Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2017-09-30 | 1003 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Формулировка большинства традиционных задач физики приводит к линейным уравнениям в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами.
Так, при изучении различных видов волн, а также других колебательных явлений мы приходим к так называемому волновому уравнению
(3)
Процессы распространения тепла в однородном теле, так же как и явления диффузии описываются уравнением теплопроводности
(4)
При рассмотрении установившегося теплового состояния, электрического поля или поля тяготения мы приходим к уравнению Пуассона
(5)
При отсутствии источников тепла, электрических зарядов или масс уравнение (5) переходит к уравнению Лапласа
(6)
Уравнения (3)–(6) являются линейными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. Их часто называют основными уравнениями математической физики.
Следует также привести уравнение, которым приходится пользоваться при описании некоторых волновых процессов и которое называется телеграфным уравнением
, (7)
где . Это уравнение при переходит в волновое уравнение (3), при в уравнение теплопроводности и диффузии (4), а при в уравнение диффузии с химическими реакциями.
Каждое из уравнений (3) – (7) принадлежит к одному из трех типов. Тип уравнения определяется в некоторой фиксированной точке М0 (x0 , y0 , z0 , t0). Определение типа уравнения удобнее всего сформулировать для квазилинейного уравнения второго порядка, записанного в следующем виде:
(8)
где aij, и bi – функции x1,…xn. При x= 4 в качестве x1,x2,x3 могут выступать пространственные координаты x,y,z, а в качестве x4 – время t. Составив затем в фиксированной точке квадратичную форму
(9)
Уравнение (7) в точке М0 принадлежит к элептическому типу, если в этой точке квадратичная форма (8) является положительно или отрицательно определенной.
Уравнение (7) в точке М0 принадлежит к гиперболическому типу, если в этой точке квадратичная форма (8) при приведении её к сумме квадратов имеет все коэффициенты, кроме одного, одного, определенного знака, а оставшийся один коэффициент противоположного знака.
Уравнение (7) в точке М0 принадлежит к параболичекому типу, если в этой точке квадратичная форма (8) при приведении её к сумме квадратов имеет только один коэффициент, равный нулю, а все другие коэффициенты имеют одинаковые знаки.
Посколькукоэффициенты aij, и bi являются функциями x1,…xn, то при переходе от одной точки к другой уравнение (7) может менять свою принадлежность к тому или иному типу. В связи с этим, уравнение принадлежит к тому или иному типу в некоторой области D, если оно принадлежит к этому типу в каждой точке этой области.
Для квазилинейного уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными тип уравнения определяется более наглядно. Для этого его нужно записать в следующем виде:
(10)
где коэффициенты A,B и C есть функции x и y.
Уравнение (9) принадлежит
а) к гиперболическому типу, если ;
б) к параболическому типу, если ;
в) к эллиптическому типу, если .
В записанных выше уравнениях (3) – (6) коэффициенты при производных являются постоянными, поэтому при переходе от одной точки к другой тип уравнения сохраняется. В связи с этим во всей области решения задачи уравнение (3) является уравнением гиперболического типа, уравнение (4) – уравнением параболического типа, а уравнения (5) и (6) уравнениями элептического типа.
Г л а в а I. Скалярные и векторные поля. Дифференциальные операторы
Скалярные поля
Цель этой короткой главы – лишь напомнить некоторые понятия, результаты, их математические формулировки и физический смысл, которые излагаются в курсе математического анализа, и которые потребуются нам в дальнейшем при изложении материала. Это касается понятий скалярного и векторного полей, а также дифференциальных операторов, применяемых к этим полям.
Наряду с понятием скалярной и векторной физической величины в математической физике часто пользуются понятиями скалярного поля и векторного поля.
Если в каждой точке М области D задано значение скалярной величины u, то эта величина является скалярной функцией точки, т.е. . В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле.
Для скалярного поля вводится понятие поверхности уровня, которая определяется как геометрическое место точек, в которых функция u имеет постоянное значение. В трехмерном случае это можно записать как
.
Градиент скалярной величины
Наряду с понятием поверхности уровня вводится понятие градиента, т.е. векторной величины, направление которой совпадает с направлением нормали к поверхности уровня скалярного поля (Рис. 1). Проекциями этого вектора на координатные оси служат частные производные от функции , т. е.:
. (1)
Рис. 1. К понятию градиента скалярной функции
Таким образом, градиент это вектор, который представляет собой результат применения некоего дифференциального оператора к скалярной функции.
Если векторное поле А в каждой точке М может быть задано как градиент некоторой функции U, т. е. А= grad U, то такое поле называют потенциальным, а функцию U – потенциалом.
Физический смысл градиента заключается в том, что его направление совпадает с направлением наибольшего возрастания скалярной величины. Так градиент температуры направлен к источнику тепла, а градиент потенциала электростатического поля к одиночному заряду и т.д. Модуль градиента характеризует степень возрастания скалярной величины.
Векторные поля
Если в каждой точке М области D задан определенный вектор А (М), то говорят, что в области D задано векторное поле. Примерами векторных физических полей служат гравитационное поле, электромагнитное поле, поле скоростей текущей жидкости и т.д.
Для векторного поля вводят понятие векторной линии, т.е. линии, направление касательной к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора А (М) (Рис. 2).
Если векторное поле определяется функцией
, (2)
то векторная линия в пространстве задается следующей системой дифференциальных уравнений
|
Поток вектора
Важным понятием для векторного поля является поток вектора. Если векторное поле задано выражением (2), то для всякой поверхности S с нормалью n можно записать интеграл по этой поверхности от проекции вектора A на нормаль n, а именно
(4)
где α, β, γ – направляющие косинусы нормали. Формула (4) и определяет поток вектора A через поверхность S.
Физический смысл потока нагляднее всего иллюстрируется на примере потока жидкости, который есть не что иное, как объём жидкости, пересекающий единицу поверхности в единицу времени. Тогда поток жидкости через площадку dS будет равен объему параллелепипеда с ребром, равным скорости потока V и высотой, равной V n (см. Рис. 3), а поток жидкости через всю поверхность S будет соответственно равен
(5)
Рис. 3. К физическому смыслу потока вектора
Дивергенция вектора
Понятие потока вектора лежит в основе другого важного понятия – дивергенции вектора. Для его определения нужно рассмотреть некоторую точку векторного поля А (M) и окружить её замкнутой поверхностью S, целиком содержащейся в поле. В поле скоростей жидкости это будет соответствовать алгебраической сумме втекающей и вытекающей жидкости, которая будет равна нулю, если внутри объема отсутствуют источники и стоки жидкости.
Теперь возьмем отношение потока вектора А к объему V внутри поверхности S
,
и найдем предел этого отношения при V, стремящемся к нулю. Этот предел и называется дивергенцией или расходимостью вектора А в точке М, а именно
(6)
Дифференциальная форма дивергенции векторного поля, заданного формулой (2), имеет вид:
. (7)
Таким образом, результат применения оператора дивергенции к вектору является величиной скалярной.
Пользуясь выражением для дивергенции (7), теорему Остроградского можно записать в векторном виде
(8)
Эта форма теоремы Остроградского для поля текущей жидкости выражает тот очевидный факт, что поток жидкости через поверхность равен суммарной мощности всех источников и стоков, т.е. количеству жидкости, возникающей в рассматриваемой области в единицу времени.
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!