Расчет показателей надежности резервированных изделий

 

Резервированным соединением изделий называется такое соединение, при котором отказ наступает только после отказа основного изделия и всех резервных изделий. На практике применяются следующие способы резерви­рования: общее, раздельное, с целой кратностью, с дробной кратностью, по­стоянное, замещением, с нагруженным, облегченным или ненагруженным резервом.

 

Рис 2. Схемные обозначения различных способов резервирования: а - общее постоянное с целой кратностью; б - раздельное постоянное с целой

кратностью; в - общее замещением с целой кратностью; г - раздельное за-
мещением с целой кратностью; д - общее постоянное с дробной кратностью:

е - раздельное замещением с дробной кратностью.

Общим резервированием называется метод повышения надежности, при котором резервируется изделие в целом (Рис. 2, а).

Раздельным резервированием называется метод повышения надежно­сти, при котором резервируются отдельные части изделия (рис. 2, б).

 

Основным параметром резервирования является его кратность. Под кратностью резервирования понимается отношение числа резервных изделий к числу резервируемых (основных). Различают резервирование с целой и дробной кратностью. Схемные обозначения обоих видов резервирования при постоянном включении резерва одинаковы. Для их различия на схеме указы­вается кратность резервирования m.

При резервировании с целой кратностью величина m есть целое число, при резервировании с дробной кратностью величина m есть дробное несо­кращаемое число. Например, m = 4/2 означает наличие резервирования с дробной кратностью, при котором число резервных элементов равно четы­рем, число основных — двум, а общее число элементов равно шести. Сокра­щать дробь нельзя, так как если сократить, то m = 4/2 = 2 будет означать, что имеет место резервирование с целой кратностью, при котором число резерв­ных элементов равно двум, а общее число элементов равно трем.

По способу включения резервирование разделяется на постоянное и ре­зервирование замещением.

Постоянное резервирование — резервирование, при.котором резерв­ные изделия подключены к основным в течение всего времени работы и находятся в одинаковом с ними режиме. Резервирование замещением — резервирование, при котором резервные изделия замещают основные после их отказа.

При включении резерва по способу замещения резервные элементы до момента включения в работу могут находиться в трех состояниях: нагружен­ном резерве; облегченном резерве; ненагруженном резерве.

Надежность системы для указанных выше видов резервирования опре­деляется по следующим формулам.

1. Общее резервирование с постоянно включенным резервом и с целой кратностью (рис. 2, а):

где p i (t) — вероятность безотказной работы i-ro элемента в течение времени t; n — число элементов основной или любой резервной цепи; m — число ре-зервных цепей (кратность резервирования).

    При равнонадежных элементах

      2. Раздельное резервирование с постоянно включенным резервом и с целой кратностью (рис. 2, б):

где p i (t) — вероятность безотказной работы i -ro элемента; m i — кратность ре-зервирования i -го элемента; n — число элементов основной системы.

    При равнонадежных элементах

    3. Общее резервирование замещением с целой кратностью (рис. 2, в).

    При экспоненциальном законе надежности и ненагруженном состоянии резерва

где λ0 - интенсивность отказов основного (нерезервированного) устройства.

    При нагруженном состоянии резерва формула для Рс(t) совпадает с формулой (7.1).

    4. Раздельное резервирование замещением с целой кратностью (рис. 2, г):

где р i (t) — вероятность безотказной работы системы из-за отказов элементов i -го типа, резервированных по способу замещения. Вычисляется р i (t) по фор-мулам общего резервирования замещением (см. п. 3)

    5. Общее резервирование с дробной кратностью и постоянно включен-ным резервом (рис. 2, д).

    Если в системе n основных и m резервных одинаковых элементов, при-чем все элементы постоянно включены, работают параллельно и вероятность их безотказной работы р подчиняется экспоненциальному закону, то вероят-ность безотказной работы системы можно определить по формулам, приве-денным в табл. 5.

 

Таблица 5

Формулы для определения надежности в случае общего резервирования с дробной кратностью и постоянно включенным резервом

 

n	n + m
	1	2	3	4	5
1	p	2p -	-	-	-
2	-			6 p 2 - 8 p 3 +3 p4	10 p - 20 p 3 + 15 p 4 - 4 p3
3	-	-		4 p 3 - 3 p4	10 p 3 - 15 p 4 + 6 p5
4	-	-	-		5 p 4 - 4 p5

 

              6. Скользящее резервирование.

              При экспоненциальном законе надежности

где λ0  =   n λ — интенсивность отказов нерезервированной системы; λ — интенсивность отказов элемента; n — число элементов основной системы;
 — число резервных элементов.

 

Примеры решения задач

Задача 7.1. Дана система, схема расчета которой приведена на рис. 3. Необ-ходимо найти вероятность безотказной работы системы при известных веро-ятностях безотказной работы ее элементов (значения вероятностей указаны на рис. 2)

Рис.3. Структурная схема надежности резервированной системы

 

Решение.

    Из рис.3 видно, что система состоит из двух неравнонадежных

устройств – 1 и 2. Устройство 1 состоит из 4-х узлов:

    А – дублированный узел с постоянно включенным резервом, причем каждая часть узла состоит из трех последовательно соединенных элементов;    Б – дублированный узел по способу замещения;

    В – узел с одним нерезервированным элементом;

    Г – резервированный узел с кратностью m = 1/2.

 

           Устройство 2 представляет собой нерезервированное устройство, на-дежность которого равна 0,9. Так как устройства неравнонадежны, то веро-ятность безотказной работы всей системы

Рс(t) = 1 – [1 – Р1(t)][1 – Р2(t)].

    Вероятность безотказной работы устройства 1 равна произведению ве-роятностей безотказной работы всех его узлов, т.к. они соединены последо-вательно

Р1(t) = РАРБРВРГ.

    В узле А используется общее резервирование с кратностью m = 1. При этом число элементов основной и резервной цепей n = 3. Следовательно

РА = 1 – [1 – (t)  = 1 – [1 –  = 0,927.

    В узле Б кратность резервирования замещением m = 1, тогда вероят-ность безотказной работы узла Б определяется как

= 0,9(1 + 0,105) = 0,994,

где  = pi(t) = 0,9; λ0t = - ln [ p i (t)]= 0,105.

    В узле Г применено резервирование с дробной кратностью, когда число основных систем n = 2, а общее число основных и резервных систем n + m = 3, тогда вероятность безотказной работы этого узла определяем по табл.1

 

Задача 7.2. Система электроснабжения состоит из четырех генераторов, но-минальная мощность каждого из которых W=18 КВт. Безаварийная работа еще возможна, если система электроснабжения может обеспечить потребите-ля мощностью 30 КВт. Необходимо определить вероятность безотказной ра-боты системы электроснабжения в течение времени t = 600 час, если интен-сивность отказов каждого из генераторов λ= 0,15.10-3 1/час.

 

Решение.

    Мощности двух генераторов достаточно для питания потребителей, так как их суммарная мощность составляет 36 КВт, а по условию задачи доста-точно лишь 30 КВт. Это значит, что отказ системы электроснабжения еще не наступит, если откажут один или два любых генератора. Здесь имеет место случай резервирования с дробной кратностью, когда общее число устройств n + m = 4, число устройств, необходимых для нормальной работы (основных) n = 2, а кратность резервирования 2/2

 

Задача 7.3. Схема расчета надежности приведена на рис. 4. Необходимо найти вероятность безотказной работы изделия, если известны вероятности отказов элементов.

Рис. 4. Схема надежности к зад. 7.3

Ответ: Рс = 1 - [l - (l – q1) (1 – q2)]3 = 0,997.

 

Задача 7.4. Схема расчета надежности показана на рис. 5, где приведены дан-ные о вероятностях безотказной работы элементов. Требуется определить ве-роятность безотказной работы Рс и вероятность отказа Qc изделия.

 

Рис. 5. Схема надежности к зад. 7.4

 

 

Задача 7.5. Схема расчета надежности показана на рис. 6, на котором приве-дены вероятности безотказной работы элементов. Требуется вычислить веро-ятность безотказной работы изделия.

Рис. 6. Схема надежности к зад. 7.5

 

Ответ: Рс = 1 – (1 – р1р2)(1 – р3р4) = 0,944

 

Задача 7.6. Схема расчета надежности показана на рис. 7. Необходимо найти по известным вероятностям отказов элементов q1 и q2 вероятность безотказ-ной работы изделия.

Рис. 7. Схема надежности к зад 7.6

 

Ответ: Рс = (1 – )(1 – ) = 0,95

 

1.8. Способы преобразования сложных структур

    Самыми распространенными в инженерной практике являются расче-ты, основанные на использовании параллельно-последовательных структур.

Однако не всегда условие работоспособности можно непосредственно пред-ставить параллельно-последовательной структурой. В этом случае можно сложную структуру заменить ее эквивалентной параллельно-последо-вательной структурой. К таким преобразованиям относится:

    - преобразование с эквивалентной заменой треугольника на звезду и обратно;

    - разложение сложной структуры по базовому элементу.

 

    Существо способа преобразования с помощью эквивалентной замены треугольника на звезду и обратно заключается в том, что узел сложной кон-фигурации заменяется на узел другой, более простой конфигурации, но при этом подбираются такие характеристики нового узла, чтобы надежности пре-образуемой цепи сохранялись прежними.

    Пусть, например, требуется заменить треугольник (рис. 8, а) звездой (рис. 8, б) при условии, что вероятность отказа элемента a равна , элемента b равна , элемента c - . Переход к соединению звездой не должен изме-нить надежность цепей 1-2, 1-3, 2-3. Поэтому значение вероятностей отказов элементов звезды , ,  должны удовлетворять следующим равенствам:

    Если пренебречь произведениями вида ; , то в результате ре-шения системы уравнения (8.1) можно записать:

Для обратного преобразования звезды в треугольник

Рис. 8. Преобразование "треугольник - звезда"

 

Задача 8.1. Определить вероятность безотказной работы устройства, струк-турная схема которого изображена на рис. 9, если известно, что вероятности безотказной работы каждого из элементов схемы равны 0,9, а вероятности отказов равны 0,1.

Рис.9. Мостиковая схема надежности

 

Решение.

1. Преобразуем соединение элементов 1,2,5 в треугольник (рис. 10, а), в звез-ду (рис. 10, б).

 

Рис. 10. К примеру преобразования структуры

 

2. Определим эквивалентные значения вероятности отказов для новых эле-ментов a, b, c

qa=q1q2=0,1´0,1 = 0,01;

qb=q1q5=0,1´0,1 = 0,01;

qс=q2q5=0,1´0,1 = 0,01.

3. Определим значения вероятности безотказного состояния элементов экви-валентной схемы (рис. 10,б)

pa = pb = pc = 0,99.

4. Определим вероятность безотказной работы эквивалентного устройства (рис. 11):

Р = рa(рbр3 + рcр4 - рbр3рcр4) =

 = 0,99(0,99´0,9+0,99´0,9 - 0,99´0,9´0,99´0,9) = 0,978.

 

Рис. 11. Преобразованная структура

 

    Способ преобразования с помощью разложения сложной структуры по некоторому базовому элементу основан на использовании теоремы о сумме вероятностей несовместных событий. В сложной структуре выбирают базо-вый элемент (или группу базовых элементов) и делаются следующие допу-щения:

    - базовый элемент находится в работоспособном состоянии;

     - базовый элемент находится в отказавшем состоянии.

Для этих случаев, представляющих собой два несовместных события, исход-ная структура преобразовывается в две новые схемы. В первой из них вместо базового элемента ставится "короткое замыкание" цепи, а во второй - разрыв.

Вероятности безотказной работы каждой из полученных простых структур вычисляются и умножаются: первая - на вероятность безотказного состояния базового элемента, вторая - на вероятность отказа базового элемента. Полу-ченные произведения складываются. Сумма равна искомой вероятности без-отказной работы сложной структуры.

 

Задача 8.2. Решить предыдущую задачу методом разложения сложной структуры.

Решение.

1. В качестве базового элемента примем элемент 5 (рис. 9).

 

2. Закоротим базовый элемент, т.е. сделаем допущение об абсолютной его проводимости. Присоединим к полученной структуре последовательно базо-вый элемент с характеристикой его надежности р5. В результате вместо ис-ходной структуры получим новую структуру (рис. 12, а).

Рис. 12. Пример разложения мостиковой структуры по базовому элементу

 

3. Произведем обрыв базового элемента, т.е. сделаем предположение об его абсолютной ненадежности (непроводимости). К полученной структуре при-соединим последовательно базовый элемент с характеристикой его ненадеж-ности (1-р5). В результате получим структуру (рис. 12, б).

 

4. Искомая вероятность равна сумме вероятностей структур (рис. 12, а, б), каждая из которых параллельно-последовательная. Поэтому

Р = р5[(р1+р2-р1р2)(р3+р4-р3р4)] + (1-р5)[р1р3+р2р4-р1р3р2р4]=

= 0,9[(0,9+0,9 - 0,9´0,9) ´ (0,9+0,9 - 0,9´0,9)] +

+ (1-0,9) ´ [0,9´0,9 + 0,9´0,9 - 0,9´0,9´0,9´0,9]»0,978.

        

Вероятность безотказной работы мостиковой схемы, состоящей из пяти неодинаковых и независимых элементов, можно определить по формуле:

В случае идентичных элементов эта формула принимает вид

    Подставляя соотношение (3.1) в формулу (8.5), получаем, что в случае использования элементов с постоянной интенсивностью отказов (экспонен-циальном законе распределения отказов)

    Среднее время безотказной работы системы Т0 находим, путем инте-грирования уравнения (8.6) в интервале [0,¥]:

Задача 8.3. Определить вероятность безотказной работы устройства, струк-турная схема которого изображена на рис. 9, если известно, что вероятности безотказной работы каждого из элементов схемы равны 0,9.

 

Решение.

    Так как все элементы идентичны, воспользуемся формулой (8.5), с ее помощью получаем:

Задача 8.4. Требуется определить вероятность безотказной работы и сред-нюю наработку до отказа системы, состоящей из пяти независимых и одина-ковых элементов, соединенных по мостиковой схеме (рис. 9); считается, что l = 0,0005 , t = 100 час и все элементы начинают работать в момент вре-мени t = 0.

Решение.

1. С помощью формулы (8.6) получаем