Общее уравнение динамики системы

При идеальных голономных удерживающих связях, наложенных на систему, имеет место общее уравнение динамики:

(79)

или

( 80)

уравнение (79) можно переписать в виде

(81)

т. е. при движении системы с идеальными голономными удерживающими связями сумма элементарных работ активных сил и сил инерции равна нулю на всяком воз­можном перемещении систе­мы из любого ее положения.

Работу сил инерции твер­дого тела, вращающегося во­круг неподвижной оси, при элементарном повороте δφ вокруг оси вращения опре­деляют формулой

, (82)

где J_z - момент инерции тела относительно оси враще-ния. В случае наличия сил трения их нужно причислять к активным силам.

Пример 1. (рис. 567). Центробежный тахометр со­стоит из двух точечных масс А и В, соединенных между собой стерж-нем, муфты С, скрепленной с массой А с по­мощью стержня АС и спиральной пружины. Стержень АВ может поворачивать-ся вокруг оси О, перпендикуляр­ной оси тахометра O ₁ O ₂. При отсутствии вращения стер­жень АВ образует с осью тахометра угол φ ₀. Опреде­лить зависимость угловой скорости тахометра от угла φ, если масса т_А = т_В = т, а масса муфты равна m ₁. Жест­кость спиральной пружины принять равной с и считать

ОА = OВ = АС = l. Массой стержней и трением пренебречь.

Решение. Система состоит из точечных масс A и В и муф-ты С. Активными силами являются веса и упругие силы

пружины, момент последних M _упр = C(φ – φ ₀). Приложим условно к точкам системы силы инерции:

Pис. 567 Так как , а в силу равномерности вращения, то , т. е.

a_A = ω ² l sin φ.

Таким образом,

F_Aи = F_Ви = mω ² l sin φ.

При этом силы инерции являются центробежными и направлены перпендикулярно оси вращения.

Если не пренебрегать размерами муфты, то к каждой частице муфты будет приложена сила инерции , также являющаяся центро­бежной. Приложив силы инерции, сооб-щим системе возможное пере­мещение δφ, повернув мысленно стержень АВ вокруг точки О в плоскости рисунка. Определим элементарную работу задаваемых сил и сил инерции.

При повороте твердого тела . Обозначая Р_А = Р_В = P = тg - веса грузов, получим:

; ;

; .

Работа упругих сил /

Работу веса муфты С найдемпо формуле

,

где δz - изменение расстояния муфты от точки О.

Так как z = l cos φ, то и, следовательно, .

Работа сил инерции на возможном перемещении равна

нулю, так как эти силы перпендикулярны элементарным пере-мещениям. Таким образом, согласно (81)

.

Подставив найденные значения, получим

,

отсюда

Пример 2. Система состоит из четырех масс m ₁, m ₂, т ₃, т ₄, соеди-ненных попарно и подвешенных с помощью блоков А, В, С (рис. 568). Определить, при каком соотношении масс груз с массой т ₄ будет оста-ваться на месте, если в начальный момент система на­ходилась в покое. Массой блоков, ни­тей и трением пренебречь.

Решение. Система имеет три степени сво­боды. Обозначим абсо-лютные координаты гру­зов через y ₁,

Рис.568 у ₂, у ₃, у ₄. Активными силами

являются веса. Согласно уравнению (80)

.

Установим зависимость между перемещениями δ y ₁, δу ₂, δу ₃, δу ₄. для чего составим уравнения связей. Так как все нити предполага­ются нерастяжимыми, то, обозначая через L ₁, L ₂, L ₃ длины нитей, получим

y ₁- s ₁+ у ₂ - s ₁ + πr_A = L ₁; s ₁+ s ₂ + π_B = L ₂; у ₃ - s₂ + у ₄ - s ₂ + πr_C = L ₃.

Умножая второе уравнение на 2 и складывая все три уравнения (чтобы исключить s ₁ и s ₂), получим

y ₁ + у ₂ + у ₃ + у ₄ = 2 L ₂ - 2 πr_B + L ₁ + πr_A+ L ₃ - πr_C = const.

(поскольку система имеет три степени свободы, это единст-венное уравнение связи). Варьируя, найдем δ y ₁+ δу ₂+ δу ₃+ δу ₄= 0, а дважды дифференцируя по времени, получим

a _l + a ₂ + a ₃ + a ₄ = 0.

Заменяя δy ₄ его выражением через δ y ₁, δу ₂, δу ₃,получим

[ m ₁(a ₁ - g) - m ₄(a ₄ - g)]δ y ₁ + [ m ₂(a ₂ - g) - m ₄(a ₄ - g)] δу ₂ +

+[ m ₃(a ₃ - g) - m ₄(a ₄ - g)] δу ₃ = 0.

Так как вариации δy ₁, δу ₂, δу ₃ взаимно независимы, то коэффи­циенты при них должны быть равны пулю, отсюда

m ₁(a ₁ - g) = m ₄(a ₄ - g);

m ₂(a ₂ - g) = m ₄(a ₄ - g);

m ₃(a ₃ - g) = m ₄(a ₄ - g).

Умножая эти равенства соответственно на т ₂ т ₃, т ₁ m ₃, т ₁ т ₂ и складывая, получим

.

Для того чтобы груз массой т ₄ при отсутствии начальной ско­рости не двигался, необходимо, чтобы a ₄ = 0, т. е.

.

Разделив обе части этого соотношения на т ₁ т ₂ т ₃, можем пред­ставить его в виде

.

Это и есть искомая зависимость между массами грузов.

Задачи

3.9.1*. К ведущему барабану I радиусом R подъемного механизма приложен постоянный вращающий момент М (рис. 528). Oпреде­лить модуль ускорения поднимае­мого груза А, если радиусы барабанов //

Рис. 569 и III соответственно равны r ₂ и r ₃, передаточное чи­сло z ₅ /z ₄ = u, а масса груза рав­на т,не учитывая масс вращаю­щихся частей и тросов и пренеб-регая трением в осях.

Ответ:

3.9.2*. Решить предыдущую задачу с учетом масс вращающихся частей механизма, приняв моменты инер­ции: ведущего барабана – J ₁, барабана II с зубчатым колесом – J ₂ барабана III с зубчатым колесом – J ₃.

Ответ: .

3.9.3*. На трех сплошных однородных валах (рис. 570), к каждому из которых приложен вращающий мо­мент М, находится балка массой т _2. Определить мо-дуль ускоре­ния балки, если масса каждого вала равна т ₁, а радиус равен r, считая, что между валами и балкой сколь-жение отсутствует. Трением в

Рис. 570 осях пренебречь.

Ответ: .

Определение обобщенных сил инерции в системах с одной и двумя степенями свободы

3.9.4. Могут ли элементарные работы сил инерции в общем уравнении динамики, составленном для механической системы с одной степенью свободы, иметь разные знаки? (Нет)

3.9.5. Определить обобщенную силу инерции, соответствующую обобщенной координате х ₂ (рис. 571), если сила инерции тела 1 Ф = 5 Н, переносная и относи-тельная силы инерции тела 2 соответ­ственно = 1 Н, = 8 Н. (-7,29)

3.9.6. Определить обобщенную силу инерции, соот-ветствующую обобщенной координате х ₁ (рис. 672), если сила инерции тела 1 Ф ₁ = 5 Н, переносная и тносительная силы инерции тела 2 соответ­ственно = 1 Н, = 8 Н. (-0,344)

3.9.7. Определить обобщенную силу инерции, соответствующую обобщенной координате х ₂ (рис. 573), если сила инерции тела 1 Ф ₁= 8 Н, переносная и относи-тельная силы инерции тела 2 соответ­ственно = 5 Н, = 5 Н. (-10)

Рис. 571 Рис. 572 Рис. 573

3.9.8. Определить обобщенную силу инерции, соот-ветствующую обобщенной координате х ₁ (рис. 574),если сила инерции тела 2 Ф ₁ = 4 Н, переносная и относитель-ная силы инерции тела 2 соответ­ственно =2 Н, =1 Н, переносная и отно­сительная силы инерции тела 3

соответственно = 2 Н, = 1 Н (-9)

 

 

Рис. 574 Рис. 575

3.9.10. Определить обобщенную силу инерции, соответствующую обобщенной координате φ ₁ (рис. 575), если сила инерции тела 2 Ф ₂ = 0,4 Н, перенос­ная и отно-сительная силы инерции тела 3 соот­ветственно = 0,2Н = 0,1 Н, моменты сил инерции = 0,4 Н м, = 0,1 Н·м, радиус r = 0,2 м (-0,54)