Теорема об изменении кинетической энергии твердого тела

3.6.27. К валу АВ жестко прикреплен горизон­тальный однородный стержень (рис. 487) длиной l = 2 м и массой т = 12 кг. Валу сообщена угло­вая скорость ω ₀ = 2 рад/с. Предоставленный самому себе, он остановился, сделав 20 обо­ротов. Определить момент трения в подшип­никах, считая его постоянным. (0,255)

3.6.28. Математический маятник 1 массой т и длиной l и однородный стержень 2 массой т и длиной 2 l отпускают без начальной скорости из заданных на рис. 488 положений. Укажите номер тела, скорость центра масс которого бу­дет больше в нижнем положении. (1)

Рис. 487 Рис. 488 Рис. 489

3.6.29. Тонкостенный цилиндр массой т и ради­уса R = 0,5 м катится без скольжения по гори­зонтальной плоскости (рис. 489). Определить путь, прой­денный центром С цилиндра до остановки, если в начальный момент времени угловая скорость цилиндра ω ₀ = 4 рад/с. Коэффициент трения качения δ = 0,01 м. (20,4)

3.6.30. Однородный диск массой т и радиуса r (рис.490)катится без скольжения по наклонной плос­кости вверх. В начальный момент времени скорость центра диска v ₀ = 4 м/с. Определить путь, пройденный центром С диска до останов­ки. (2,45)

Рис. 490 Рис. 491 Рис. 492

3.6.31. Тонкое кольцо радиуса r = 0,1 м (рис. 491) катится без скольжения из состояния покоя I по внутрен-ней поверхности горизонтального цилиндра радиуса R = 0,6 м. Определить скорость центра кольца в нижнем положении II. (1,57)

3.6.32. Через неподвижный блок перекинута нить к концам которой подвешены грузы массой 2 и 4 кг. Определить ускорение грузов. (3,27)

3.6.33. Грузы 1 и 2 массой m ₁= 2 кг и т ₂ = 1 кг подвешены к концам гибкой нити, перекину­той через блок (рис. 492). Определить скорость груза 1 в момент времени, когда он опустился на вы­соту h = 3 м. Движение грузов начинается из состояния покоя. (4,43)

3.6.34. Грузы 1 и 2 одинаковой массы т, соеди­ненные между собой гибкой нитью (рис. 493), движутся по горизонтальной плоскости, имея начальную скорость v ₀= 2 м/с. Определить коэффициент трения скольжения, если тела останавливают­ся, пройдя путь, равный 4 м. (5,10·10^-2)

 

Рис. 493 Рис. 494 Рис. 495

3.6.35. Одинаковые зубчатые колеса 1 и 2 массой 2 кг каждый (рис.494) приводятся в движение из состоя­ния покоя постоянным моментом пары сил М = 1 Н·м. Опре-делить угловую скорость колес после двух оборотов, если радиус инер­ции каждого из колес относительно оси вращения равен 0,2 м. (12,5)

3.6.36. Ременная передача (рис.495) начинает движе-ние из состояния покоя под действием постоянного мо-мента пары сил М = 2,5 Н·м. Моменты инерции шкивов относительно их осей враще­ния J ₂ = 2 J ₁ = 1 кг·м². Определить угловую скорость шкива 1 после трех оборо-тов, если радиусы шкивов R ₂ = 2 R ₁. (11,2)

3.6.37. Момент инерции зубчатого колеса 1 (рис. 496) отно­сительно оси вращения равен 0,1 кг·м². Общая масса рейки 2 и груза 3 равна 100 кг. Определить скорость рейки при ее перемеще­нии на расстояние х = 0,2 м, если вначале сис­тема находилась в покое. Радиус колеса r = 0,1 м. (1,89)

 

Рис. 496 Рис. 497 Рис. 498

3.6.38. Однородные цилиндрические катки 1 и 2 мас-сой 20 кг каждый (рис. 497) приводятся в движение из состояния покоя постоянным моментом пары сил М = 2 Н·м. Определить скорость осей катков при их перемеще-нии на расстоя­ние 3 м, если радиусы R ₁ = R ₂ = 0,2 м. (1)

3.6.39. Движение шкива 2 ременной передачи (рис. 498) начинается из состояния покоя под действием постоянного момента М = 0,5 Н·м. После трех оборотов одинаковые по массе и разме­рам шкивы 1 и 2 имеют угловую скорость 2 рад/с. Определить момент инерции одного шкива относительно его оси вращения. (2,36)

3.6.40. Определить скорость груза 2 (рис. 499) в момент времени, когда он опустился вниз на расстоя­ние s = 4 м, если массы грузов т ₁ = 2 кг, m ₂ = 4 кг. Система тел вначале находилась в покое. (7,23)

3.6.41. Одинаковыеблоки 1 и 2 массой т ₁ = m ₂ и радиусами R ₁ = R ₂ (рис. 500) представляющие собой однородные диски, начинают движение из состояния покоя под действием силы тя­жести. Определить скорость центра С блока 1 после того, как он опустился вниз на рассто­яние s = 1 м. (2,37)

Рис. 499 Рис. 500 Рис. 501

3.6.42*. Вагонетка А при помощи лебедки В (рис. 501)опускается по наклонной плоскости со скоростью 2 м/с.

Найти величину М постоянного тормозящего момента, который нужно приложить к барабану лебедки, чтобы после начала торможения вагонетка прошла до остановки путь 10 м. Масса вагонетки без колес равна 10,2 кг. Колеса читать сплошными однородными дисками. Радиус барабана равен 0,2 м, а его момент инерции относительно оси вращения – 0,4 кг·м². Колеса катятся по рельсам без скольжения.

Ответ: М = 251 Н·м.

3.6.43*. Груз А массой т ₁ опускается на невесомой нити, перекинутой через неподвижный блок В и намотан на барабан D, заставляя при этом колесо Е катится без скольжения по горизонтальному рельсу (рис. 502). Барабан D радиусом r жесткосвязан с колесом Е радиу-сом R их общая масса равна т ₂, а радиус инерции относительно горизонтальной оси С равен ρ. Найти скорость груза А после того, как он из состояния покоя опустился на высоту h.

Ответ: .

 

Рис. 502 Рис. 503 Рис. 504

3.6.44*. Под действием приложенного к колесу I момента М и сил тяжести звеньев механизм начинает движение из состояния покоя, показанного на рис. 503. Найти величину постоянного момента М, если в момент, когда колесо I повернулось на угол 3π/2 рад, его угловая скорость стала равной ω ₁. Колесо I -однородный диск массой 2 т и радиусом r, шатун II -однородный тонкий стержень массой т и длиной 4 r, ползун III – материаль-ная точка массой т/ 2.

Ответ:

3.6.45*. Эпициклический механизм расположен в вертикальной плоскости. Из состояния покоя (показаного на рис. 504)он приводится в движение моментом М, приложенным к кривошипу ОА. т_ОА = т, т _II = 2 т, r ₁= 2 r, r₂ = r, М = 10mgr. Найти угловую скорость кривошипа как функцию угла его поворота.

Ответ: .

3.6.46*. Колесо II радиусом r ₂ и массой m ₁, которое приводится в движение кривошипом ОА, катится без скольжения по неподвижному колесу I радиусом r, (рис. 504). Масса кривошипа т ₂. Колесо II считать однородным сплошным круглым диском, а кривошип - однородным тонким стержнем. Трением в подшипниках пренебречь. Механизм расположен в горизонтальной плоскости, . Найти угловое ускорение кривошипа, если к нему приложен постоянный вращающий момент М, а к колесу II - постоянный тормозящий момент M ₂.

Ответ:

3.6.47*. Линейка АВ эллипсографа (рис. 505) шарнир-но соединена с кривошипом ОС, который может вращать-ся вокруг оси О, а также с ползунами А и В, скользящими по прямолинейным направляющим ОА (вертикальной) и ОВ (горизонтальной). Кривошип массой m и линейку массой 2 т считать однородными тонкими стержнями. Масса каждого ползуна А и В равна 3 т, ОС = АС= СВ = а. В начальный момент α = 30° и система находится в покое. Пренебрегая трением, найти угловую скорость кривоши-па после того, как он повернулся на 60°, если к нему приложен постоянный вращающий момент М.

Ответ: .

3.6.48*. Под действием приложенного к кривошипу ОА момента М и сил тяжестизвеньев механизм начинает движение из состояния покоя, показанного на рис. 506. Найти угловую скорость кривошипа, когда он повернется на угол φ = 3 π /2. Кривошип ОА и шатун АВ считать тонки-ми однородными стержнями, колесо D - однородным диском. Колесо катится без проскальзывания, ОА =l, АВ = 4 l, r = l, m_OA = m, т_AB = 4 m, m_D = 8 m, М = 3mgl.

Ответ: ω = 1,42 .

 

Рис. 505Рис. 506

3.6.49*. Вагонетка А при помощи лебедки B начи-нает подниматься из состояния покоя по наклонной плоскости (рис. 501). К барабану лебедки приложен постоянный вращающий момент M = 120 Н·м. Масса вагонетки без колес m ₁ = 81,6 кг, масса каждого из четырех колес m ₂ = 5,1 кг, колеса считать сплошными однородными дисками, угол α = 30°, радиус барабана R = 20 см, его момент инерции относительно оси вращения J= 0,40 кг·м², колеса катятся по рельсам без скольжения. Найти зависимость скорости вагонетки от времени.

Ответ: v = 0,82 t м/с.

3.6.50*. Груз А массой m ₁, подвешенный к подвижно-му блоку В массой m ₂ начинает падение из состояния покоя, приводя в движение всю систему (рис. 507). Для стабилизации падения груза А к барабану D массой m ₃ и радиусом R прикладывается тормозящий момент, пропор-циональный угловой скорости барабана: М = kω_D. Считать барабан и блок однородными сплошными дисками. Найти максимальную скорость груза А.

Ответ: .

 

Рис.507 Рис. 508

3.6.51*. Однородный сплошной диск радиусом r = 0,5 м может катиться в вертикальной плоскости без проскальзывания по внутренней поверхности цилиндра радиусом R = 2 м. Найти период малых колебаний центра диска относительно положения его статического равновесия.

Ответ: Т = = 3 с.

3.6.52*. Линейка АВ эллипсографа массой 1,2 кг и длиной 0,4 м удерживается в горизонтальном положении статического равновесия вертикальной пружиной AD жесткостью 117,6 Н/м (рис. 508). Масса каждого из ползунов А и В равна 0,2 кг. Пренебрегая трением, найти частоту и период малых колебаний линейки около положения ее статического равновесия.

Ответ: k = 14 рад/с, Т = 0,45 с.

3.6.53*. Груз А массой 20 кг опускается вместе с подвижным блоком В массой 4 кг и радиусом r = 10 см на невесомой нити, перекинутой через неподвижный блок D радиусом r ₁= r и приводящей в движение барабан Е массой 10 кг и радиусом r ₂ = r (рис. 509). Барабан катится без скольжения по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол = 60°. Считая подвижный блок и барабан сплошными однородными дисками и пренебрегая массой блока D найти ускорение груза А.

Ответ: a = 0,76 м/с².

3.6.54*. Центр однородного диска массой m и радиусом r, катящегося без скольжения по горизонтальной плоскости, соединен с неподвижной стенкой пружиной жесткостью с = 2 mg/r. К центру диска приложена сила . В начальный момент диск покоится в положении статического равновесия. Найти движение центра диска.

Ответ: х = .

 

 

 

 

Рис. 509Рис. 510

3.6.55*. Доска АВ массой 3,5 кг, к которой прикреп-лены две одинаковые пружины жесткостью 490 Н/м каждая, лежит на двух одинаковых катках массой 2 кг (рис. 510). Пружины крепятся к неподвижным стенкам. К доске приложена возмущающая сила S = Н sin ωt, причем

H = 8 Н, а ω = 12 рад/с. Скольжение между доской и кат-ками, а также между катками и горизонтальной плоско-стью отсутствует. Найти вынужденные колебания доски.

Ответ: х = 3 sin 12 t см.

3.7. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА

Если в каждой точке движущейся механической системы условно приложить соответствующую силу инерции, то в любой момент движения действующие на эту точку активные силы (внешние и внутренние), силы реакций связей (внешних и внутренних) и сила инерции образуют уравновешенную систему сил.

Главный вектор сил инерции механической системы равен массе системы, умноженной на ускорение ее центра масс, и направлен в сторону, противоположную этому ускорению.

.

Главный момент сил инерции системы относительно точки О равен взятой с обратным знаком производной по времени от кинетического момента системы относительно того же центра.

.

Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,главный момент сил инерции равен

,

где J_z – момент инерции тела относительно оси z, ε – угловое ускорение тела.

При использовании принципа Даламбера для реше-ния задач рекомендуется следующая последовательность дей­ствий:

1) изобразить механическую систему с приложенны­ми к ней активными силами и реакциями внешних связей;

2) показать на схеме ускорение тела, движение кото­рого задано или ищется, и в зависимости от его направ­ления показать ускорения (линейные и угловые) всех остальных тел системы;

3) приложить ко всем телам системы главные векто­ры и главные моменты сил инерции, найти их значения, выразив определяющие их ускорения через заданное или искомое ускорение;

4) выбрать систему координат;

5) составить уравнения равновесия полученной си­стемы сил;

6) решить полученную систему уравнений и найти искомые величины.

Оси координат и точки, относительно которых берут-ся моменты сил, выбираются так, чтобы не подлежащие определению неизвестные силы не входили в уравнения равновесия. Если из составленных уравнений для нерас­члененной системы определить искомые величины не представляется возможным, то применяют метод расчле­нения системы на составные части. К каждой части при­кладываются активные силы (внешние и внутренние), реакции отброшенных внешних и внутренних связей и силы инерции. Составляются уравнения принципа Даламбера для каждой части, и в результате их совместно­го решения находятся искомые величины.

Пример 1. Груз М массой m ₁, опускаясь вертикально вниз, приводит в движение барабан А массой m ₂ с помощью гибкой не­растяжимой нити, перекинутой через блок О массой т ₃, (рис. 511, а). Барабан катится без проскальзывания по наклонной плоскости, со­ставляющей угол α с горизонтом. Считая блок и барабан однород­ными круглыми дисками, найти ускорение тела А и натяжения левой и правой частей нити.

Решение. Изобразив на схеме нерасчлененной системы внешние силы ( (), а так­же главные векторы и главные моменты сил инерции входящих в систему тел () получим плоскую систему сил, в три уравнения равновесия которой войдут пять неизвестных (Х_О, У_О, N, F_тр, Ф). Поэтому расчленим систему на три части (рис. 511, б) и применим к каждой из них принцип Даламбера.

Рис. 511

Главные векторы и главные моменты сил инерции тел системы равны

.

Составим уравнения равновесия вышеперечисленных сил для каждого тела:

для тела М Т₁ + Ф - Р = 0, откуда Т ₁ = т ₁(g - а);

для барабана A откуда

Т ₂ = R^Ф + G sin α + = m ₂ a + G sin α + m ₂ a/ 2= m ₂ (3 a /2 + g sin α),

для блока О откуда, подставив значения T ₁ и T ₂, окончательно получим,

 

или

 

.

Зная ускорение груза А, найдем натяжения нитей:

,

.

Задачи