Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-11-28 | 238 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Если мы имеем неопределенности следующих видов: , то все они путем алгебраических преобразований приводятся к виду , для которых можно воспользоваться правилом Лопиталя. Пусть
.
Тогда имеем:
.
Второе из этих выражений представляет при х ® х 0 неопределенность вида третье – неопределенность вида .
Пример 1. .
Если и , то выражение можно привести, например, к неопределенности вида путем следующих преобразований:
.
Часто, впрочем, найти предел этого выражения удается проще.
Пример 2.
В случае неопределенных выражений вида рекомендуется предварительно прологарифмировать.
Пусть и в окрестности точки х 0 , тогда
.
Предел представляет собой неопределенность уже изученного типа 0·¥ (или ¥·0). Допустим, что одним из указанных выше приемов удается найти
, который оказывается равным конечному числу т, +¥ или –¥. Тогда , соответственно, будет ет,+¥ или 0.
Пример 3. Вычислить . Положив у = хх, находим:
.
Следовательно, , откуда , т.е. .
Пример 4.
Пусть . Требуется найти при (неопределенность вида ).
Если считать х > 0 (этим предположением, ввиду четности функции у, можно ограничиться), то
.
Пользуясь последовательно дважды правилом Лопиталя, получим:
Откуда .
Заметим, что не все неопределенности можно раскрыть с помощью правила Лопиталя. Например,
.
Однако этот предел можно найти другим способом. Действительно, разделив заданную дробь на ех, получим:
.
Формула Тейлора
Устанавливаемая в этом параграфе формула является одной из основных формул математического анализа и имеет многочисленные приложения, как в анализе, так и в смежных дисциплинах. Данная формула устанавливает способ приближенного отображения, или, как говорят, способы аппроксимации произвольной функции с помощью полиномов (многочленов), которые являются наиболее простыми среди всех других функций.
|
Предположим, что функция имеет все производные до (п + 1) порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку х = х 0. Найдем многочлен Рп (х) степени не выше п, значение которого в точке х 0 равняется значению функции в этой точке, а значения его производных до п- го порядка в точке х = х 0 равняются значениям соответствующих производных от функции в этой точке.
(3.43)
Естественно ожидать, что такой многочлен в некотором смысле «близок» к функции .
Будем искать этот многочлен в форме многочлена по степеням (х – х 0) с неопределенными коэффициентами
(3.44)
Неопределенные коэффициенты ci, i = 0, 1, 2, …, п определим так, чтобы удовлетворялись условия (3.43).
Предварительно найдем производные от Рп (х):
(3.45)
Подставляя в левые и правые части равенств (3.44) и (3.45) вместо х значение х 0и заменяя на основании равенств (3.43) Рп (х 0) через и т.д., получим:
Подставляя найденные значения сi в формулу (3.44), получим искомый многочлен: . (3.46)
Многочлен (3.46) называют многочленом Тейлора для функции . Обозначим через Rn +1(х) разность значений данной функции и построенного многочлена Pn (x): Rn +1(х) = – Pn (x).
Откуда = Pn (x) + Rn +1(х), или, в развернутом виде:
. (3.47)
Выражение (3.47) называют формулой Тейлора для функции в окрестности точки х 0, а Rn+ 1(х) – остаточным (дополнительным) членом формулы Тейлора. Для тех значений х, для которых остаточный член Rn +1(х) мал, многочлен Pn (x) дает приближенное значение функции .
Таким образом, формула (3.47) дает возможность заменить функцию
у = многочленом у = Pn (x) с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена Rn +1(х). Можно показать, что такое представление функции единственно, т.е., что, если имеем одновременно, вблизи х 0,
,
,
то необходимо А 0 = В 0, А 1 = В 1,…, Ап = Вп.
Для остаточного члена получено довольно много различных форм представления, одно из которых имеет вид:
|
, (3.48)
где т – произвольное положительное число, – число, заключенное в интервале (0,1) и зависит не только от х и п,но также и от т. Остаточный член, записанный в виде (3.48), принято называть остаточным членом в общей форме.
Из него, придавая т конкретные значения, можно получить более частные формы остаточного члена. Положив т = п + 1, получим остаточный член в форме Лагранжа:
. (3.49)
Он напоминает следующий очередной член формулы Тейлора, лишь вместо того, чтобы вычислять (п + 1)-ю производную в точке х 0, эту производную берут для некоторого среднего (между х 0 и х) значения .
При т = 1 приходим к остаточному члену в форме Коши.
(3.50)
Так как формы Лагранжа и Коши отвечают разным значениям m, а θ зависит от m, то значения θ в формулах (3.49) и (3.50) является, вообще говоря, различными. Обе формы остаточного члена (Лагранжа и Коши) обычно используются в тех случаях, когда требуется при тех или иных фиксированных значениях х, отличных от х 0, приближенно вычислить функцию с наперед указанной степенью точности, которую можно оценить по формулам (3.49) и (3.50) для данного х, а также воздействовать на нее за счет изменения n. Наряду с этим встречаются задачи в которых нас интересует не численная величина указанной ошибки, а лишь порядок ее относительно малой величины (х – х 0). Для этой цели удобна форма записи остаточного члена в виде
. (3.51).
Данная формула означает, что при стремлении х к х 0 остаточный член представляет собой бесконечно малую порядка выше n -го по сравнению с (х – х 0), т.е. Равенство (3.51) называют остаточным членом, представленным в форме Пеано.
Формулу Тейлора (3.47) часто записывают в несколько ином виде. Положив в (3.47) (х – х 0) = Δ х, х = х 0 + Δ х и f (х) – f (х 0) = Δ f (х 0) получаем
(3.52)
с точностью до дополнительного члена, таким образом, приращение функции разложено по степеням приращения независимой переменной.
Далее, вспоминая, что
мы можем переписать (3.52) в такой форме
Здесь остаточный член записан в форме Пеано. Отсюда видим, что при последовательные дифференциалы представляют собой, с точностью до факториалов в знаменателе, именно простейшие бесконечно малые члены соответственных порядков (относительно ) в разложении бесконечно малого приращения функции.
Если в (3.52) остаточный член записать в форме Лагранжа (3.49), то формула Тейлора (3.52) с остаточным членом в форме Лагранжа (3.49) является естественным обобщением формулы Лагранжа (3.34). Формула Лагранжа (3.34) конечных приращений получается из формулы (3.52) в частном случае n = 0.
|
|
|
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!