Сравнение бесконечно малых. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых.

y=f(x) и y=g(x) б.м. при х→а, т.е.

0, f(x) б.м. более высокого порядка, чем g(x), обозн. f(x)=0g(x)

∞, g(x) более высокого порядка, чем f(x)

C, f(x) и g(x) б.м. одного порядка

1, f (x) и g(x) – б.м. эквивалентные f(x) ~ g(x)

Не существует. f(x), g(x), несравнимые б.м.

Если , то f(x) б.м. к-ого порядка, относительно g(x)

Теорема 1: α~βó α-β=0(α), α-β=0(β),

Следствие: α~βó α=β+0(α), α=β+0(β),

Определение: представление ф-ции f(x) в виде

f(x)= A* x^k+0(x^k) назыв. выделением её главной части.

Теорема2: α~β, а β~γ, то α~γ

Теорема 3: α~α1 и β~β1 то 1) lim α/β= lim α1/β1=

lim α/β1= lim α1/β

2) lim αβ=lim α1β1 = lim αβ1 = lim α1β

Теорема4: алгебрарическая сумма, конечного числа б.м. эквивалентна слагаемому низшего порядка. сумма бесконечно малых, α низшего порядка, α – главная часть этой суммы

Следствие:

 

Непрерывность ф-ции. Точки разрыва. Их классификация.

y=f(x), x₀

x₀→x, x-x₀=∆x, приращение аргумента в т. X,

x =x₀+∆x; f(x)-f(x₀)=∆y – приращение ф-ции в т.x₀

∆y=f(x₀ + x)-f(x₀)

Опр. Ф-я y=f(x) наз. непрерывной в т. х₀, если lim(∆x→0) y=0 (1),

(1) →lim(∆x→0) [f(x₀ +₀x)-f(x₀)]=0

(2) →lim(x→x ₀) f(x)=f(x₀)

 

(1) и (2) – эквивалентные определения непрерывности

f(x₀ -0)+f(x₀ +0) →f(x₀) (3)

Из предыдущего ясно, что если f(x) непрерывна в т. x₀, то выполняется рав-во (3)

Докажем, что у=sinx непрерывна для всех х: lim(∆x→0)∆y =lim(∆x→0) [sin(x₀ +∆x)-sinx₀ ] =lim(∆x→0) (sinx₀cos∆x+cosx₀sin∆x-sinx₀)=lim(∆x→0) (sinx₀ –sinx₀)=0

Опр. Ф-я y=f(x) непрерывна в интервале (а,b) если она непрерывна во всех т-ках этого интервала.

Ф-я y=f(x) непрерывна на отрезке (а,b) если она непрерывна во всех внутренних т-ках этого отрезка, а так же непрерывна справа в т. а(т.е сущ. lim(∆x→0) f(x)=f(a)) и непрерывна слева в т.b (т.е lim(∆x→0) f(x)=f(b)) Аналогично, как для sin можно док-ть, что все основные элементарные ф-ции непрерывны во всех областях, где они определены.

Точки разрыва.

Если для y=f(x) рав-во (3): f(x₀ -0)+f(x₀ +0) =f(x₀) нарушается, то х₀ - точка разрыва

Характер нарушения рав-ва (3) кладется в основу классификации точек разрыва:

1. а) если f(x₀ -0) и f(x₀ +0) сущ-ют и f(x₀ -0) ≠f(x₀ +0), то х₀ - наз. т-кой разрыва 1-го рода с конечным скачком.

Разность f(x₀ -0)-f(x₀ +0) наз скачком ф-ции в т.х ₀ b)Если в т. х f(x₀ -0) = f(x₀ +0) ≠f(x₀), то х₀ наз т-кой разрыва 1 рода устранимой.

2. Если хотя бы один из пределов f(x ₀-0) или f(x₀ +0) не сущ-ет или =∞, то х₀ наз т-кой разрыва 2-го рода ф-ции y=f(x)

 

Теоремы о непрерывных ф-ях.

Т 1. Если y=f(x) и y=g(x) непрерывны в т. x ₀, то в этой т-ке непрерывны также f(x) ±g(x), f(x)*g(x), f(x)/g(x),(g(x₀) ≠0)

Т 2. Сложная ф-ция, составленная из конечного числа непрерывных ф-ций непрерывна.

Т 3. Ф-я обратная к непрерывной и монотонной ф-ции непрерывна.

Вывод: Все элементарные ф-ции непрерывны в областях, где они определены

Св-ва ф-ций непрерывных на отрезке

Т 1. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке [а,b], то, по крайней мере, в одной т-ке этого отрезка она достигает наибольшее значение и, по крайней мере, в одной наименьшего, т.е

Ė x₁?[a,b],что f(x₁) ≥f(x), ¥ x?[a,b];

Ė x₂?[a,b],что f(x₂)≤ f(x), ¥ x?[a,b];

Т 2. Если f(x) непрерывна на [а,b], то она принимает все промежуточные значения между ее значениями на концах, т.е если f(a) ≠f(b),f(a)=A,f(b)=B

Пусть A<C<B,то Ė c? [а,b], что f(c)=c

Т 3. Если f(x) непрерывна на [а,b] и f(a) и f(b) разных знаков, то Ė c? [а,b], что f(c)=0

Дифференциальное исчисление одной переменной.

y=f(x), х?D(f), х+∆x?D(f)c→y-∆y=f(x+∆x)-f(x)

Опр. lim(∆x→0) ∆y/∆x наз производной данной ф-ции, (обозначается f ' (x), y ' _x, dy/dx, df(x)/dx)

y'=lim(∆x→0) ∆y/∆x

y'=lim(∆x→0) (f(x+∆x)-f(x))/ ∆x