Фаза: определение и свойства

33

Минимум потенциала соответствует амплитуде A невозмущенного

Колебания, так что относительно радиальных возмущений точка предельного цикла находится в

Состояние устойчивого равновесия.

Рассмотрим теперь изменение фазы, т. Е. Только движение по циклу. Там

Не является предпочтительным значением фазы, поэтому его динамику можно проиллюстрировать с помощью

частица на плоскости (рис. 2.4б, в). Эта частица находится в состоянии нейтрального (безразличного)

Равновесие. Он остается в покое, пока возмущающая сила не толкнет его в новое положение. это

Очень важно, что частица может перемещаться даже бесконечно малой силой, но

Конечно, и в этом случае скорость бесконечно мала. Основное следствие этого

Дело в том, что фаза очень легко регулируется внешним воздействием, и в результате

осциллятор можно синхронизировать!

2.2.3

Общий случай: предельный цикл произвольной формы

Обсудим теперь, как можно ввести фазу для предельного цикла произвольной

в целом некруглой формы (рис. 2.5). Предположим, что периодическое движение имеет период T.

Начиная с t = t 0 из произвольной точки цикла, мы определяем фазу как

Фаза

т

(б)

(c)

а)

А

Амплитуда

0

2 π

φ - ω 0

Рисунок 2.4. Устойчивость точки на предельном цикле, проиллюстрированная динамикой

легкая частица в вязкой жидкости. (а) Поперечно циклу точка находится в состоянии

Устойчивое равновесие: возмущение амплитуды быстро спадает до стабильного значения

. (б) Возмущение по циклу, т. е. по фазе, не нарастает и не затухает.

Устойчивый рост фазы можно представить в виде скольжения легкой частицы в вязкой среде.

Жидкость по наклонной плоскости. Две такие частицы (соответствующие невозмущенному

и возмущенные фазы, темные и белые кружки) скользят с постоянным запаздыванием. (c) В

вращающейся (со скоростью ω 0) системы отсчета фаза постоянна (см. также

Обсуждение в разделе 3.1). Это соответствует частице на горизонтальной плоскости в

Состояние нейтрального (безразличного) равновесия. Пунктирная линия напоминает нам, что фаза

2 π - периодическаяпеременная.

Стр.56

34

Основные понятия

Пропорционально доле периода, т. е.

φ (t) = φ 0 + 2 π

Т - т 0

Т

.

(2.1)

Затем фаза монотонно возрастает по траектории, и каждое вращение

точка вокруг цикла соответствует усилению по фазе 2 π. Тогда амплитуда может быть

Понимается как переменная, характеризующая поперечное отклонение траектории

Из цикла. Отметим, что движение точки по циклу может быть неоднородным.

Более того, может случиться так, что интервалы довольно медленного движения чередуются с быстрыми прыжками.

точки по циклу. Системы с такими циклами называются релаксационными осцилляторами;

Они рассмотрены в разделе 2.4.2. Подчеркнем, что хотя движение

Точка на фазовой плоскости может быть неоднородной, рост фазы во времени равен

Всегда однообразный.

Подчеркнем, что основные описанные нами свойства квазилинейного осциллятора

Остаются в силе и для общих периодических автоколебаний. Независимо от

По форме предельный цикл устойчив в поперечном направлении, тогда как в тангенциальном

Направление фазовая точка не является ни стабильной, ни нестабильной.

Если рассматривать две близкие траектории в фазовом пространстве, т. Е. Невозмущенную и

Возмущенные, то мы видим, что в радиальном направлении они сходятся со временем,

В то время как в направлении цикла они не сходятся и не расходятся. С точки зрения

Нелинейная динамика, свойства сходимости / расходимости близких траекторий являются

Характеризуются показателями Ляпунова. Сходимость траекторий по некоторым

направление в фазовом пространстве соответствует отрицательному показателю Ляпунова (рис. 2.6).

Абсолютное значение этого показателя определяет скорость сходимости. Точно так же

Расхождение траекторий (с этим свойством мы столкнемся позже при изучении хаотических

0

φ 0 + π / 2 φ 0 + πφ 0 + 3 π / 2 φ 0 + 2 π

φ

т + т

Время

Фаза

т

Рисунок 2.5. Значение

Фаза самоокупаемости

Осциллятор с предельным циклом

Произвольной формы. В

Фаза параметризует

Движение точки по

Цикл и может быть

Понимается как доля

Период колебаний T; это

Циклическая переменная: значения

φ и φ + 2 π k являются

Эквивалент. Начальный этап

φ 0 (выделено коротким жирным

Прямая, ортогональная циклу)

Можно выбрать произвольно.

Обратите внимание, что движение

Точка на цикле

В целом неоднородный.

Стр.57