Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2017-11-28 | 234 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
В этом разделе будет изложен способ воспроизведения функциональной зависимости между двумя переменными величинами х и у с помощью полинома.
Пусть в результате измерений в некотором опыте или наблюдении получены при разных значениях переменной величины (далее будем считать, что эти значения переменной величины пронумерованы в порядке возрастания, т.е. ) соответствующие значения переменной величины . Это соответствие можно представить в виде таблицы
х | ... | ... | ||||
у | ... | ... |
Эту таблицу можно изобразить также и в виде n точек геометрического пространства , для которых упорядоченные пары (хi, yi), i = 1,2, …, n являются координатами этих точек в прямоугольной системе координат. Данную таблицу можно рассматривать как задание некоторой функциональной зависимости y = f (x) между переменными величинами х и у. Возникает задача воспроизведения функциональной зависимости y = f (x) между переменными величинами х и у в аналитическом виде.
Аналитическое выражение этой зависимости y = f (x) будем искать среди функций наиболее простого вида – полиномов. Искомый полином
должен удовлетворять условиям
, (3.54)
т.е. график его должен проходить через точки (рис.21).
Рис. 21
Из этих условий, представляющих собой систему п уравнений можно определить п коэффициентов полинома, а потому Lk (x) является полиномом степени, не выше, чем , т.е. k ≤ :
. (3.55)
После того, когда коэффициенты, а, следовательно, и сам полином будут найдены, то тогда можно приближенно находить значение функции (т.е. устанавливать соответствие между переменными величинами х и у) в точках х,которые лежат между точками x 1, x 2, …, xn.
Нахождение значений функции у = для значений аргумента х,которые лежат между точками x 1, x 2, …, xn ,называется интерполяцией; числа x 1, x 2, …, xn называются интерполяционными узлами, а полином – интерполяционным полиномом.
|
Чтобы найти интерполяционный полином , надо найти его коэффициенты: . Для нахождения этих n неизвестных коэффициентов в соответствии с условием (2), имеем систему n линейных уравнений
. (3.56)
Так как согласно условию все интерполяционные узлы разные, поэтому определитель этой системы
отличен от нуля (определитель Вандермонда). Следовательно, система совместна и имеет единственное решение при любых значениях уi (i = 1,2,… n) в правых частях системы (система Крамера), т.е. коэффициенты интерполяционного многочлена находятся однозначно. Находя коэффициенты , из системы (3.56) и подставляя их значение в (3.55), получим искомый интерполяционный полином .
Пример. Построить полином не выше второй степени, который бы в точках x 1 = –1, x 2 = 0, x 3 = 3 приобретал бы, соответственно, значения y 1 = 13, y 2 = 6, y 3 = 9. Другими словами, искомый полином
должен быть построен в соответствии с таблицей
x | –1 | ||
y |
Для нахождения неизвестных коэффициентов , аналогично общему случаю (3.56) получаем систему уравнений
(3.57)
Из второго уравнения этой системы сразу находим c 0 = 6.
Подставляя это значение с 0 в другие два уравнения системы (3.57) и сделав упрощения, приходим к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными
и отсюда получаем . Таким образом, искомый полином
.
Действительно,
Хотя этот способ нахождения интерполяционного полинома можно использовать во всех случаях, однако если число n большое, то решение системы (3.56) делается громоздким и занимает много времени.
Существует другой способ нахождения полинома , указанный Лагранжем, в котором нет необходимости решать систему уравнений (3.56).
Пусть соответствие между значениями переменных величин х и у задается таблицей
x | x 1 | x 2 | x 3 | … | xk | … | … | xn |
y | y 1 | y 2 | y 3 | … | yk | … | … | yn |
Необходимо построить интерполяционный полином , степени не больше n – 1 и для которого выполнены условия
|
. (3.58)
Будем искать полином в виде
= y 1 l 1(x) + y 2 l 2(x) +…+ yklk (x) +…+ ynln (x), (3.59)
где lk (x), k = 1,2, …, n – полиномы степени не выше n – 1 и свойства, которых можно выразить так: в интерполяционном узле х = хk полином lk (xk) равняется 1, а в других узлах lk (xj), где равняется нулю. Иначе говоря
(3.60)
причем . Требование (3.60) совместно с (3.59) обеспечивает выполнение условий (3.58).
Полиномы lk (x) составим следующим образом:
lk (x) = .
В числителе у этих полиномов отсутствует множитель (x – xk), а в знаменателе – (xk – xk) для всех k = 1,2, …, n.
Легко убедиться, что данные полиномы есть полиномы степени не выше n – 1 и удовлетворяют требованию (3.60). Теперь подставляя их в (3.59) получим искомый полином
,
который дает решение поставленной задачи и называется интерполяционным полиномом Лагранжа.
Представим интерполяционный полином Лагранжа в более компактном виде. Для этого введем полином , который определяется равенством
= (х – х 1)(х – х 2)…(х – хk- 1)(х – хk)(х – хk+ 1)…(х – хn).
Продифференцируем этот полином по х:
.
При x = xk (k = 1,2,…, n) имеем
(хk – х 1)(хk – х 2)…(хk – хk- 1)(хk – хk+ 1)…(хk – хn).
Тогда интерполяционный полином Лагранжа примет вид
= .
Окончательно
= . (3.61)
В качестве примера рассмотрим два частных случая полинома Лагранжа.
При n = 2 имеем две точки (х 1, у 1) и (х 2, у 2), и полином Лагранжа представляет в этом случае уравнение прямой , проходящей через две эти точки:
.
При n = 3 получим уравнение параболы , проходящей через три точки (х 1, у 1), (х 2, у 2) и (х 3, у 3):
.
Аппроксимация функций
В этом разделе наряду с формулой Тейлора будет изложен еще один способ приближенного изображения (аппроксимации) функции с помощью полинома.
Пусть функция у = f (x) заданна на промежутке [ a, b ]. Выделим здесь произвольно п интерполяционных узлов x 1, x 2,…, xn.
Построим интерполяционный полином Лагранжа степени не выше n – 1, который бы в этих узлах приобретал те же значения, что и функция f (х), т.е.
. (3.62)
Интерполяционный полином Лагранжа определяется равенством (3.61)
= = . (3.63)
Свойства полинома Лагранжа , выраженные равенствами (3.62), геометрически означают, что график полинома Лагранжа у = (рис.22, пунктирная кривая) имеет в интерполяционных узлах x 1, x 2,…, xn такие же ординаты, что и график функции y = f (x) (рис.22, сплошная кривая).
|
Поскольку полином Лагранжа принимают за приближенное выражение для f (x),возникает потребность найти ошибку приближенного равенства .
Рис. 22
Геометрическое значение такое же, как и для остаточного члена формулы Тейлора: есть отрезок ординаты МN,расположенный между графиками функции f (х) и полинома в точке х,взятой со знаком плюс, если график f (х) в точке х проходит выше графика (рис.22), и со знаком минус, если ниже.
Теорема. Пусть на промежутке [ a, b ] для функции f (x)существуют последовательные производные и пусть интерполяционные узлы лежат в промежутке [ a, b ]. Тогда можно найти, по крайней мере, одну такую точку х = ξ, которая лежит в промежутке [ a, b ],что выполняется равенство
(3.64)
для всех х,которые лежат в промежутке [ a, b ].
Доказательство. Пусть точка х зафиксирована на промежутке [ a, b ] и не совпадает ни с одним из интерполяционных узлов. Рассмотрим вспомогательную функцию
. (3.65)
При этих условиях вспомогательная функция Н (z) имеет на [ a, b ] (n + 1) корней и будет обращаться в нуль на концах каждого из отрезков ,
. (3.66)
Применяя теорему Роля к каждому из этих отрезков убеждаемся, что производная , имеет не менее п корней в п разных точках ,
расположенных внутри отрезков ,таких что .
Применив теорему Ролля к производной , мы убеждаемся, что производная имеет п – 1 корней на [ a, b ]. Продолжая эти рассуждения, придем к заключению, что на рассматриваемом отрезке [ a, b ] производная имеет хотя бы один корень, который обозначим через , т.е.
. (3.67)
Найдем из (3.65) . Учитывая, что – полином степени п,а тогда, как установлено ранее, , имеем
. (3.68)
Далее, степень полинома не выше п – 1, и потому . Следовательно
.
Отсюда находим
. (3.69)
Причем, ξ не совпадает с узлами x 1, x 2,…, xn и точкой х. Теорема доказана.
Равенство (3.69) называется интерполяционной формулой Лагранжа с остаточным членом. Остаточный член Rn (x)в этой формуле определяется равенством
.
Отсюда, если известна верхняя граница ,
получим оценку для абсолютной погрешности вычисления значений функции f (х) с использованием интерполяционной формулы Лагранжа
.
Из полученной оценки следует, что чем больше используется интерполяционных узлов, тем выше точность вычисления.
|
Пример. Функцию
(3.70)
аппроксимировать с помощью интерполяционного полинома Лагранжа , который, в пяти узлах приобретал бы те же значения, что и заданная функция (3.70), и оценить точность этого приближения.
Прежде всего, вычислим значения этой функции в интерполяционных узлах. Из (3.70) находим
Следовательно, полином должен быть построен по таблице
x | –2 | –1 | |||
y | –1 |
Поэтому
.
Для и имеем
Таким образом,
и после упрощений получаем .
Далее, для остаточного члена R 5(x)нужно вычислить .
.
Поэтому для функции этого примера имеет место такая формула интерполяции Лагранжа с остаточным членом
.
Если для вычисления значений функции пользоваться приближенной формулой , то абсолютная погрешность такого вычисления, учитывая, что | | ≤ 1 составит
.
Так, для абсолютная погрешность вычисления составит
0,11.
На рис.23 изображены графики функции (сплошная кривая) и интерполяционного полинома (пунктирная кривая).
Рис. 23
Отметим, что и абсолютная погрешность аппроксимации составляет 0,08.
Для достижения более высокой точности вычисления необходимо
увеличивать число интерполяционных узлов.
|
|
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!