Автогенераторы: основные характеристики

Год

Осцилляторов (раздел 5.1)) характеризуется положительной экспонентой. Наконец, нейтральный

Направление (без расхождения и без схождения) соответствует нулевой экспо-

Nent. Самый важный вывод, который используется при теоретическом рассмотрении в Части II.

Состоит в том, что фазу осциллятора можно рассматривать как переменную, которая соответствует

К нулевому показателю Ляпунова.

2.3

Автогенераторы: основные характеристики

Автоколебания - это не затухающие устойчивые колебания в автономной диссипации.

Тивные системы. В этом разделе мы сравниваем такие системы с консервативной и принудительной

Единицы, и подчеркнут отличительные особенности. Цель этого сравнения - показать

Почему концепция автоколебаний так важна для адекватного описания.

Многих природных явлений и, в частности, синхронизации. Мы также спорим

Что автоколебания могут поддерживаться только в нелинейных системах.

2.3.1

Диссипация, устойчивость и нелинейность

Рассеивание

Макроскопические природные системы рассеивают свою энергию. Это происходит, например, из-за меня-

Механическое трение о подвеске маятника, или из-за электрического сопротивления, или

за счет других механизмов необратимого преобразования энергии системы в

нагревать. Таким образом, исключая из нашего рассмотрения такие примеры, как планетные системы (где

Диссипация кажется незначительной) или колебания молекул (которые описываются

Законы квантовой механики), мы всегда должны учитывать тот факт, что,

Без постоянной подачи энергии в систему ее колебания затухнут.

Следовательно, автогенераторы должны обладать внутренним источником энергии. в

Маятниковые часы, колебания поддерживаются за счет потенциальной энергии поднятого

Рисунок 2.6. Конвергенция

И расхождение

Траектории охарактеризованы

Экспонентами Ляпунова.

Допустим, мы рассматриваем облако

Начальных условий вокруг

Какая-то точка на пределе

Цикл (заштрихованный кружок). Этот

Фазовый объем уменьшается

Во время эволюции,

В результате получается эллиптический тренажер

Форма. Это соответствует

Отрицательный показатель Ляпунова

В поперечном направлении

К циклу и к нулю

Показатель Ляпунова в

Тангенциальное направление.

Стр.58

36

Основные понятия

Вес или сжатая пружина. Современные часы, а также электронные лампы и др.

Электронные генераторы, получают необходимую энергию от некоторого источника электропитания.

Ритмичные сокращения сердечной мышцы или испускание световых импульсов светлячками

Происходят за счет энергии химических реакций в этих системах.

Стабильность

Свойство устойчивости колебаний к возмущениям также выделяет

Автогенераторы от консервативных. Периодические движения в консервативном

Системы могут быть описаны на фазовой плоскости семейством замкнутых кривых (рис. 2.7а).

Действительно, поскольку эти системы не рассеивают и не пополняют свою энергию, то если система

Если бы он был изменен из-за возмущения, он остался бы возмущенным. Соответственно,

Измененное значение амплитуды колебаний также сохраняется. Другими словами,

Консервативные периодические системы не «забывают» начальные условия. Таким образом, пери-

Одические колебания в таких системах зависят от того, как система была приведена в

Движение. 9

В качестве иллюстрации упомянем здесь хорошо известную модель Лотки – Вольтерры.

В динамике населения. Было предложено объяснить колебания численности населения

численности в системе хищник – жертва (пример таких колебаний, так называемый

Цикл заяц – рысь показан на рис. 1.13). Эта нелинейная модель консервативна, и

Поэтому не может описывать ни устойчивые колебания, ни синхронизацию нескольких меж-

Действующее население. Модификации оригинальной модели Лотки – Вольтерры, делающие ее

Автоколебательная помощь здесь.

На математическом языке свойства рассеяния и устойчивости описываются как

Уменьшение объема начальной фазы. Действительно, возьмем набор начальных условий, соответствующий

Облако точек в фазовом пространстве. В диссипативной системе это облако со временем сжимается, и

в конечном итоге становится точкой или линией (см. рис. 2.6). Консервативные системы сохраняют фазу