Кривые линии и их проекционные свойства

8.1. Основные понятия и определения

В начертательной геометрии принято рассматривать кривую линию кинематически, то есть как траекторию, описанную непрерывно движущейся точкой. Сама линия также будет непрерывной.

Рис.8.1

Направление движения точки в каждом ее положении определяется касательной прямой t (рис. 8.1.).

Касательной t в точке М плоской кривой l называется предельное положение секущей ММ¢, когда М¢, оставаясь на линии l, стремится к точке М.

Нормалью n к кривой в точке М называется прямая, лежащая в плоскости W кривой l, и перпендикулярная к касательной t в этой точке.

Кривую линию называют гладкой кривой, если в каждой из ее точек имеется единственная касательная t, непрерывно изменяющаяся от точки к точке.

Кривая называется плоской, если все ее точки принадлежат некоторой плоскости, в противном случае она называется пространственной.

Плоские и пространственные кривые подразделяются на алгебраические, которые можно задать алгебраическим уравнением (окружность, эллипс, парабола, гипербола и др.), и трансцендентные - уравнение которых имеет вид трансцендентных функций (синусоида, спираль Архимеда и др.).

Важное значение при рассмотрении кривых имеет определение порядка кривой. Порядок кривой - это степень ее уравнения. Порядок плоской кривой геометрически определяется, как максимально возможное число точек пересечения кривой с прямой линией, а порядок пространственной кривой - как максимально возможное число точек пересечения кривой с плоскостью.

Например, эллипс пересекается прямой линией не более чем в двух точках. Отсюда эллипс является кривой второго порядка.

К свойствам кривой относится также понятие кривизны. Предельное положение окружности а, проходящей через точку М кривой l, и две другие бесконечно близкие к ней точки N и P, называется кругом кривизны (см. рис. 8.2).

Центр О и радиус R окружности а называется соответственно центром и радиусом кривизны. Величина k= называется кривизной кривой в точке М.

Плоские алгебраические кривые характеризуются так называемыми особыми точками. К таким точкам можно отнести точку перегиба, точку возврата, узловые точки (рис. 8.3. а,б,в,г,д).

В точках перегиба (рис. 8.3,а) касательная меняет вместе с направлением вращения и сторону кривой. Две ветви кривой l расположены по разные стороны от общей касательной t, проведенной через точку перегиба М.

В точках возврата изменяется направление движения точки на обратное. На рис. 8.3,б показана точка возврата первого рода, в которой две ветви кривой располагаются по разные стороны от касательной t. А на рис. 8.3,в изображена точка возврата второго рода. В этом случае обе ветви кривой расположены по одну сторону от общей касательной.

В узловой точке кривая пересекает саму себя. В зависимости от числа самопересечений узловые точки могут быть двойными, тройными и т.д. На рис 8.3. б,д соответственно показаны двойная и тройная точки.