Вторая основная задача динамики материальной точки

(обратная первой)

Вторая задача динамики точки заключается в том, что за­дана сила, действующая на точку, и асса точки, а требуется определить закон (уравнения) движения точки.

Дано: т, F.

Определить x = f ₁(t); y = f ₂(t); z = f ₃(t).

Эта задача решается интегрированием дифферен-циаль­ных уравнений движения точки:

После интегрирования уравнений возникают произ-вольные постоянные. Эти произвольные постоянные определяются по начальным условиям движения. Начальные условия берутся из текста задачи. С точки зрения математики начальные условия движения точки за­ключаются в том, что при заданном значении аргумента (t = t ₀)задаются значения функций x (t ₀) = x ₀, y (t ₀) = y ₀, z (t ₀) = z ₀ и их первых производных .

С точки зрения кинематики начальные условия движения точки заключаются в том, что при заданном значении времени (t = t ₀)задается по­ложение точки

x (t ₀) = x ₀; y (t ₀) = y ₀; z (t ₀) = z ₀

и скорость точки через ее проекции на оси координат:

.

В самом общем случае правые части дифференциаль­ных уравнений зависят от времени t, положе­ния точки (x, у, z) и скорости точки. Такие дифференциаль-ные уравнения интегрируются до конца только в частных случаях. Например, когда правая часть является по­стоянной величиной, либо простейшей функцией только времени, либо только расстояния, проходимого точкой, либо только ско­рости точки и др.

При решении второй основной задачи динамики материальной точки необходимо придерживаться следующей последовательности действий:

1) изобразить материальную точку в текущий момент вре­мени.

2) изобразить активные силы, действующие на точку.

3) освободить точку от связей, заменяя действие связей реакциями.

4) выбирать систему координат. Начало координат системы следует помещать в начальном положении точки и оси коорди­нат направлять так, чтобы координата точки в текущий момент и проекции скорости ее на эти оси были положительными (х >0, у >0, z >0, v_х >0, v_y >0, v_z >0).

Если точка движется по окружности, то рекомендует-ся вы­бирать оси естественной системы координат, сов-местив начало координат с текущим положением точки, и направить каса­тельную к траектории точки так, чтобы для текущего положе­ния точки естественная координата и проекция скорости точки на касательную были поло-жительными (S >0, v_τ >0). Главную нормаль нужно направить в сторону вогнутости траектории.

5) cоставить дифференциальные уравнения движения точки в выбранной системе координат. При этом следует помнить, что в полученных дифференциальных уравне-ниях проекции всех сил необходимо выразить через те переменные (t, x, у, ),от которых эти силы зависят.

6) проинтегрировать полученные дифференциальные уравнения движения точки. Способ интегрирования уравнений зависит от их вида.

Если на точку действуют, кроме постоянных сил, силы, за­висящие только от одной переменной, то чаще всего такие урав­нения решаются путем разделения переменных Иногда систему трех дифференциальных уравнений второго порядка:

выгодно заменить эквивалентной системой, состоящей из шести уравнений, но первого порядка:

.

В том случае, когда по условию задачи нужно найти ско­рость точки как функцию текущих координат ее и сила зави­сит только от этих координат или скорости точки, то из диф­ференциальных уравнений переменную t исключаем с помощью подстановок:

.

7) составить начальные условия движения по тексту задачи.

8) по начальным условиям определить произвольные посто­янные интегрирования.

9) найденные произвольные постоянные подставляем в ре­зультат интегрирования дифференциальных уравне-ний движения точки. Это и будут уравнения движения точки (закондви­жения).

Пример 1. Сила функция постоянная. На шероховатой наклонной плоскости (рис. 368) находится груз А веса Р ₁, связанный с грузом В веса Р, нитью, перекинутой через блок С. Определить закон движения грузов если вначале грузы находились в покое, коэффициент трения груза А о наклонную пло­скость равен f, угол наклона плоскости к горизонту ра­вен α

Решение. Грузы А и В можно считать материальными точ­ками, так как эти грузы движутся поступательно. При решении задачи рассматриваем движение

каждого груза в отдельности.

 

 

Рис. 368. Рис. 369

а) Движение груза

1. Изображаем груз А в текущий момент времени (рис. 369).

2. Изображаем активные силы: - вес груза, натяже-ние нити.

3. Освобождаем груз А от связей, заменяя действие связей реакциями. Связью является наклонная плоскость. Реакцию шероховатой опорной поверхности раскладываем на нормальную составляющую и касательную составляющую ( - сила тре­ния скольжения).

4. Выбираем систему координат, как указано на рис. 369.

5. Составляем дифференциальные уравнения движения точки.

Х = ∑ Х _i; Х = Р _{1 x} + T _{1 x} + F _x + N_x; X = P ₁sin α + T ₁ - F;

Y = ∑ Y _i; Y = P _{1 y}+ T _{1 y} + F_y + N_y; Y = N – P ₁cos α;

, так как направление ускорения точки А совпадает с положительным направлением оси Oх. После подста­новки найденных величин в дифференциальные уравнения дви­жения точки А, получим:

m ₁ a ₁ = P ₁sin α + T ₁ - F; 0 = N – P ₁cos α; N = P ₁cos α;

F=fN; F = fP ₁ cos α;

m ₁ a ₁ = P ₁(sin a - f cos a) + T ₁. (a)

б) Движение груза В:

1. Изображаем груз В в текущий момент времени (рис. 370).

2. Изображаем активную силу - вес груза В и

натяжение нити.

3. Выбираем систему координат, как указано на рис. 370. Достаточно выбрать одну ось Ох, так как тело движется по вертикали.

4. Составляем дифференциальное уравнение дви­жения:

Х = ∑ Х_i; Х = Р _{2 x}+ Т _{2 x} = Р ₂ - Т ₂;

Рис. 370 m ₂ a ₂ = P ₂ – T ₂. (б)

Из уравнений (а) и (б) находим ускорение грузов, имея в виду, что а ₁ = а ₂ = a, Т ₁= Т ₂ = Т;

.

Следовательно, точки А и В движутся прямолинейно и равноускоренно:

,

но v ₀ = 0, так как грузы движутся из состояния покоя; начало координат выбираем так, что x ₀ = 0. Следовательно,

Вывод. В том случае, когда на точку, участвующую в пря­молинейном движении, действуют постоянные силы, то эта точка движется равнопеременно. Ускорение равнопере-менного движения находится из дифференциальных уравнений движения. Для нахождения закона движения точки нужно найденное уско­рение подставить в кинематическую формулу пути равнопере­менного прямолинейного движения.

Пример 2. Сила - функция времени. Тело М начинает скользить по гладкой наклон­ной плоскости без начальной скорости в среде с сопротивлени­ем, равным 0,5 Ре^-kt (k – неко-торое положительное число, Р - вес тела М). Определить уравнение движения тела, если угол на­клона плоскости к горизонту α = 30° (рис. 371).

Решение. 1. Изображаем тело М в текущий момент времени (рис. 371); тело можно считать за точку, так как тело движется поступательно.

2. Изображаем активную силу - вес тела и силу - со­противление среды.

3. Освобождаем тело М от связи, заменяя действие связи нормальной реакцией (наклонная плоскость гладкая).

 

 

Рис. 371. Рис. 372

4. Выбираем систему координат, как указано на рис.372.

5. Составляем дифференциальное уравнение движения:

Х = ∑ Х_i; Х = Р_x+ R_x + N_x = Р sin α - R;

;

.

6. Интегрируем полученное дифференциальное уравнение движения точки . Это уравнение с разделяю­щимися переменными: .

После интегрирования получим:

. (a)

.

Откуда:

. (б)

7. Составляем начальные условия движения (по тексту за­дачи) для определения произвольных постоянных интегриро-ва­ния С ₁ и С _2. При t = 0 х (0) = 0, . Так как начало координат помещено в начальном положении тела М, то

x (0) = 0.

8. Начальные условия движения подставляем в уравнения (а) и (б):

1) следовательно, ;

2) следовательно,

9. Найденные С ₁ и С ₂ подставляем в результат интегрирования дифференциального уравнения движения точки, уравнение (б):

.

Задачи

Определение параметров прямолинейного движения по заданным силам

Тело движется вниз по гладкой плоскости, которая наклонена под углом α = 25° к горизонту. Определить ускорение тела. (4.15)

3.1.17. Материальная точка (рис. 373) массой т = 5 кг движется под действием сил F ₁ = 3 Н и F ₂ = 10 Н. Определить проекцию ускорения

Рис. 373 точки на ось Ох. (1,13)

3.1.18. Тело движется вниз по наклонной шерохова-той плоскости, кото­рая образует с горизонтом угол 40°. Определить ускорение тела, если коэффициент трения скольжения f = 0,3. (4,05)

3.1.19. Материальная точка массой m = 9 кг движется в пространстве под действием силы . Определить модуль ускорения точ­ки. (1,17)

3.1.20. Моторная лодка массой т = 200 кг после остановки мотора дви­жется прямолинейно, преодолевая сопротивление воды. Сила сопро­тивления R = 4 v ². Определить ускорение лодки, когда ее скорость v = 5 м/с. (-0,5)

3.1.21. Тело массой т = 12 кг движется из состояния покоя по горизон­тальной прямой под действием силы F = 0,6 t, которая направлена по той же прямой. Определить путь, пройденный телом по истечении 10 с после начала движения. (8,33)

3.1.22. Материальная точка массой т = 0,2 кг движется вдоль оси Ох под действием силы F_x = - 0,4 t. Определить скорость точки в момент времени t = 2 с, если ее начальная скорость v_{x 0} = 6 м/с. (2)

3.1.23. Определить путь, пройденный материальной точкой массой т пооси Ох за время t= 1 с, если она движется под действием силы F_x = 12 mt ². В момент времени t ₀ = 0 координата x ₀ = 3 м, скорость v ₀ = 6 м/с. (10)

3.1.24. Тело массой 1кг падает по вертикали, сила сопротивления воз­духа R = 0,03 v. Определить макси-мальную скорость падения тела. (327)

3.1.25. Материальная точка массой т = 2 кг движется по горизонталь­ной оси Ох под действием силы F_x = 5 cos 0,5 t. Определить скорость точки в момент времени t = 4 с, если при t ₀ = 0 скорость v ₀ = 0. (4,55)

3.1.26. Точка массой т движется по оси Ох под действием силы F_x = 6 т sin 2 t. В начальный момент времени скорость точки v _{0 x} = 3 м/с. Определить в уравнении ско­рости постоянную интегрирования. (6)

3.1.27. Материальная точка массой т = 7 кг из состояния покоя дви­жется по оси Ох под действием силы F_x = 7 е^t. Определить скорость точки в момент времени t = 2 с. (6,39)

3.1.28. На материальную точку массой т = 20 кг, которая движется по горизонтальной прямой, действует сила сопротивления R = 0,2 v ². За сколько секунд скорость точки уменьшится с 10 до 5 м/с? (10)

3.1.29. На материальную точку массой т = 250кг, которая движется по горизонтальной прямой, действует сила сопротивления R = 5 v ².Определить скорость точки в момент времени t = 6 с, если t = 0 ее скорость v ₀ = 20 м/с. (5,88)

3.1.30. Материальная точка массой т = 4 кг движется по горизонталь­ной прямой. Через сколько секунд скорость точки уменьшится в 10 раз, если сила сопротивления движению R = 0,8 v? (11,5)

 

Определение параметров криволинейного движения по заданным силам

3.1.31. Материальная точка массой т = 4 кг движется по криволинейной траектории под действием силы . Определить модуль ускорения точки в момент времени t = 10 с. (1,25)

3.1.32. Материальная точка (рис. 369) массой т = 2 кг движется в плоскости Оху под дейст-вием силы, проекции которой

и . Определить модуль ускорения точки в

Рис. 374момент времени t = 1 с. (2,69)

3.1.33. Материальная точка массой т = 18 кг движется в горизонтальной плоскости по криволинейной траектории под действием силы F = 25 Н. Определить радиус кривизны траектории в момент времени, когда скорость точки v = 4 м/с, а векторы скорости и силы образуют между собой угол 55°. (14,1)

3.1.34. Тело движется по горизонтальной поверх­ности и в точке А отрывается от нее. Опреде­лить минимальную скорость тела в момент от­рыва, если радиус R = 6 м. (7,67)

3.1.35. На горизонтальном диске на расстоянии 2 м от его вертикальной оси вращения находится тело. Опреде-лить угловую скорость равно­мерного вращения диска, превышение которой приведет к скольже­нию тела по диску, если коэффициент трения скольжения f = 0,3. (1,21)

3.1.36. Космическая станция движется по круговой орбите радиуса R = 7·10⁶ м вокруг Земли. Определить скорость станции в км/с, если масса Земли равна 5,976·10²⁴ кг, гравитационная постоянная равна 6,672·10^-11 Н·м/кг². (7,55)

3.1.37. Материальная точка массой т = 11 кг движет-ся по криволиней­ной траектории под действием равно-действующей силы F = 20 Н. Определить скорость точки в момент времени, когда радиус кривиз­ны траектории ρ = 15 м и угол между силой и вектором скорости равен 35°. (3,96)

3.1.38. Материальная точка массой т = 16 кг (рис.375) движется в плоскости по криволинейной траектории под действием равнодействующей силы F = 0,3 t. Определить скоростьточки в момент времени t = 20 с, когда радиус кривизны траектории ρ = 12 м и угол между векторами силы и скорости α = 50°.(1,86)

3.1.39. Определить скорость точки М конического маятника, который при длине нити ОМ = 1 м описывает конус с углом при вершине α = 45°. (2,63)

 

Рис. 375 3.1.40. Материальная точка М (рис. 376) массой т = 1,6 кг движется из состояния покоя в горизонталь­ной плоскости по окружности радиуса R = 12 м под действием силы F = 0,2 t. Опреде­лить скорость точки в момент времени Рис. 376 t = 18 с, если сила образует постоянный

угол 25° с вектором скорости. (3,38)