Достаточное условие экстремума функции двух переменных.

Учитывая сложность доказательства достаточного условия экстремума функции даже двух переменных, приведем его без доказательства для функции 2-х переменных.

Обозначим частные производные второго порядка функции z = z(x;y):

Теорема. Для того чтобы в точке, подозрительной на экстремум, функция z = z (x; y) принимала максимальное или минимальное значение достаточно чтобы выполнялось условие A · C – B ² > 0. Причем, если A < 0 (C < 0), то максимум, если A > 0 (C > 0), то минимум. Если A · C – B ² < 0, то экстремума нет, если A · C – B ² = 0, то требуются другие исследования.

Примеры. Проверим достаточное условие экстремума функции z = x² +2xy + 4y^0.5, учитывая первые производные, полученные выше. Найдем вторые производные:

Проверим условие A·C – B² = 2·(-1.5) – (2)² = -3 – 4 < 0. Экстремума в точке (-1;1) – нет.

 

2. Найти экстремум функции z = sinx + siny + sin(x + y), если 0 <x+y<π/2.

Найдем частные производные функции z_x = cosx+cos(x+y); z_y = cosy + cos(x+y). Приравняем их нулю и найдем значения переменных:

 z_x = cosx+cos(x+y) = 0,

 z_y = cosy + cos(x+y) = 0.                                                     

Вычтем одно равенство из другого и получим уравнение: cosx = cosy, решая которое, получим x = ±y + 2πn. Учитывая условие задачи 0 <x+y<π/2, получим x = y и x = - y. Подставим первое равенство в одно из уравнений: cosx + cos2x = 0, 2cos1.5x·cos0.5x = 0. Приравнивая каждый сомножитель нулю, получим 1.5x = π/2, 0.5x = π/2. Учитывая условие задачи 0 <x+y<π/2, находим точку P(π/3;π/3), в которой частные производные обращаются в ноль. Проверим достаточное условие A·C – B² > 0, для чего вычислим вторые производные:

       Таким образом, достаточное условие экстремума в точке Р выполняется, и в этой точке функция принимает максимальное значение, так как A < 0 (C<0). 

 

§22. Локальный экстремум функции двух переменных.

           

В задачах науки и техники нередко возникает задача отыскания экстремума функции многих переменных на точках подмножества множества определения функции. В частности, для функции 2-х переменных таким подмножеством может являться множество точек какой-либо линии. Например, определить экстремум функции  на множестве точек прямой

z

x

Z=(4-x2-y2)1/2

y

x+y=2

Рис.5

x + y = 2.

На рисунке 5 видно, что плоскость x+y-2=0 на сфере вырезает кривую, которая достигает максимума в точке прямой x + y = 2. Нетрудно видеть, что локальный экстремум в общем случае не совпадает с безусловным экстремумом. Безусловный экстремум может быть условным.

Рассмотрим методы вычисления условных экстремумов для функции 2-х переменных.

Пусть задана функция z = z(x,y) и некоторая кривая, называемая уравнением связи.

1.Если уравнение связи задано в явном виде y = f(x), то его (уравнение связи) подставляем в выражение функции z = z(x,y) и получим функцию одной переменной z = z(x,f(x)), отыскание экстремума которой известно. Так, в выше приведенном примере из уравнения связи выразим одну переменную через другую y = 2 – x и подставим в функцию:  Найдем производную этой функции и приравняем ее нулю:  В результате решения получим x = 1, а подставляя в уравнение связи, находим ординату точки y = 1. Нетрудно проверить и выполнение достаточного условия. Итак, в точке P(1;1), принадлежащей прямой x + y = 2, получен максимум функции z =  

2. Если уравнение связи задано в параметрическом виде то и в этом случае после подстановки в уравнение функции получим функции одной переменной z = z(x(t),y(t)).

3. Пусть теперь уравнение связи задано в неявном виде φ(x,y) = 0. Считая в функции z = z(x,y)  переменную y функцией x, найдем полную производную по x:

                                                                                              (51)

       Из уравнения связи φ(x,y) = 0, найдем производную

.                                                 (52)

Производная (51) в точках условного экстремума должна быть равна нулю и вместе с уравнением связи получим систему двух уравнений. После подстановки (52) в (51) и преобразований получим     

                                              (53)

неизвестную λ: . В результате получим систему трех уравнений:

                                                                                         (54)

Для более легкого запоминания системы (54) введем вспомогательную функцию6

                   Ф(x,y,λ) = z(x,y) + λ φ(x,y).                                                    (55) Отыскивая экстремум этой функции трех переменных, получим систему (54), которая выражает необходимое условие экстремума функции (55). Однако, не всякая пара x и y, являющихся решением системы (54), определяет точку экстремума. Достаточное условие условного экстремума не приводим; часто само содержание задачи подсказывает, чем является точка. Изложенный метод решения задач на условный экстремум называется методом множителей Лагранжа.

Пример. Найти точки условного экстремума функции z = 4 – x – y на множестве точек кривой (уравнение связи)

Составим функции Ф(x,y,λ) = 4-x-y-λ() и систему (54). Получим –

Решая первые два уравнения, получим x = y и x = -y. Подставляя x = y в третье, найдем x = 1, y = 1. Эта точка является точкой условного экстремума. Решение x = -y не удовлетворяет уравнению связи.

                   Лекция 12. §23 Скалярное поле

Предположим, что в каждой точке P области D задано значение скалярной физической величины u. Например, эта может быть температура неравномерно нагретого тела, потенциал электрического поля и т.д. В этом случае u называется скалярной функцией точки и обозначается как u = u (P).

Определение. Если в области D задана скалярная функция точки u (P), то говорят, что в этой области задано скалярное поле.

Область D может совпадать со всем пространством и может быть частью его. Если скалярное поле не зависит от времени, то оно называется стационарным. Если скалярное поле отнесено к системе координат Oxyz, то задание точки P равносильно заданию ее координат x, y, z; и тогда функцию u(P) можно записать в обычно виде как функцию трех переменных u(x,y,z).

       Определение. Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрического место точек, в которых скалярная функция u принимает постоянное одинаковое значение u (x, y, z) = C.

Уравнение поверхности уровня, проходящей через заданную точку M(x₀,y₀,z₀) записывается так:        u(x,y,z) = u(x₀,y₀,z₀).

Если скалярное поле плоское, то скалярная функция имеет вид u = u(x,y), а линия уровня u(x,y) = u(x₀,y₀).

Важной характеристикой скалярного поля является скорость изменения поля в заданном направлении. Пусть задано скалярное поле, т.е. задана скалярная функция  u = u(x,y,z). Выберем произвольную точку P(x,y,z) и какое-либо направление λ. Пусть направление λ задано единичным вектором e_λ(cosα, cosβ, cosγ) (рис.6). Зададим на напра

α

P0

P

z

γ

β

Рис.6

y

влении λ выбрана точка P₀(x₀,y₀,z₀). Обозначим расстояние между точками P(x,y,z) и P₀(x₀,y₀,z₀) через ρ = . Нетрудно видеть, что проекции вектора PP ₀ на оси координат будут с одной стороны x₀ – x, y₀ – y, z₀ – z, с другой - ρ·cosα, ρ·cosβ, ρ·cosγ соответственно. Поэтому x₀ = x + ρ·cosα, y_{0 =} y + ρ·cosβ, z₀ = z + ρ·cosγ. Тогда приращение функции u(x,y,z): ∆u = u(x₀,y₀,z₀) - u(x,y,z) = u(x+ ρ·cosα,y+ ρ·cosβ,z+ ρ·cosγ)- u(x,y,z). Или ∆u=u(P₀)- u(P)

Когда точка P₀ приближается к точке P вдоль направления λ, то меняется только расстояние ρ.

Определение. Производной по направлению λ называется предел отношения приращения скалярной функции u (x, y, z) к расстоянию между точками, когда расстояние стремится к нулю.

Этот предел принято обозначать   По определению производной, учитывая приращение скалярной функции –

       (56)

 

Следует заметить, что частные производные, рассмотренные выше, являются частными случаями производной по направлению. Действительно. Выберем направлением ось Ox: cosα = cos0 = 1, cosβ= cosγ = cosπ/2=0, ρ = x₀ – x = ∆x. Тогда

Выведем формулу вычисления производной по направлению, для чего заменим приращение функции дифференциалом и бесконечно малой ε(ρ) –

Подставим правую часть равенства в выражение производной (56) и получим –

Учитывая, что частные производные не зависят от ρ, а второй предел равен нулю, производная по направлению выразится как

                                                    (57)

       Итак, производная по направлению равна сумме произведений частных производных скалярной функции на соответствующие направляющие косинусы направления.

       Пример. Вычислить производную функции u = x²y + z³ в точке B(2,-1,3) в направлении от A(-2, -3,-1) к B.

       Решение. Вычислим частные производные функции и их значения в точке B:

φ

Grad u

eλ

Рис.7

                

направления e_λ (). Таким образом,

 u_λ =(-2·2+4·1+27·2)/3=18.

Замечание. При изменении направления производная в точке меняет знак на противоположный.

       Анализируя формулу производной по направлению (57) можно заметить, что правая часть ее есть скалярное произведение двух векторов в координатной форме.

Определение. Вектор, составленный из частных производных скалярной функции, называется градиентом и обозначается grad u или .

Следовательно, производную (57) можно теперь записать так:

        u_λ = (grad u · e_λ) или u_λ = | grad u |·| e_λ |· cos φ = | grad u |· cos φ,             (58)

     

где φ – угол между векторами (рис.7), | e_λ | = 1.

 

Из рисунка 7 и формулы (58) видно, что производная по направлению становится максимальной, если направление совпадает с направлением градиента.

Итак, направление градиента определяет максимальную скорость изменения скалярного поля в заданной точке, а модуль градиента значение этой скорости.

В этом состоит физический смысл градиента.