Прежде всего отметим, что термин «фаза» используется в физике и нелинейных

динамика в разных смыслах. Например, мы уже встречались с понятием

«Фазовое пространство». Координаты в этом пространстве часто называют «фазовой точкой», а координаты

Временная эволюция системы описывается движением этой точки. Здесь, как и

В выражении «фазовые переходы» значение слова «фаза» полностью

Отличается от того, что мы понимаем под «фазой колебаний». В этой книге

Мы надеемся, что точное значение всегда будет ясно из контекста.

Фаза колебаний φ (t) неограниченно увеличивается, но, поскольку синус

периодической функции, sin φ = sin (φ + 2 π), двефазы, различающиесяна 2 π, соответствуют

Одинаковые физические состояния. Иногда для удобства мы рассматриваем циклическую фазу, которая

определяется по окружности, т. е. изменяется от 0 до 2 π; мыиспользуемодинаковыеобозначениядляобоихслучаев

И надеюсь, что это не затруднит понимания.

Мы еще не обсуждали член φ 0, который можно понимать как начальную фазу.

Мы уже знаем, что когда «включается» самоподдерживающаяся система, то после некоторого

Переходный, он достигает предельного цикла, независимо от начального состояния системы. Этот

Означает, что амплитуда колебаний не зависит от начальных условий. На

Напротив, начальная фаза φ 0 зависит от перехода к конечному состоянию и может

быть произвольным, т. е. все значения φ 0 эквивалентны. Действительно, если рассматривать стационарные

Только колебания, то всегда можно изменить начальную фазу, выбрав другую

начальная точка t = 0 для наших наблюдений.

Мы можем легко интерпретировать понятия фазы и амплитуды, используя картинку

предельного цикла (рис. 2.3а); это не что иное, как представление точки

в фазовой плоскости в полярных координатах. 7 Эта точка вращается, например, против часовой стрелки.

Напоминаем читателю, что предельный цикл квазилинейного осциллятора почти круговой.

Стр.54

32

Основные понятия

с угловой скоростью ω 0, так что за период колебаний T он совершает один оборот

вокруг начала координат и колебательная фаза φ (t) увеличивается на 2 π.

2.2.2

Амплитуда стабильная, фаза свободная

Здесь мы подошли к самому важному моменту: устойчивости фазовой точки на пределе

Цикл. Другими словами, нас интересует, что произойдет с колебанием, если мы слегка

Возмущать движение.

Теперь для удобства проанализируем поведение системы в системе координат

вращается против часовой стрелки с той же угловой скоростью ω 0, что и фазовая точка в

Исходная система координат. С точки зрения наблюдателя в этом новом справочнике

В системе координат фазовая точка остается неподвижной, т. е. стационарные колебания соответствуют

точка покоя, имеющая координаты φ (t) - ω 0 t = φ 0 и A (рис. 2.3b).

Предположим теперь, что система нарушена; мы можем описать это смещением

точки из предельного цикла (рис. 2.3b). Какова эволюция этого нарушения?

Как мы уже знаем, возмущение амплитуды колебаний затухает (см.

Рис. 2.2b). Что касается фазы, то ее возмущение не нарастает и не затухает: да, как и все

значения φ 0 эквивалентны, то если начальная фаза была изменена с φ 0 на φ 1, она

Остается на этом значении, если система снова не возмущается.

Можно проиллюстрировать устойчивость колебаний предельного цикла с помощью аналогии

Между поведением фазовой точки и поведением легкой частицы, помещенной в вязкую

жидкость. Если на такую ​​ частицудействуеткакая - тосила, онадвижетсяспостояннойскоростью. Если

Действие прекращается, частица останавливается и остается в этом положении. 8 Поведение

тогда амплитуда может быть представлена ​​ частицейв U- образномпотенциале (рис. 2.4а).

Если масса частицы пренебрежимо мала, постоянная сила вызывает постоянную скорость, а не

Постоянное ускорение. Такую динамику часто называют сверхдемпфированием.

Расслабление

Возмущение

φ

0

(б)

(т)

Икс

y

А

φ

а)

Рисунок 2.3. (а) Стационарное автоколебание описывается вращением

Фазовая точка по предельному циклу; его полярные координаты соответствуют фазе

φ (t) и амплитуда колебаний A. (б) Во вращающейся системе координат

Стационарные колебания соответствуют точке покоя (показано закрашенным кружком). Если

Эта точка выходит за пределы предельного цикла, возмущение амплитуды затухает,

Пока сохраняется возмущение фазы; возмущенное состояние и состояние после

Затухания возмущения показаны маленькими пунктирными кружками.

Стр.55