Однопроекционного изображения

Проекционные изображения, используемые в технической документации, должны отвечать следующим основным требованиям:

¨ быть обратимыми, т.е. метрически определимыми, чтобы по ним можно было определить форму и размеры предмета и затем изготовить его;

¨ быть наглядными, т.е. такими, чтобы по ним можно было легко представить изображенный предмет;

¨ обладать относительной простотой графического выполнения.

Рассмотренный выше способ проецирования на одну плоскость проекций дает возможность решить задачу - имея предмет, найти его проекцию, но не позволяет решить обратную задачу - имея проекцию, определить форму и размеры предмета. Например, имея проекцию А¢, нельзя определить положение самой точки А в пространстве, так как неизвестно удаление её от плоскости проекций П¢.

Наличие одной проекции создаёт неопределенность изображения. Такие изображения должны содержать дополнительные данные, чтобы по ним можно было определить оригинал.

В практике нашли применение четыре способа дополнения однопроекционного изображения: проекция с числовыми отметками, “федоровские проекции”, аксонометрические проекции, комплексные проекции. Дадим некоторые пояснения названным способам.

Способ проекции с числовыми отметками основан на том, что для каждой точки предмета на плоскости проекций дополнительно указывают в скобках величину её удаления (в определенных единицах) от заданной плоскости проекций. Например, проекция точки С на плоскость П¢ - С¢ (4) обозначает, что точка С удалена от её проекции С¢, или плоскости проекций, на расстоянии 4 м (единица измерения, к примеру, метр).

Академик Е.С. Федоров предложил изображать высоты точек предмета при помощи параллельных отрезков. Начало отрезка - в проекции соответствующей точки. Длина отрезка с учетом масштаба равна высоте точки. Этот и предыдущий способы изображения находят применения в картографии, при проектировании дорог, в геологии и т.п.

Способ аксонометрического изображения заключается в проецировании предмета вместе с координатной системой, к которой он отнесен, на одну плоскость проекций. Координатные оси предмета выступают в качестве аксонометрических осей, с помощью которых и осуществляется построение проекций. Аксонометрическое изображение предмета обладает большой наглядностью, так как представляется в виде рисунка. Более подробно этот способ изображения будет рассмотрен в конце лекционного курса.

Способ комплексного проецирования основан на проецировании предмета на две или более плоскостей проекций, которые расположены взаимно перпендикулярно. Для того чтобы “увидеть” предмет при этом, необходимо мысленно соединить имеющиеся изображения. Этот способ является основным при выполнении технических чертежей. На нем мы остановимся подробно в следующей лекции.

 

Вопросы для самопроверки к лекции 1:

1. Назовите цели и задачи предмета начертательной геометрии.

2. Что входит в аппарат проецирования?

3. Назовите виды проецирования. В чем заключается их различие?

4. Изложите основные свойства параллельного проецирования.

5. Какими способами добиваются обратимости чертежа?

ЛЕКЦИЯ 2.

КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ

Образование комплексного чертежа

Изображение предмета на несколько взаимно перпендикулярных плоскостей с помощью прямоугольного проецирования впервые было систематизировано и изложено французским ученым Госпаром Монжем, поэтому такой способ иногда называют методом Монжа, а полученные чертежи - эпюрами Монжа.

Рис.2.1

При использовании двух плоскостей проекций (см. рис. 2.1.) плоскость П₁ располагается горизонтально и называется горизонтальной плоскостью проекций. Плоскость П₂ располагается вертикально перед наблюдателем и называется фронтальной плоскостью проекций. Линия пересечения этих плоскостей проекций называется осью проекций и обозначается буквой Х. Две плоскости проекций разбивают все пространство на четыре части, которые называются квадрантами. Квадранты нумеруются в порядке, указанном на рисунке.

Образование комплексного чертежа покажем на примере проецирования точки А, расположенной в первом квадранте. При этом, точка А проецируется одновременно на обе плоскости проекций. Проекция А₁ называется горизонтальной проекцией точки А, а проекция А₂ - фронтальной проекцией. Проекция точки на вторую плоскость (например, на плоскость П₂) является вторым дополнительным элементом, который позволяет теперь однозначно определить положение точки в пространстве. Если из проекций А₁ и А₂ провести проецирующие лучи, то они, будучи принадлежащими одной плоскости АА₁А_хА₂, пересекутся в одной точке.

Так как лучи АА₁ и АА₂ перпендикулярны П₁ и П₂, то, следовательно, плоскость АА₁А_хА₂ перпендикулярна обеим плоскостям проекций и, значит, их линии пересекаются, т.е. ось х, которая, в свою очередь, перпендикулярна А₁А_х и А₂А_х.

Рис.2.2

Пользоваться для изображения предметов пространственной системой взаимноперпендикулярных плоскостей проекций сложно, поэтому она приводится к плоскому виду. Для этого горизонтальная плоскость проекций вращением вниз вокруг оси х совмещается с фронтальной плоскостью проекций П₂. В результате получается комплекс двух проекций точки А на одной плоскости (см. рис. 2.2.). Полученное изображение называется комплексным чертежом точки. На чертеже прямая А₁А₂, соединяющая проекции точки А, называется линией связи. Как видно из построения две проекции точки находятся на одной линии связи, а линия связи всегда перпендикулярна к оси проекций.

Комплекс двух проекций точки однозначно определяет её положение в пространстве относительно данной системы плоскостей проекций, следовательно, для того чтобы задать точку на чертеже, необходимо и достаточно указать две её проекции.

При выполнении изображений предметов в ряде случаев возникает необходимость введения третьей плоскости проекций, перпендикулярной к двум имеющимся. Эта новая плоскость проекций обозначается П₃ и называется профильной плоскостью проекций.

а) б)   Рис.2.3

Три плоскости проекций делят пространство на восемь октантов, которые нумеруются в порядке, указанном на рис. 2.3., а.

 

В общем случае предмет может быть расположен в любом октанте. При выполнении технических чертежей предмет располагают в первом октанте, поэтому в дальнейшем будем рассматривать только этот октант.

На примере с точкой А, проецируя её ортогонально на указанные плоскости П₁,П₂ и П₃, соответственно, имеем проекции А₁,А₂ и А₃.

Для образования комплексного чертежа горизонтальную плоскость проекции П₁ вращаем вниз вокруг оси х, а профильную плоскость проекций П₃ вращаем вправо вокруг оси z до совмещения с фронтальной плоскостью проекций П₂. В результате такого совмещения образуется трехпроекционный комплексный чертеж точки А с осями x,y,z (см. рис. 2.3.б). При этом ось y продольно как бы разрезается и одна её часть совмещается с продолжением оси x, а вторая с продолжением оси z. Линия связи А₁А₃, как следствие, разрывается в точке А_у. Как известно из курса черчения средней школы, для построения недостающего участка линии связи А₁А₃ можно использовать: дугу окружности, как показано на приведенном чертеже; прямую А_уА_у1, проведенную под углом 45° к оси y; с помощью биссектрисы угла А_уОА_у1 - условно называемой постоянной прямой трехпроекционного комплексного чертежа.

Профильная проекция А₃ по двум заданным А₁ и А₂ может быть найдена без использования линии связи А₁А_3. Достаточно на линии связи А₂А₃ от оси z отложить удаление горизонтальной проекции А, от оси x, т.е. А_ZА₃=А_хА₁.

Полезно точку А₁, находящейся в квадранте или октанте, охарактеризовать её параметрами, для чего вводятся следующие термины:

высота точки - это расстояние точки от горизонтальной плоскости проекции П₁ - АА₁ (на комплексном чертеже это отрезок А₂А_х);

глубина точки - это расстояние точки от фронтальной плоскости проекции П₂ - АА₂ (на комплексном чертеже это равные отрезки А₁А_х и А₃А _Z);

ширина точки - это расстояние точки от профильной плоскости П₃-АА₃(на комплексном чертеже это отрезок А₂А_Z).

За основные свойства трехпроекционного комплексного чертежа принимаются следующие положения:

¨ две проекции точки принадлежат одной линии связи;

¨ линии связи перпендикулярны соответствующим осям проекций;

¨ две проекции точки определяют положение её третьей проекции.

В общем случае формулировку комплексному чертежу можно дать следующим образом:

комплексный чертеж - это чертеж, в котором две или более ортогональных проекций одного объекта совмещены в одной плоскости и находятся в проекционной связи.

Как было отмечено выше, три взаимноперпендикулярные плоскости П₁,П₂ и П₃ пересекаются по трем осям проекций x,y,z. Оси проекций взаимноперпендикулярны и их можно принять за пространственную систему декартовых координат. Точка А (см. рис. 2.3,а) связана с началом осей координат ломаной линией ОА_хА₁А, состоящей из трех отрезков равных соответственно ширине, глубине и высоте точке А. Измерив длины отрезков координатной ломаной и выразив их относительными числами (например, в мм), получим координаты точки x,y и z. Координаты точки можно определить и по комплексному чертежу. Можно решить и обратную задачу: по данным координатам точки построить комплексный чертеж или наглядное изображение точки.

Пример. Построить точки А.В и С по данным координатам на комплексном чертеже (рис. 2.4).

Для точки А от начала координат по оси x откладываем координату x=10 мм.

Через А_х проводим линию связи перпендикулярно оси x.

Рис.2.4

На ней откладываем в направлении оси y координату y=15 мм и в направлении оси z - координату z =25 мм. Аналогично следует поступить с точками В и С. Предлагается построить их проекции самостоятельно.