Вероятности совместных и несовместных событий

1. События A и B называются несовместимыми (или – несовместными), если наступление одного из них исключает возможность появление другого.

Два события наглядно изображается в плоскости обычными диаграммами для двух подмножеств элементарных исходов пространства событий, которые благоприятствующих этим событиям. При этом, если - число элементарных исходов, благоприятствующих событию A; - число исходов благоприятствующих событию B; m_AB – число исходов, соответствующих и событию A, и событию B, а n - общее число всех возможных элементарных исходов (т.е.- число элементов пространства событий Z), то в случае, когда эти события (A и B) будут несовместными будем иметь (см. рис.) и m_AB = 0.

Пример 1: При бросании 2-х игральных костей событиям A - выпадает дубль- и B - сумма выпавших очков нечетна- соответствуют подмножества А={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} и B ={(1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,2), (3,4), (3,6), (4,1), (4,3), (4,5), (5,2), (5,4), (5,6), (6,1), (6,3), (6,5)}. Как видно, в данных подмножествах m_A = 6, m_AB = 12 и m_AB = 0. Последнее означает, что в этих множествах нет ни одного общего (совпадающего) элеметна и ; эти события тем самым будут несовместными.

 

Событию, заключающемуся в реализации несовместных событий A или B, соответствует объединение AU B соответствующих им подмножеств.

Это объединение (для несовместных событий ) будет совпадать в с их дизъюнктивной суммой (или, иначе, симметрической разностью) и число элементарных исходов благоприятствующих указанному событию будет определяться всеми исходами благоприятствующими наступлению событий A и B, т.е. - суммой m_A + m_В.

При этом вероятность такого события -согласно классическому (комбинаторному) способу- будет

т.е. –

если события A и B несовместны, то вероятность реализации события A или B определяется формулой (иногда говорят, по теореме) сложения вероятности несовместных событий:

 

Такое правило распространяется для любого числа (n) несовместных событий:

 

При этом условием несовместимости этих событий являются соотношения: ().

 

2. Если события A₁, A₂,..., A_n несовместны, а их объединение дает все множество элементарных событий Z, т.е.- если

A₁∩A₁=0, при " i¹ j

и A₁U A₂U...U A_n = Z,

то говорят, что такие события образуют полную систему событий, а их вероятность удовлетворяет нормирующему условию:

P(A₁ )+ P(A₂ )+... + P(A_n)= 1

 

Пример 2: При бросании 2-х игральных костей рассмотрим такие события:

А: - сумма выпавших очков меньше 4;

В: - сумма выпавших очков равна 5 или 4;

С: - сумма выпавших очков больше 5.

В данном примере, перебрав без труда все возможные варианты, будем иметь

A = {(1,1); (1,2); (2,1)}, B = {(1,4); (2,3); (3,2); (4,1); (1,3); (2,2); (3,1)},

C ={(1,5); (1,6); (2,4); (2,5); (2,6); (3,3); (3,4); (3,5); (3,6); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6); (5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5); (5,6); (6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6)}

n =36;

Нетрудно видеть, что при бросании костей какое-то из указанных событий обязательно произойдет: либо A, либо B, либо C. Это означает, что совокупность этих событий образует достоверное событие, или (иначе)

Кроме того, , т.к. эти события произойти одновременно -попарно, либо все вместе- не могут (и у соответствующих им подмножеств элементарных событий одинаковых элементов нет). Следовательно данные события образуют полную систему событий.

Подсчет же вероятности показывает, что

.

В то же время

т.е. – вероятности данных событий удовлетворяют нормирующему условию

 

 

3. Любое событие A и его дополнение образуют полную систему событий, а потому для них справедливы соотношения

и

Отсюда, в частности, следует

формула для вероятности события, противоположного событию A:

 

4. События A и B называются совместимыми (или – совместными), если наступление одного из них не исключает возможность появление другого.

Для таких событий часть элементарных исходов из пространства событий Z будет означать как наступление события A, так и наступление события B. Число подобных исходов (благоприятствующих и событию A, и событию B) будет отличным от нуля. Для соответствующих подмножеств в таких случаях будем иметь m_AB ¹ 0 и .

Обозначим, как и выше, через n – общее число всех возможных исходов. Но в отличие от предыдущего, под здесь будем понимать число исходов благоприятствующих наступлению только события B (но не B и A одновременно). Соответствующее подмножество элементарных исходов (события A, но не B) определяется и изображается (см. рис.) в виде разности подмножеств B и A, т.е.- как B \ A;

Аналогично обозначим через - число исходов благоприятствующих наступлению только лишь события A, т.е. – число элементов подмножества A \ B.

При таких обозночениях событию A будут благоприятствовать исходов, а событию B - исходов. Число же исходов благоприятствующих событию A или B будет равно Тогда, по классическому определению, вероятность объединения таких (совместных) событий будет

.

Таким образом,

 

если события A и B совместны, то

P() =

где - вероятность одновременного наступление и событие A, и события B.

Эта формула будет общей формулой сложения вероятности, применимой и в случае совместных, и в случае несовместных событий.

(При несовместных событиях ; это соответствует, с одной стороны, невозможному событию, вероятность которой равна нулю, а с другой стороны - объединение таких событий будет совпадать с их дизъюнктивной суммой и по обеим приведенным формулам получаем ).

 

Пример 3: При бросании 2-х игральных костей пусть A- озночает событие выпадания дубль, B- сумма очков меньше 6. Тогда

В данном случае ; n=36 и, соответственно

ЛЕК.3

Независимые события

События A и B называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от исхода другого, в противном случаи они называются зависимыми.

Пример 4: При бросании 2-х костей число очков выпадающей на каждой кости не зависит от того, какое число выпадет (или выпало) на другой кости. Или - сумма получаемых очков при каждом таком испытании не зависит от исхода в предыдущем испытании.

Пример 5:В урне 3 белых и 3 черных шара. В случае, когда шары вынимаются без возврата, вероятность выбора белый шар до испытания будет равной Вероятность же

выбора белого шара после испытании будет зависить от исхода этого (первого) испытания:

Если исход 1 испытания –белый шар, то эта вероятность будет 2/5, если же исход 1 испытания - черный шар, то 3/5.

Пусть A и B - независимые события, тогда (независимо от событие B) для события A будет благоприятствовать - элементарных исходов из всех возможных исходов и при любом из этих результатов событию B будет благоприятствовать - исходов из общего числа возможных исходов . При этом (одновременному) наступлению и события A и события B -по правилу произведения комбинаторики- будут соответствовать исходов, а общее число всех возможных исходов будет равно . Следовательно вероятность наступления такого события будет равна:

,

Т.о. вероятность совмещения (одновременного наступления) 2-х независимых событий определяется так называемой формулой умножения вероятностей:

.

Эта формула легко обобщается и на случай n независимых событий :

Если - независимые событие, то

Пример 6: Устройство состоит из трех соединенных последовательно элементов.

Пусть A_i – режим безотказной работу устройства i, (i=I,II,III) и вероятность безотказной работы элемента I равна , элемента II- , а элемента III -

При этом безотказная работа всего устройства будет состоять в событии , а ее вероятность будет

 

Условная вероятность

Если событие A и B зависимы друг от друга (см. приведенный пример 5 выше), то вероятность реализации события B (после наступление A) будет отличаться от вероятности P(B) данного события B, вычисленной без учета события A.

Вероятность события B, найденная при условии, что событие A произошло, называется условной вероятностью и обозначается через P(B/A) или

Используя классический подход нетрудно показать, что для таких (зависимых) событий справедливы соотношения

При этом

и в тоже время -

Откуда следует, что

вероятность совмещения (одновременного наступления) зависимых событий A и B будет определяться следующей формулой умножения вероятностей зависимых событий

 

 

Из этой формулы при найденных каким-то образом вероятностях и (или - P(B)) находится

формула для вероятности условных событий:

 

В частности для рассмотренного выше примера 5 будем иметь:

A - белый шар при первой попытке;

B - белый шар при второй попытке.

Тогда вероятность выбора 2-х белых шаров будет:

Если же изъятые шары возвращаются в урну, то события A и В будут уже независимыми, причем:

, и

Приведенная выше формула умножения вероятностей также обобщается

для любого числа зависимых событий:

Учитывая такие соотношения, для объединения событий А и В получаем

общую формулу сложения вероятностей:

 

Для рассмотра выше примера 3 имеем B/A= - здесь 2 исхода для события В -при условии, что событие A (для которого в свою очередь благоприятны 6 из 36 всех возможных исходов) уже произошло. В то же время A/B= - здесь также два исхода для события A –при условии, что событие В (для которого соответственно благоприятны 10 из всех возможных 36 исходов) уже произошло. При этом для условных событий находим следующие значения их вероятности: P_A(B)=2/6 и - P_B(A)=2/10, а для вероятности (одновременного) наступления и события А и события В, согласно указанным формулам умножения будет:

или .

Как видно эти результаты совпадают с найденным ранее классическим способом.

Далее, по обобщенной формуле сложения вероятностей, также получаем результат

также совпадающий с ранее найденным по классическому способу.

 

ЛЕК.4