Пересечение прямой и плоскости

Задачу построения точек пересечения какой-нибудь линии с поверхностью (в частности, прямой и плоскости) принято называть первой основной позиционной задачей, так как алгоритм решения многих позиционных и метрических задач включают процедуру ее решения.

Построение точек L_i пересечения линии l с поверхностью R выполняется в три этапа:

1) данная линия l заключается во вспомогательную, обычно, проецирующую поверхность S: l ÌS;

2) строится линия m пересечения данной и вспомогательной поверхностей: m =RÇS;

3) отмечаются точки L_i пересечения данной и построенной линий, которые являются искомыми точками пересечения: L_i = lÇm.

Рассмотрим пример построения точки пересечения прямой l и плоскости q (DАВС) в общем случае (см. рис. 3.6).

Алгоритм построения описанный выше: 1) прямая l заключается в горизонтально проецирующую плоскость S: l Ì S;

2) обозначается линия пересечения плоскости S и q: m₁ºS₁ºl₁; строится на П2 проекция m₂ ;

3) точка L пересечения прямых l и m является искомой точкой пересечения прямой l и плоскости q, ее проекция L₂ получена при пересечении l₂ и m₂, а проекция L₁ построена с помощью линии связи.

Рассмотренный способ построения точки пересечения прямой и плоскости в общем случае называют методом секущих плоскостей или конкурирующих прямых.

Для придания чертежу большей наглядности на рис. 3.6. определена видимость прямой l относительности плоскости q. Считая плоскость непрозрачной, невидимая часть прямой изображена штриховой линией. Видимость на П₁ определена с помощью конкурирующих точек 2 и 3 (2₁º3₁), где 2Îq, а 3Îl. Точка 3 расположена выше, чем точка 2 (это мы видим на П₂,3₂ выше 2₂). Точка 3 закрывает собой точку 2, значит, часть проекции прямой l на П₁ от точки пересечения L (правее её проекции L_l), в сторону точки 3 не закрыта плоскостью и является видимой, а часть прямой левее L₁ будет невидимой.

Видимость на П₂ определяется с помощью конкурирующих точек 4,5 (4₂º5₂), где 4Îl, а 5Îq. Точка 5 лежит ближе к нам по сравнению с точкой 4, т.е. глубина проекции 5₁ больше глубины проекции 4₁ и поэтому на П₂ точка 5 заслоняет точку 4, значит, часть прямой l левее точки L, ее проекции L₂, невидимая, а часть правее L₂ видимая.

Пересечение двух плоскостей

Две плоскости в трехмерном пространстве пересекаются по прямой. Так как прямая однозначно определяется двумя точками, то для построения линии k пересечения двух плоскостей D и q достаточно определить две их общие точки М и N.

Задача решается графически просто, если хотя бы одна из пересекающихся плоскостей является проецирующей или плоскостью уровня. В этом случае одна проекция линии k совпадает с вырожденной проекцией проецирующей плоскости или плоскости уровня, а вторая проекция строится в другой заданной плоскости, из условия принадлежности прямой плоскости.

Если обе данные плоскости D и q являются проецирующими или плоскостями уровня, то возможны два варианта:

¨ плоскости D и q одновременно проецирующие, т.е. они перпендикулярны одной плоскости проекции;

¨ плоскости D и q разноименно проецирующие, т.е. перпендикулярны двум различным плоскостям проекций.

В первом случае линия k пересечения плоскости D и q также будет проецирующей. Во втором случае D и q пересекаются по прямой k; проекции k₁, k₂ которой соответственно совпадают с вырожденными проекциями плоскостей D,q (k₁ºD₁, k₂ºq₂).

Построение линии пересечения двух плоскостей общего положения можно выполнить различными приемами в зависимости от способа их задания. Однако сущность этих приемов едина: с помощью двух плоскостей посредников, обычно это плоскости частного положения, определяются две точки М и N искомой линии пересечения k. Покажем это на примере.

Пример. Построить линию пересечения k плоскостей

D (аÇв) и q (m||n) (рис. 3.7.).).

В качестве посредников выберем какие-либо две параллельные плоскости уровня Г и Г¢ (горизонтальные). Плоскости Г,Г¢ пересекают плоскость D по двум параллельным прямым, являющихся горизонталями h (h_1,h₂), h^¢¢ (h¢¢₁,h¢¢₂), плоскость q -по горизонталям h¢(h¢₁,h¢₂), h¢¢¢ (h¢¢¢₁,h¢¢¢₂). Горизонтали h и h¢, принадлежащие плоскости Г, пересекаются в точке М - общей точке трех плоскостей D,q и Г. Аналогично, прямые h¢¢,h¢¢¢ пересекаются в точке N - общей точке трех плоскостей D,q и Г¢. Точки М и N, как принадлежащие данным плоскостям D и q, определяют их линию пересечения k(k₁,k₂).

Вопросы для самопроверки к лекции 3:

1. Что решают позиционные задачи?

2. Чем определяется взаимопринадлежность точки и прямой, прямой и плоскости, точки и плоскости?

3. Назовите условие видимости двух конкурирующих точек на П₁ и на П₂.

4. В каком случае прямая параллельна плоскости?

5. Каким способом находится точка пересечения прямой и плоскости?

6. Каким способом находится линия пересечения двух плоскостей?

ЛЕКЦИЯ 4