Схема исследования функции и построения графика

Для исследования функции y = f (x) и построения ее графика методом дифференциального исчисления целесообразно придерживаться следующей схемы:

1) Определить область D задания функции;

2) Проверить является ли функция четной, нечетной, периодической;

3) Установить точки разрыва функции и выяснить их характер исследованием односторонних пределов функции в данных точках. Для точек в которых функция обращается в бесконечность (точки разрыва второго рода) построить соответствующие вертикальные асимптоты;

4) Найти горизонтальную или наклонную асимптоты графика (и притом отдельно при x → +∞ и при x → –∞, если область D определения функции бесконечна в обе стороны);

5) Определить значения аргумента x D, для которых производная обращается либо в нуль, либо в бесконечность, либо вовсе не существует (т.е. найти критические точки) и подвергнуть их исследованию на зкстремум;

6) Выяснить промежутки монотонности функции. Результаты удобно разложить в таблицы (см. ниже пример);

7) Определить значения x D, для которых вторая производная равна нулю, и подвергнуть их исследованию на перегиб;

8) Выяснить промежутки сохранения направления выпуклости (вверх или вниз) графика функции. Результаты удобно разложить в виде таблицы.

9) Определить значение самой функции y = f (x), отвечающие значениям x D для пунктов 3), 5), 7), а также на концах рассматриваемой области D. Результаты удобно разложить в виде таблицы (см. ниже пример) с указанием особенности вычисляемой точки графика: максимум; минимум; перегиб и др. К названным точкам графика при необходимости присоединяют еще и некоторые другие, например, точки пересечения графика с осями.

10) После нанесения на чертеж всех вычисленных точек пункта 9) через них проводят самый график, учитывая при этом все их особенности и вышеперечисленные пункты.

При исследовании конкретной функции отдельные этапы этой схемы могут быть расширены, другие же могут оказаться излишними или невыполнимыми. Например, вычисление тех значений х,при которых значение функции обращается в нуль.

Пример. Провести исследование и построить график функции

Будем следовать изложенной выше схеме.

1) Функция f (x) получает вещественное значение, лишь если х ≤ 0 или х > 2 и следовательно, D= (–∞, 0] U (2, +∞);

2) Функция f (x) не является четной, нечетной и периодической;

3) Функция f (x) относится к классу элементарных и поэтому она непрерывна во всей области своего определения. Поэтому исследуем функцию на непрерывность в граничных точках области определения: а) так как , следовательно, функция f (x) в точке х = 0 непрерывна слева, б) так как , следовательно, справа от точки х = 2 функция f (x) имеет разрыв второго рода, а график функции имеет вертикальную асимптоту х = 2;

4) Выясним вопрос о существовании горизонтальной или наклонной асимптоты. При х

,

.

Отсюда вытекает, что со стороны положительных х, кривая приближается к асимптоте у = х + 1. Аналогично получается со стороны отрицательных х другая асимптота у = – х – 1:

= –1; (см. п.8.4.3);

5) Функция f (x) имеет только одну критическую точку х = 3, в ней производная обращается в нуль: . Знак производной в точке х = 3 меняется с минимума на плюс, следовательно, в данной точке – минимум. Производная обращается в нуль и при х = 0, но это – конец промежутка (–∞, 0] в котором мы функцию рассматриваем, и об экстремуме здесь не может быть и речи;

6) Производная имеет следующие области сохранения знака:

Область значений х	-∞ < x < 0	2 < x <3	3 < x < +∞
Знак f′′ (x)	минус	минус	плюс
Поведение функции	Монотонно убывает	Монотонно убывает	Монотонно возрастает

7) Вторая производная не обращается в нуль ни в одной точке области определения функции и, следовательно, график функции не имеет точек перегиба;

8) Вторая производная больше нуля и при x < 0 и при x > 2, так что кривая обращена вогнотостью всегда вверх;

9) Вычислим значение функции для х = 3 (минимум) и х = 0 (граница области определения функции): f (3) ≈ 5,2; f (0) = 0;

 

Значение х
Значение f (х)		5,2
Значение
Особенности	Граница области определения	минимум

10) Теперь имеем достаточно данных для построения графика функции (рис.27).

Рис. 27

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найти производные следующих функций:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) .

2. Найти производные следующих функций, заданных неявно:

а) ; б) ; в) , .

3. Найти уравнение касательной и нормали к кривым второго порядка, проходящих через точку М ₀ (x ₀, y ₀) и лежащую на этих кривых:

а) – эллипс; б) – парабола.

4. Найти производные следующих функций, заданных параметрически:

а) , ; б) , ;

в) , .

5. Проверить выполнение условий теоремы Лагранжа (частный случай Ролля) для функций:

а) , на отрезке [–1,1]; б) , x Î[0,1];

в) , и x Î[0, π ].

Если функция удовлетворяет условиям теоремы, найти промежуточное значение ξ.

6. Пользуясь правилом Лопиталя вычислить следующие пределы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

7. Используя формулу Тейлора вычислить с точностью до 0.001 следующие значения:

а) ; б) ; в) ; г) .

8. Найти наибольшее и наименьшее значения функций:

а) , ; б) , ;

в) , .

9. Определить наибольшую площадь равнобедренного треугольника, если: а) боковая сторона треугольника равна μ; б) треугольник вписан в круг радиуса R.

10. Построить графики следующих функций:

а) ; б) ; в) .