поправки δ в разность долгот λ – ℓ,

где ℓ – неизвестная разность долгот точек Q₁ и Q₂ на эллипсоиде

λ - разность долгот на шаре

(λ – ℓ) = δ = { α σ + β [sin2(σ₁ + σ₀) - sin 2σ₁] } sin A₀.

На втором этапе задача решается на шаре

 

 1) вычисление приведенной широты U₂ точки Q₂

sin U₂  = sin U₁cos σ + cos U₁ cos A₁ sin σ

 2) вычисление разности долгот λ точек Q₁ и Q₂  на шаре

 

                     sin A₁ sin σ

tg λ = --------------------------------------------

       cos U₁ cos σ - sin U₁sin σ cos A₁

 

При вычислении значения λ следует руководствоваться правилом:

Знак sin A1	+	+	-	-
Знак tg λ	+	-	-	+
λ =	|λ|	1800 - |λ|	- |λ|	|λ| - 1800

 

3)     вычисление значения обратного азимута А₂ = α₂

 

                                             cos U₁ sin A₁

                 tg A₂ = -------------------------------------------

                              cos U₁ cos σ cos A₁ - sin U₁sin σ

 

При вычислении значения A₂ следует руководствоваться правилом:

 

Знак sin A1	-	-	+	+
Знак tg А2	+	-	+	-
А2 =	|А2|	1800 - |А2|	180 + |А2|	3600 - |А2|

 Третий этап – переход с шара на эллипсоид

1) вычисление значения широты В₂ точки Q₂

                       1

    tg В₂ = ------------ tg U₂                 

          √ 1 – е²

  2) вычисление значения долготы L₂ точки Q₂

     L₂ = L₁ + ℓ = L₁ + λ - δ

  3) вычисление значения обратного азимута А₂₁  линии Q₂Q₁

       А₂₁ = А₂ + 180⁰.

Промежуточные контроли (приближенные):   

      1. ΔB₁₂  ≈ ΔU₁₂

            2. ΔB⁰₁₂ 111,2 k м  = Q kм   Q² + P²  ≈    S²   

           ΔL⁰₁₂ 111,2 kм cos B_m = P kм          

Основной контроль – результаты решения обратной задачи.

 

 

Пример решения прямой геодезической задачи 

       способом Бесселя (1-й алгоритм) на эллипсоиде 

                                   Красовского

Даны для точки Q₁:

  координаты точки B₁ = 50⁰ 07′ 40,970”; L₁ = 23⁰ 45^′13,430”;

  прямой азимут линии S А₁₂ = 3⁰ 29′ 45,830”;

  длина линии S:             S =281 260,18 м;

 

Определить: координаты Q₂ и значение обратного азимута А₂₁.

Обозначения	Значения	Обозначения	Значения
B1	50007′ 40,97”	α”	690,8886
L1	23 45 13,43	β”	0,2893
A1	3 29 45,83	σ0 рад	0,043 345 949
S м	281 260, 18	2(σ0 + σ1)	1,835 019 318
√(1 – e2)	0,996 647 670	sin2(σ0 + σ1)	0.965 295 715
tg U1	1,193 163 659	сos2(σ0 + σ1)	- 0,261159 304
sin U1	0,766 418 545	σ рад	0,044 154 621
cos U1	0,642 341 508	δ”	1,195
sin A1	0,060 979 969	sin U2	0,793 971 915
cos A1	0,998 138 990	tg U2	1,305 972 728
sin A0	0,039 169 966	B2	520 39′ 03,91”
cos2 A0	0,998 465 714	sin σ	0,044 140 275
ctg σ1	0,836 548 266	cos σ	0,999 025 343
σ1 рад	0,874 163 710	tg λ	0,004 427 466
sin2σ1	0,984 282 701	λ”	913, 225
cos2σ1	-0,176600013	L2	240 00 ′ 25,46”
A м	6 367 542,105	tg A2	0,064 563 255
B м	5 337,303	A2	30 41′ 38,67”
C м	2,237	A21	1830 41′ 38,67”

Вывод по результатам лабораторной работы: сопоставление

полученных результатов решения прямой геодезической задачи обоими способами показывает, что они совершенно идентичны.

Исходные данные для решения задач по вариантам:

  Координаты точки Q₁: В₁ = 50⁰ 07′ 40, 000 ”

                                         L₁ = 24 45 14, 000

Прямой азимут:     А₁ = 3 30 00, 000 + 1⁰ n, где n- номер по списку в журнале группы

Длина S = 281 260, 18 м; Эллипсоид ПЗ-90.

 

  Решение обратной геодезической задачи

по формулам со средними аргументами

При решении обратной геодезической задачи для расстояний между точками Q₁ и Q₂ не более 400 км наиболее удобной оказывается формула со средними аргументами.

Точности определения длины линии, прямого и обратного азимутов характеризуются следующими предельными погрешностями:

S, км	δS, м	δА”
80 200 400	0,01   0,1   1,0	0,02 0,1 0,5

Технологическая цепочка решения задачи и рабочие формулы:

1) по координатам точек Q₁ и Q₂ вычисляются значения

 

                             (B₂ - B₁)”                 (L₂ - L₁)”               B₂  + B₁       

                ∆B_рад = ------------, ℓ _рад = ------------, B_m = ----------,

                                   ρ”                    ρ”                 2                                                                                           

                                                                                        a                V_m =√ (1 + e′² cos²B_m), N_m  = c / V_m, M_m = c / V_m³, c = ------------

                                                                                    √(1– e²)

    Контроль: N_m / M_m = V².

  2) вычисляются значения Q, Р, ∆A и А_m

 

                                               ℓ²(2 + sin² B_m)

    Q = S cos A_m =∆B M_m [ 1 - ---------------------]

                                                           24

 

                                                           ∆B²  - (ℓ sin B_m)² 

     P = S sin A_m  = ℓ N_m cos B_m [ 1 + ----------------------]

                                                                 24

                                    3∆B²  + 2 ℓ² - 2(ℓ sin B_m)² 

     ∆A” = ℓ sin B_m [ 1 + ------------------------------- ]ρ”

                                                  24

                                  tg A_m = P / Q

     3) вычисляются искомые значения прямого A₁₂ и обратного A₂₁ азимутов и расстояния S:

           A₁₂ = A_m  - ∆A / 2, A₂₁ = A_m  + ∆A / 2  ± 180⁰,

     S = P / sin A_m = Q / cos A_m = √(Q² + P²).

Контроль – сравнение с данными, полученными при решении

                    прямой геодезической задачи.    

     Исходные данные – геодезические координаты точек 1 и 2 принять из решения прямой задачи по своему варианту.

     Пример решения обратной геодезической задачи на

                            эллипсоиде Красовского

    Дано: значения координат точек Q₁ и Q₂

     B₁ = 50⁰ 07′ 40.97”, B₂ = 52⁰ 39′ 03,91”, (е′)² = 0,006 738525,

      L₁ = 23 45 13,43, L₂ = 24 00 25,46, с = 6 399 698,9018 м

    Определить: значения прямого А₁₂ и обратного А₂₁ азимутов и    

                      расстояния S между точками Q₁ и Q₂.

 

Решение выполняется в форме таблицы

Обозначение	Значение	Обозначение	Значение
B2 рад	0,918 934 806	Q, м	280 706,7048
B1 рад	0,874 899 472	P, м	17 636,3685
∆B рад	0,044 035 334	tg Am	0,062 828 461
ℓ рад	0,004 421 597	Am	30 35′ 42,29”
Вm рад	0,896 917 139	ℓ sin Bm	0,003 455 104
sin Вm	0,781 406 853	∆A“	712,79
cos Вm	0,624 021 898	∆A0/2	00 05′ 56,42”
(е′)2сos2 Вm	0,002 624 004	A012	3 29 45,85
Vm	1.001 311 142	A0 21	183 41 38,71
Nm, м	6 391 318,9751	S=√ Q2 + P2	281 260,19 м
Mm, м	6 374 592,0259	S=P/sinAm=Q/cosAm	281 260,19 м

Вывод: результаты решения обратной геодезической задачи соответствуют результатам решения прямой задачи.

Рекомендуемая литература:

1. Бойко Е.Г. Сфероидическая геодезия, 2003 г. (глава 3).

2. Морозов В.П. Курс сфероидической геодезии, 1979 г. (глава IY)

3. Хаимов З.С. Основы высшей геодезии, 1984 г. (глава 5).

4. Практикум по высшей геодезии, 1982 г. (глава 17).

5. Конспект лекций.

                                        

 

Лабораторная работа №6

Вычисление плоских прямоугольных координат

проекции Гаусса – Крюгера по криволинейным

        геодезическим координатам и обратно

Необходимость введения системы плоских координат вызвана тем, что эллипсоидальная геодезическая система оказывается сложной и мало пригодной в массовых геодезических работах.

Цель работы: закрепить теоретические знания по вычислениям, связанным с применением в геодезии прямоугольной проекции Гаусса – Крюгера.