Раздел 1. Решение типовых задач

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

«Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова»

 

У Т В Е Р Ж Д А Ю

Ректор

_____________ В.П.Грахов

_______________________2017 г.

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

 

По дисциплине: «Надёжность технических систем и техногенный риск»

 

для направления 20.03.01 "Техносферная безопасность"

профили: "Безопасность технологических процессов и производств",

            "Защита в чрезвычайных ситуациях",

            "Инженерная защита окружающей среды"

 

Форма обучения: очная

 

Общая трудоемкость дисциплины составляет: 3 зачётных единицы

 

Кафедра «Техносферная безопасность»

 

Составитель: Шадрин Роберт Олегович, к.т.н., доцент

 

 

Методические указания составлены на основании федерального государственного образовательного стандарта высшего образования и утверждена на заседании кафедры

 

Протокол от 15 мая 2018 г. №____________________

 

Заведующийкафедрой                         __________________ Б.В.Севастьянов

 

                                                  _______________________________2018 г.

 

 

СОГЛАСОВАНО

 

Председатель учебно-методического совета по направлению 20.03.01 "Техносферная безопасность"

профили: "Безопасность технологических процессов и производств",

            "Защита в чрезвычайных ситуациях",

            "Инженерная защита окружающей среды"

__________________ Б.В.Севастьянов

 

                                                  _______________________________2018 г.

 

 

Начальник учебно-инженерного отдела                ____________ Н.В.Гайдай

 

_________________________________2017 г.

 

Содержание

Раздел 1. Решение типовых задач
1.1. Вычисление показателей надежности невосстанавливаемых систем	4
1.2. Определение показателей надежности восстанавливаемых изделий	8
1.3. Экспоненциальный закон распределения отказов	12
1.4. Распределение Вейбулла и нормальный закон распределения	14
1.5. Надежность сложных систем с последовательным соединением элементов	18
1.6. Надежность систем с параллельным соединением элементов	22
1.7. Расчет показателей надежности резервированных изделий	26
1.8. Способы преобразования сложных структур	32
1.9. Статистический выборочный контроль надежности	36
1.10. Оценка надежности технических устройств по результатам их испытаний	41
Раздел 2. Организация самостоятельной работы студента	50
2.1. Поиск научной информации в библиотеке	50
2.2. Интернет в самостоятельной работе	63
2.3. Рекомендуемые журналы для самостоятельной работы	68
Литература	69
Приложения	70

 

 

Раздел 1. Решение типовых задач

Все задачи по представленным ниже темам решаются на практических занятиях, задачи для самостоятельного решения рассматриваются студентом дома и после проверяются преподавателем на практическом занятиях.

Примеры решения задач

Задача 1.1. На испытание было поставлено 500 однотипных изделий. За первые 3000 ч отказало 40 изделий, а за интервал времени 3000... 4000 ч отказало еще 25 изделий. Требуется определить вероятность безотказной работы и вероятность отказа за 3000 и 4000 ч работы. Вычислить плотность и интенсивность отказов изделий в промежутке времени 3000...4000 ч.

Решение.

Вероятность безотказной работы

P( 3000 ) =  =  = 0,92,

где N( 3000 ) =  - å  = 500 - 40 = 4 60

P( 4000 ) =  =  = 0,87,

где N( 4000 ) =  - å  = 500 - ( 40+25 ) = 435

    Вероятность отказа

Q( 3000 ) =  =  = 0,08,

 

Q( 4000 ) =  =  = 0,13,

 

Плотность вероятности отказов в интервале 3000 … 4000 ч

f ( ) =   =  = 0,00005 ( 1 / ч)

Интенсивность отказов в интервале 3000 … 4000 ч

l(t) =  =  = 0,000056 ( 1 / ч)

где N(t) =   =  = 447,5.

 

Задача 1.2. На испытание поставлено 400 изделий. За 3000 часов отка­зало 200 изделий, за следующие 100 часов отказало еще 100 изделий. Опре­делить Р(3000), Р(3100), Р(3050), f(3050), l(3050)

Решение.

Вероятность безотказной работы в течение 3000, 3100 и 3050 ч

Задача 1.3. Допустим, что на испытание поставлено 1 000 однотипных элек­тронных ламп типа 6Ж4. За первые 3 000 час отказало 80 ламп. За интервал времени 3000—4 000 час отказало еще 50 ламп. Требуется определить часто­ту и интенсивность отказов ламп в промежутке времени 3 000—4 000 час. Ответ: f ( 3500) = 5*10^-31/час; λ(3500) = 5,6*10^-51/час.

 

Задача 1.4. Используя данные задачи 1.1, определить вероятность безотказ­ной работы и вероятность отказа электронных ламп за первые 3 000 час. Ответ: Р(3000) = 0,92; Q(3000) = 0,08.

Задача 1.5. Используя данные задачи 1.1, найти вероятность безотказной ра­боты и вероятность отказа электронных ламп за время 4 000 час.

Ответ: Р(4000) = 0,87; Q (4000) = 0,13.

Задача 1.6. На испытание поставлено 100 однотипных изделий. За 4 000 час отказало 50 изделий. За интервал времени 4000—4100 час отказало еще 20 изделий. Требуется определить частоту и интенсивность отказов изделий в

промежутке времени 4 000—4 100 час.

Ответ: f (4050) = 2*10^-3 1/час; λ (4050) =5*10^-3 1/час

Задача 1.7. Используя данные задачи 1.6, определить вероятность безотказ­ной работы и вероятность отказа изделий за первые 4 000 час.

Ответ: Р(4 000) = 0,5; Q(4000) = 0,5.

Задача 1.8. Используя данные задачи 1.6, вычислить вероятность безотказной работы и вероятность отказа изделий за время 4100 час.

О т в е т: Р(4100) = 0,3; Q(4 100) = 0,7.

Задача 1.9. В течение 1000 час из 10 гироскопов отказало 2. За интервал вре­мени 1000—1100 час отказал еще один гироскоп. Требуется найти частоту и интенсивность отказов гироскопов в промежутке времени 1000—1100 час. Ответ: f (1050) = 10^-3 1/час; λ (1 050) = 1,3*10^-3 1/час.

Задача 1.10. На испытание поставлено 400 резисторов. За время наработки 10000 час отказало 4 резистора. За последующие 1000 час отказал еще 1 ре­зистор. Определить частоту и интенсивность отказов резисторов в промежут­ке времени 10000—11000 час.

Ответ: f ( 10500) = 0,25*10^-5 1/час; λ (10500) = 0,253 •10^-5 1/час.

Задача 1.11. Используя данные задачи 1.10, найти вероятность безотказной работы и вероятность отказа резисторов за время 10 000 час.

Ответ: Р(10000) = 0,99; Q(10000) = 0,01.

Задача 1.12. На испытание поставлено N0 изделий. За время t час вышло из строя n(t) штук изделий. За последующий интервал времени Δt вышло из строя n(Δt) изделий. Необходимо вычислить вероятность безотказной работы за время t и t+Δt, частоту отказов и интенсивность отказов на интервале Δt. Исходные данные для решения задачи и ответы приведены в табл. 1.

 

Таблица 1

Исходные данные к задаче 1.12

 

№№ п/п	N0	t	Δt	n(t)	n(At)
1	400	3000	100	200	100
2	1000	3000	1000	80	50
3	100	8 000	100	50	10
4	10	1 000	100	3	2

 

5	10	1000	100	3	1
6	I 000	0	1000	0	20
7	1000	1000	1000	20	25
8	1000	2 000	1000	45	35
9	1000	0	100	0	50
10	45	75	5	44	1

 

Задача 1.13. На испытание поставлено 5 невосстанавливаемых изделий. Пер­вое проработало 215 час, второе - 250 час, третье - 280 час, четвертое - 230 час, пятое - 202 час. Определить среднюю наработку до отказа.

Задача 1.14. Определить среднее время безотказной работы 10 осветительных ламп, если время непрерывной работы каждой из них составило

Таблица 2

Данные к задаче 1.14

 

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
980	1050	1028	1012	995	986	1020	990	1018	1005

 

Примеры решения задач

Задача 2.1. В течение некоторого периода времени производилось наблюде­ние за работой технологической линии по выработке сливочного масла. За весь период наблюдений было зарегистрировано 15 отказов. До начала наблюдений линия проработала 258 ч, к концу наблюдения наработка линии составила 1233 ч. Требуется определить среднюю наработку на отказ Т0.

Задача 2.2. Производилось наблюдение за работой трех экземпляров одно­типной аппаратуры. За период наблюдений было зафиксировано по первому экземпляру аппаратуры 6 отказов, по второму и по третьему - 11 и 8 отказов соответственно. Наработка первого экземпляра составила 181 ч, второго -

329 ч, третьего - 245 ч. Требуется определить наработку аппаратуры на от­каз.

 

 

 

 

Задача 2.3. За наблюдаемый период эксплуатации в аппаратуре бы­ло зафиксировано 8 отказов. Время восстановления составило:

= 12 мин       = 23 мин          = 15 мин        = 9 мин

= 17 мин      = 28 мин          = 25 мин         = 31 мин

Требуется определить среднее время восстановления аппаратуры.

 

Решение.

Среднее время восстановления равно

 

Задача 2.4. В течение времени Δt производилось наблюдение за восстанавли­ваемым изделием и было зафиксировано n(Δt) отказов. До начала наблюде­ния изделие проработало t1 [час], общее время наработки к концу наблюде­ния составило t2 [час]. Найти наработку на отказ. Исходные данные для ре­шения в табл. 3.

Таблица 3

Исходные данные к задаче 2.4

 

№№ п/п			n(Δt)
1	350	1280	15
2	400	1600	3
3	I 000	6 400	9
4	770	4 800	7
5	I 200	5 558	2
6	300	540	12
7	540	1 200	5
8	300	3 200	8
9	12	184	16
10	570	2 000	27

 

 

Задача 2.5. В течение некоторого времени проводилось наблюдение за рабо­той No экземпляров восстанавливаемых изделий. Каждый из образцов прора­ботал ti [час] и имел ni отказов. Требуется определить наработку на отказ по данным наблюдения за работой всех изделий.

Таблица 4

Исходные данные к задаче 2.5

№№ п/п
1	1	300	3	600	2	400	—	—
2	3	90	6	270	4	140	5	230
3	12	960	15	1 112	8	808	7	1490
4	6	144	5	125	3	80	8	176
5	8	176	5	150	4	112	8	216
6	6	144	5	125	3	80	—	—
7	10	1020	18	2 700	26	3 120	32	4000
8	32	4 000	24	3 480	16	2 080	—	—
9	10	1020	26	3 120	24	3 480	18	2700
10	18	2 700	32	4000	24	3 480	16	2080
11	3	720	4	1 040	2	500	6	1800
12	1	300	3	600	6	2 300	7	2450
13	5	1500	8	1920	3	180	4	680
14	3	1650	2	1 200	4	2 300	—
15	5	72	4	60	7	92	8	96

 

Задача 2.6. В период наблюдения за работой устройства имели место 5 отка­зов. Время работы до 1-го отказа составили 250 час, между первым и вторым

- 220 час, между 2-м и 3-м - 215 час, между 3-м и 4-м - 205 час, между 4-м и 5-м - 195 час. Время восстановления после каждого отказа составило соот­ветственно 2; 1,6; 1,2; 1,8 и 1,5 час. Определить коэффициент готовности устройства за период наблюдения.

Задача 2.7. Определить коэффициент технического использования устрой­ства, если за рассматриваемый период суммарная наработка изделия соста­вила 2560 час, суммарное время, затраченное на восстановление - 210 час, на ремонт - 120 час и техническое обслуживание - 40 час.

Задача 2.8. За весь период наблюдений работы устройства было зарегистри­ровано 24 отказа. До начала наблюдений устройство проработала 120 ч, к концу наблюдения наработка составила 2540 ч. Суммарное время восстанов­ления работоспособности устройства после отказов составило 1260 час. Определить коэффициент готовности устройства.

 

Задача 2.9. Определить коэффициент технического использования устрой­ства, если до начала наблюдений устройство проработала 310 час, к концу

наблюдения наработка составила 3810 ч., суммарное время, затраченное на

восстановление - 330 час, на ремонт - 215 час и техническое обслуживание - 70 час.

 

Задача 2.10. Суммарная наработка изделия составила за период наблюдений 580 час, суммарное время восстановления после 5 отказов - 20 час, время, за­траченное на ремонт - 15 час, на техобслуживание - 8 час. Определить коэф­фициенты готовности и технического использования.

 

Примеры решения задач

Задача 4.1. Время безотказной работы устройства подчиняется закону Вей- булла с параметрами α = 1,5, λо = 10^-4 1/час, а время его работы t = 100 час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности такого устройства.

Решение

    Значение гамма-функции Г(1,67) = 0,90330 определяем по табл. П.1

 

 

Задача 4.2. Вероятность безотказной работы гироскопа в течение t =150 час

равна 0,9. Время исправной работы подчинено закону Вейбулла с парамет­ром α = 2,6. Необходимо определить интенсивность отказов, частоту отказов гироскопов для t =150 час и среднюю наработку до первого отказа.

 

Решение

Значение гамма-функции Г(1,38) = 0,88854 определяем по табл. П.1

 

Задача 4.3. Время исправной работы скоростных шарикоподшипников под­чинено закону Вейбулла с параметрами α = 2,6, λо = 1,65-10^-7 1/час. Необхо­димо найти вероятность безотказной работы, частоту отказов, интенсивность отказов шарикоподшипника в течение 150 час. Вычислить среднюю наработ­ку до первого отказа шарикоподшипников

 

Задача 4.4. Наработка до отказа вилки выключения сцепления имеет распре­деление Вейбулла с параметром α = 1,5. Вероятность безотказной работы вилки в течение наработки 200 часов равна 0,95. Определить интенсивность отказов и среднюю наработку до отказа.

 

Задача 4.5. Наработка до отказа партии подшипников имеет распределение Вейбулла с параметром α = 1,8. Вероятность безотказной работы партии подшипников в течение наработки t = 100 часов равна 0,95. Определить ин­тенсивность отказов в период времени 100 часов и среднюю наработку до первого отказа.

 

Задача 4.6. Определить вероятность безотказной работы, частоту отказов и интенсивность отказов изделия за 200 часов работы, если его надежность подчиняется нормальному закону распределения с параметрами Тср = 1600 час, о = 1000 час.

Решение

Определяем величину

По табл. П2 определяем F(t) = Q(t) = 0,08, P(t) = 0,92.

Тогда, частота отказов

Интенсивность отказов

Задача 4.7. Время безотказной работы гальванической батареи постоянного тока имеет нормальное распределение с математическим ожиданием Тср = 30 час и среднеквадратическим отклонением σ = 4 час. Определить какова веро-ятность безотказной работы батареи в течение 25 часов. Когда необходимо заменить батарею, чтобы гарантировать, что вероятность появления отказа до момента замены не превысит 5%.

 

Решение

Определяем величину

      По табл. П2 F(t) = Q(t) = 0,106, а P(t) = 0,894;

      При вероятности отказа Q(t) = 0,05 находим по табл. П2 u = -1,65

      Тогда время работы батареи до ее замены с вероятностью отказа < 5%

t = Tcp + σu = 30 + 4(-1,65)= 23,4 (часа)

 

Задача 4.8. Два блока предохранителей с нормальным распределением нара­ботки до отказа имеют значения средней наработки Тср1 = 600 час. и Тср2 = 1200 час, среднеквадратические отклонения = 50 час и  = 250 час. Срав­нить надежность изделий по показателям вероятности безотказной работы и средней наработки до отказа в течение 600 час.

 

Решение

Задача 4.9. Подшипники коробки переключения передач автомобиля имеют нормальное распределение наработки до отказа с параметрами Тср = 1200 час, σ = 250 час. В течение какой наработки подшипник будет функционировать с надежностью P(t) = 0,95.

 

Решение

F(t) = Q(t) =0,05; По табл. П2 находим u = -1,65
t = Tcp + ou = 1200 + 250-(-1,65) = 787,5 (часа)

 

 

Задача 4.10. Определить интенсивность отказов изделия в момент времени t =

500 час, если оно имеет нормальный закон распределения наработки до отка­за с параметрами Т_ср = 1000 час, σ = 250 час.

Решение

Соединением элементов

 

Пусть система состоит из n последовательно соединенных элементов, вероятности безотказной работы которых обозначим через p₁(t), p₂ (t),..., pn(t). Так как элементы, входящие в состав системы, являются независимыми, то вероятность безотказной работы системы определяется как произведение вероятностей составляющих её элементов

Если вероятности р1(t), р1(t),...., рn(t)близки к 1, то для вычисления

р_с(t) удобно применять приближенную формулу

где q i (t) = 1 - p i (t).

Если элементы равнонадежны, т.е. р₁(t) = р₂(t) =  ... = р_n(t) = р(t), то

где n - число элементов.

Интенсивность отказов системы равна сумме интенсивностей отказов ее элементов

В частном случае, когда функции надёжности составляющих элементов имеют экспоненциальное распределение с постоянными интенсивностями отказов, функция надёжности системы определяется по формуле

Одной из важнейших характеристик безотказности системы является среднее время жизни. Для случая экспоненциального распределения среднее время жизни системы равно

 

Частота отказов системы с последовательным соединением элементов

Примеры решения задач

Задача 5.1. Система состоит из пяти блоков. Отказ одного из них ведет к от­казу системы. Надежность блоков характеризуется вероятностью безотказ­ной работы в течение времени t, которая равна p₁(t) = 0,98; p₂(t) = 0,99; p₃(t) = 0,97; p4(t) = 0,985; p5(t) = 0,975. Требуется определить вероятность безотказ­ной работы системы.

Решение

Вероятности р₁, р₂,...., р₅ близки к 1, поэтому вычислить р_с(t) удобно

применив приближенную формулу (5.2)

       Вычислим предварительно qi: q1 = 0,02; q2 = 0,01; q3 = 0,03; q4 = 0,015; q5 = 0,025

р с (t) = 1 - ( 0, 02 + 0, 01 + 0, 03 + 0, 015 + 0, 025 ) = 0, 9

 

Задача 5.2. Система состоит из 12600 элементов, отказ каждого из которых ведет к отказу системы. Средняя интенсивность отказов элементов равна 0,32-10^-6 1/ч. Необходимо определить среднюю наработку до отказа, частоту отказов и вероятность безотказной работы системы в течение 50 ч.

Решение

    Интенсивность отказов системы вычисляем следующим образом

тогда

Задача 5.3. Система состоит из трех устройств. Интенсивность отказов пер­вого устройства равна Х₁ = 0,16-10^-3 1/ч = must. Интенсивности отказов двух других устройств линейно зависят от времени и определяются следующими формулами

l2 = 0,23× t 1/ч; l3 = 0,06× t 1/ч.

 

 

Необходимо рассчитать вероятность безотказной работы си­стемы в течение 100 часов.

 

Решение.

Определяем интенсивность отказов системы

lс = l1 + l2 + l3 = 0,16×  + 0,23× ×100 + 0,06× ×100 =

= 0,00016 +0,0023 + 0,000006 = 0,2466×  (1/час).

    Вероятность безотказной работы в течение 100 часов

 

Задача 5.4. Система состоит из двух устройств. Вероятности безотказной ра­боты каждого из устройств в течение 100 часов равны р1 = 0,95; р2 = 0,97. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Необходимо найти сред­нюю наработку до первого отказа системы.

Решение.

    Определяем вероятность безотказной работы системы

Рс(100) = 0,95*0,97 = 0,92.

    Определим интенсивность отказов системы

    Наработка системы до отказа

 

Задача 5.5. Вероятность безотказной работы одного элемента в течение вре­мени t равна р(t) = 0,9997. Требуется определить вероятность безотказной ра­боты системы, состоящей из 100 таких элементов.

Решение.

Вероятность безотказной работы системы

 

Задача 5.6. Вероятность безотказной работы системы в течение времени t равна 0,95. Система состоит из 120 равнонадежных элементов. Необходимо найти вероятность безотказной работы элемента.

Решение

    Вероятность безотказной работы элемента

 

 

Задача 5.7. При проектировании системы предполагается, что сложность ее

не должна превышать Nc = 2500 элементов. Необходимо при обсуждении проекта технического задания определить, может ли быть спроектирована система, к которой предъявлено требование Тср.с = 120 ч.

 

Решение

Определим интенсивность отказов системы

Определим интенсивность отказов одного элемента

Определим вероятность безотказной работы одного элемента в течение 120 часов

Обеспечить такую высокую вероятность безотказной работы элемента весьма затруднительно. Поэтому следует либо уменьшить количество эле­ментов системы, либо среднюю наработку до отказа.

Задача 5.8. В системе 2500 элементов и вероятность безотказной работы ее в течение 1 ч составляет 98%. Предполагается, что все элементы равнонадеж­ные. Требуется вычислить среднюю наработку до первого отказа системы интенсивность отказов элементов и частоту отказов.

Решение

Определим интенсивность отказов системы

 

 

Задача 5.9. Система состоит из 6200 элементов, отказ каждого из которых ве­дет к отказу системы. Средняя интенсивность отказов элементов равна

0,14-10^-4 1/ч. Необходимо определить среднюю наработку до отказа, частоту отказов и вероятность безотказной работы системы в течение 120 ч.

Задача 5.10. Система состоит из четырех устройств. Вероятности безотказной работы каждого из устройств в течение 120 часов равны  = 0,95;  = 0,97;  = 0,90;  = 0,87. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Необ­ходимо найти среднюю наработку до первого отказа системы.

Примеры решения задач

 

Задача 6.1. Устройство состоит из 3-х параллельно соединенных элементов вероятности безотказной работы которых равны  = 0,90,  = 0,92,  = 0,89. Определить вероятность безотказной работы устройства, при условии, что отказы элементов статистически независимы

 

Решение.

Р = 1- (1 – 0,9)(1 – 0,92)(1 – 0,89) = 0,999

 

Задача 6.2. Предохранительное устройство, обеспечивающее безопасность работы системы под давлением, состоит из трех дублирующих друг друга клапанов. Надежность каждого из них р = 0,9. Клапаны независимы в смысле надежности. Найти надежность устройства.

 

Решение.

По формуле Р=1- =0,999.

 

Задача 6.3. Два одинаковых вентилятора в системе очистки отходящих газов работают параллельно, причем если один из них выходит из строя, то другой способен работать при полной системной нагрузке без изменения своих надежностных характеристик. Требуется найти безотказность системы в те­чение 400 ч при условии, что интенсивности отказов двигателей вентилято­ров постоянны и равны λ = 0,0005 ч^-1, отказы двигателей статистически неза­висимы и оба вентилятора начинают работать в момент времени t = 0. Опре­
делить интенсивность отказов системы, частоту отказов и среднюю наработ­ку до отказа.

 

Решение.

Задача 6.4. Устройство состоит из 5 параллельно соединенных элементов, обладающих интенсивностью отказов l0 = 0,001 1/ч. Определить интенсив­ность отказов устройства в течение 1000 часов, среднее время безотказной работы, вероятность безотказной работы и частоту отказов.

Решение.

Интенсивность отказов системы из 5 параллельно работающих элемен-

тов

 

Задача 6.5. Система состоит из 3-х параллельно соединенных элементов с ин­тенсивностями отказов равными l1 = 0,001, l2 = 0,005, l3 = 0,003 1/ч. Опре­делить вероятность безотказной работы системы в течение 500 ч и среднее время работы до отказа.

 

 

Задача 6.6. Система состоит из 4-х параллельно соединенных элементов об­ладающих интенсивностью отказов l0 = 0,002 1/час. Определить интенсив­ность отказов устройства в течение 5000 часов, вероятность безотказной ра­боты, частоту отказов и среднее время безотказной работы.

 

Задача 6.7. Система состоит из 3-х параллельно соединенных элементов, ве­роятности безотказной работы которых в течение 500 часов 0,95; 0,92; 0,88. Справедлив экспоненциальный закон распределения отказов. Определить ве­роятность безотказной работы системы, интенсивности отказов элементов и среднюю наработку системы до отказа

 

Задача 6.8. Устройство состоит из 3 параллельно соединенных элементов, обладающих интенсивностью отказов l0 = 0,0017 1/ч. Определить интенсив­ность отказов устройства в течение 500 часов, среднее время безотказной ра­боты, вероятность безотказной работы и частоту отказов.

 

Задача 6.9. Система состоит из 4-х параллельно соединенных элементов с ин­тенсивностями отказов равными l1 = 0,002, l2 = 0,003, l3 = 0,0035, l4  =  0,0015 1/ч. Определить вероятность безотказной работы системы в течение 800 ч и среднее время работы до отказа.

 

Задача 6.10. Техническое устройство состоит из пяти дублирующих друг друга блоков. Надежность каждого из них р = 0,95. Блоки независимы в смысле надежности. Найти надежность устройства.

 

Примеры решения задач

Задача 7.1. Дана система, схема расчета которой приведена на рис. 3. Необ-ходимо найти вероятность безотказной работы системы при известных веро-ятностях безотказной работы ее элементов (значения вероятностей указаны на рис. 2)

Рис.3. Структурная схема надежности резервированной системы

 

Решение.

    Из рис.3 видно, что система состоит из двух неравнонадежных

устройств – 1 и 2. Устройство 1 состоит из 4-х узлов:

    А – дублированный узел с постоянно включенным резервом, причем каждая часть узла состоит из трех последовательно соединенных элементов;    Б – дублированный узел по способу замещения;

    В – узел с одним нерезервированным элементом;

    Г – резервированный узел с кратностью m = 1/2.

 

           Устройство 2 представляет собой нерезервированное устройство, на-дежность которого равна 0,9. Так как устройства неравнонадежны, то веро-ятность безотказной работы всей системы

Рс(t) = 1 – [1 – Р1(t)][1 – Р2(t)].

    Вероятность безотказной работы устройства 1 равна произведению ве-роятностей безотказной работы всех его узлов, т.к. они соединены последо-вательно

Р1(t) = РАРБРВРГ.

    В узле А используется общее резервирование с кратностью m = 1. При этом число элементов основной и резервной цепей n = 3. Следовательно

РА = 1 – [1 – (t)  = 1 – [1 –  = 0,927.

    В узле Б кратность резервирования замещением m = 1, тогда вероят-ность безотказной работы узла Б определяется как

= 0,9(1 + 0,105) = 0,994,

где  = pi(t) = 0,9; λ0t = - ln [ p i (t)]= 0,105.

    В узле Г применено резервирование с дробной кратностью, когда число основных систем n = 2, а общее число основных и резервных систем n + m = 3, тогда вероятность безотказной работы этого узла определяем по табл.1

 

Задача 7.2. Система электроснабжения состоит из четырех генераторов, но-минальная мощность каждого из которых W=18 КВт. Безаварийная работа еще возможна, если система электроснабжения может обеспечить потребите-ля мощностью 30 КВт. Необходимо определить вероятность безотказной ра-боты системы электроснабжения в течение времени t = 600 час, если интен-сивность отказов каждого из генераторов λ= 0,15.10-3 1/час.

 

Решение.

    Мощности двух генераторов достаточно для питания потребителей, так как их суммарная мощность составляет 36 КВт, а по условию задачи доста-точно лишь 30 КВт. Это значит, что отказ системы электроснабжения еще не наступит, если откажут один или два любых генератора. Здесь имеет место случай резервирования с дробной кратностью, когда общее число устройств n + m = 4, число устройств, необходимых для нормальной работы (основных) n = 2, а кратность резервирования 2/2

 

Задача 7.3. Схема расчета надежности приведена на рис. 4. Необходимо найти вероятность безотказной работы изделия, если известны вероятности отказов элементов.

Рис. 4. Схема надежности к зад. 7.3

Ответ: Рс = 1 - [l - (l – q1) (1 – q2)]3 = 0,997.

 

Задача 7.4. Схема расчета надежности показана на рис. 5, где приведены дан-ные о вероятностях безотказной работы элементов. Требуется определить ве-роятность безотказной работы Рс и вероятность отказа Qc изделия.

 

Рис. 5. Схема надежности к зад. 7.4

 

 

Задача 7.5. Схема расчета надежности показана на рис. 6, на котором приве-дены вероятности безотказной работы элементов. Требуется вычислить веро-ятность безотказной работы изделия.

Рис. 6. Схема надежности к зад. 7.5

 

Ответ: Рс = 1 – (1 – р1р2)(1 – р3р4) = 0,944

 

Задача 7.6. Схема расчета надежности показана на рис. 7. Необходимо найти по известным вероятностям отказов элементов q1 и q2 вероятность безотказ-ной работы изделия.

Рис. 7. Схема надежности к зад 7.6

 

Ответ: Рс = (1 – )(1 – ) = 0,95

 

1.8. Способы преобразования сложных структур

    Самыми распространенными в инженерной практике являются расче-ты, основанные на использовании параллельно-последовательных структур.

Однако не всегда условие работоспособности можно непосредственно пред-ставить параллельно-последовательной структурой. В этом случае можно сложную структуру заменить ее эквивалентной параллельно-последо-вательной структурой. К таким преобразованиям относится:

    - преобразование с эквивалентной заменой треугольника на звезду и обратно;

    - разложение сложной структуры по базовому элементу.

 

    Существо способа преобразования с помощью эквивалентной замены треугольника на звезду и обратно заключается в том, что узел сложной кон-фигурации заменяется на узел другой, более простой конфигурации, но при этом подбираются такие характеристики нового узла, чтобы надежности пре-образуемой цепи сохранялись прежними.

    Пу