Вычисление координат Х, У проекции Гаусса – Крюгера

     по криволинейным B, L геодезическим координатам

                                           Р

                                                                               

                                      - ℓ₁ +ℓ₂

                       Q₁       -y₁     +y₂  Q₂ 

                                      

                                          Q

                 L₁ x₁         X             x₂ L₂    

 

                                         L₀

               -Y                 0                      +Y

 

Проекция Гаусса - Крюгера является конформной симметричной проекцией. Уравнения симметричных проекций при малом значении ℓ_i = L_i – L₀ представляются степенными рядами общего вида как

      x = a₀ + a₂ ℓ ² + a₄ ℓ⁴ + а ₆ ℓ⁶ …, или x = Х + a₂ ℓ ² + a₄ ℓ⁴ + а ₆ ℓ⁶ …,               

      у = b₁ℓ + b₃ℓ³ + b₅ℓ⁵ + ….

 

 где  Х = А₀В - А₂/2 sin2 B + A₄/4 sin4 B – A₆/6 sin6 B +...,

значения коэффициентов А для эллипсоидов Красовского, WGS-84 и ПЗ-90 равны соответственно:

     А₀ =   6 367 558, 497 м, 6 367 449,147 м  6 367 446,861 м

     А₂ =   32 072,960           32 077,017           32 076,935

     А₄ =          67,312                  67,330                  67,322

     А₆ =            0,132                    0,132                    0,130                                                                                            

 

     Значения коэффициентов “a” и “b” вычисляют по формулам:

    а₂ = ½ N sinB cosB

a₄ = 1/24 N sinB cos³B (5 - tg²B + 9η² + 4 η⁴), где η = е΄ cosB

a₆ = 1/720 N sinB cos⁵B (61 – 58 tg²B + tg⁴B + 270 η²  - 330 η² tg²B)

          b₁ = N cos B,        

          b₃ = 1/6 N cos³B (1 - tg²B + η²),

          b₅ = 1/120 N cos⁵B (5 - 18 tg²B + tg⁴B + 14 η² - 58 η² tg²B).

Если численные значения коэффициентов вычислять по элементам эллипсоида Красовского, то можно воспользоваться более удобными формулами:

  х = 6 367 558,4969 В – {a₀ – [0,5 + (a₄ + a₆ℓ²) ℓ²] ℓ² N} sinB cosB;

  y = [1 + (a₃ + a₅ ℓ²) ℓ N] cosB,

где

    a₀ = 32 140,404 – [135,3302 –(0,7092 – 0,004cos²B)cos²B]cos²B,

    a₄ = (0,25 + 0.00252cos²B)cos²B – 0,04166,

    a₆ = (0,166cos²B – 0,084)cos²B,

    a₃ = (0,333 333 3 + 0,001123 cos²B)cos²B – 0,166 666 7,

    a₅ = 0,0083 – [0,166 7 –(0,1968 + 0,004cos²B)cos²B]cos²B.

      Исходные данные для решения задачи по варианту:

      Широта точки B = 50⁰ 07′ 40.9700” + 20′ n,

         Долгота точки L = 23 45 13,4300 + 20′ n.      

Определить значения плоских координат Х и У точки по ее геодезическим координатам на эллипсоидах Красовского и WGS-84 с погрешностью до 0,001 м.

Пример решения задачи для эллипсоида Красовского по

                             формулам общего вида

 

Исходные данные: B=51⁰38′43,9000” L=24⁰02′13,1360 L₀ = 27⁰                                                                                

Обозначения	Значения	Обозначения	Значения
Врад       ℓрад   sin B   cos B   cos2B    sinBcosB     A0 B   А2/2   A4/4   A6/6      X          tg2B	0,9013845503 -0,051 714 416 0,784186779  0,620524854 0,385051094 0,486607386 5 739 618,8120 16 036,480       16,828         0,022 5 724004,0994 м  1,597 057 931	η2     N     ℓ2 N sinB      a2     a4     a6       x b1= NcosB    b3             b5     y	0,002 594 675  6 391412,450 м 0,002 674 380  5 012 061,142  1 555 054,254 170 966,378 - 19 050,150 5 728164, 129м 3 966 030,2770  - 151 303,2139  - 109 538,5000 - 205079, 9 7 3 м

     2 Вычисление геодезических координат B, L по плоским

                                    координатам х,у

Контролем результата решения первого преобразования координат является обратное преобразование: по полученным значениям плоских координат вычислить значения геодезических координат точки на тех же эллипсоидах.

Для симметричных проекций функции преобразования представляются в виде рядов разложения по степеням ординаты “у”:

                              B = A₀ + A₂ y² + A₄ y⁴+ ……   

                              ℓ= P₁ y + P₃ y³ + P₅ y⁵ + ….., где ℓ = L - L₀

Для любой точки осевого меридиана (ℓ =0) при соблюдении условия Гаусса, что для осевого меридиана Х = х, ее широта равна В_Х = А₀ . Используя формулу для длины дуги меридиана, имеем:

                      Х dХ х dх

    А₀ =В_Х =∫₀  ---- = ∫₀ ----- - широта точки на осевом меридиане с

                        М      М

плоскими координатами х и у= 0 и геодезическими В_х и L₀ ,т.е. при ℓ=0.

 

      В _х  = β + b₂ sin 2 β + b₄ sin 4β + b₆ sin 6 β + …, где β = х / a₀

Для эллипсоидов: Красовского            WGS-84

                                a₀ = 6 367 558,497 м 6 367 449,146 м

                                b₂ = 0,002 518465      0, 002 518 827

                                b₄ = 0,000 003700            0, 000 003 701

                                b₆ = 0,000 000 007       0, 000 000 007                                                                    

Вычислив значение В_х, вычисляют значения коэффициентов А и Р:              

            V²_x tg Bx            

  А₂ = - --------------,   N_x = a / √ 1 – e² sin² B_x, V_x = c/ N_x ,   

                  2 N²_x                                                            

                        A₂

     A₄ = - ------ (5 + 3 tg² B_x + η²_x - 9 η²_x  tg² B_x - 4 η⁴_x), 

           12 N²_x 

              A₂

  A₆ = ----------(61+90tg² B_x +45tg⁴ B_x +46 η²_x -252 η²_x tg² B_x -90 η²_x tg⁴ B_x)

          360N_x⁴                              

                                    1                               Р₁

             Р₁ = -------------,  P₃ = - ------------ (1 +2 tg² B_x + η²_x),

                N_x cos Bx                     6 N_x²

                      P₁

       P₅ = ------------- (5 + 28 tg² B_x + 24 tg⁴ B_x + 6 η²_x + 8 η²_x tg² B_x)

                  120 N_x⁴                

С этими коэффициентами значения координат выражаются в радианах.

Значение долготы определяется как

            L = L₀  + ℓ,

т.е. необходимо знать значение долготы осевого меридиана L₀  зоны, в которой находится точка.

Если численные значения коэффициентов вычислять по элементам эллипсоида Красовского, то можно воспользоваться более удобными формулами:

            B = B_x – [ 1 – (b₄ – 0,12z²)z²] z²b₂;

             ℓ = [1 – (b₃ - b₅z²)z²]z,

 B_x= β+{50221746+[293622 +(2350 + 22cos²β)cos²β] cos²β}sinβcosβ 10^-10

     β = x / 6 367 558,4969     z = y / N_x cos B_x 

b₂ = (0,5 + 0,003 369 cos²B_x)sinB_x cosB_x

b₃ = 0,333 333 – (0,166 667 – 0,001 123 cos²B_x) cos²B_x

b₄ = 0,25 + (0,16161 + 0,00562 cos²B_x) cos²B_x

b₅ = 0,2 – (0,1667 – 0,0088 cos²B_x) cos²B_x.  

Результаты решения представить в таблице для обоих эллипсоидов.

Пример решения по общим формулам для точки,

расположенной на эллипсоиде  Красовского

Исходные данные: x = 5 728 164,129 м      

                                           y = - 205 079, 9 7 3 м

                                          L₀ = 2 7 ⁰

Обозначения	Значения	Обозначения	Значения
βрад b2 sin 2 β b4 sin 4β b6 sin 6 β Вх рад Nx с е2 (е′)2 V2x                                         η2x	0,899 585 631 0,002 453 074 - 0,000 001 631 - 0,000 000 005 0,902 037 068 6 391 426,090 6 399 698,3 м 0,006 693 422 0,006 738 525 1,002 590 397 0,002 590 397	А2у2 рад А4у4 А6 у 6 Врад В0 Р1у Р3у3 Р5у5 ℓ рад ℓ0 L00 L0	- 0,000 653 111 + 0,000 000 547 - 0,000 000 001 0,901 384 503                  510 38′ 43,9000 ” - 0,051 751 708 + 0,000 037 343 - 0,000 000 050  - 0,051 714 415  - 20 57′ 46,8640”            270   240 02′ 13,1360 ”

   

 Рекомендуемая литература:

  1. Бойко Е.Г. Сфероидическая геодезия, 2003 г. (глава 5).

  2. Морозов В.П. Курс сфероидической геодезии, 1979 г. (глава YI)

  3. Хаимов З.С. Основы высшей геодезии, 1984 г. (глава 6).

  4. Практикум по высшей геодезии, 1982 г. (глава 4).

  5. Конспект лекций.

 

 

Лабораторная работа №7