Любое событие, которое может произойти при данном комплексе условий, рассматривается как подмножество (S) множества (Z) всех возможных событий

Т.о., если Z – пространство событий и S – некоторое возможное событие, то S Í Z.

Пример 1: При бросании одной игральной кости элементарное событие – это выпадение како-то числа очков (либо 1, либо 2, либо 3, …, или 6). Пространство (множество) Z состоит из 6 элементарных событий: Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Событию S, заключающемуся в появлении четного числа очков, соответствует (благоприятствует) выпадение числа очков равного либо 2, либо 4, или же 6. Событие S полностью определяется, т.о., множеством исходов S = {2, 4, 6} и, как видно, S Ì Z.

Элементарные события s S называются исходами или же событиями, благоприятствующими появлению события S и, когда говорят, что происходит событие S, то при этом подразумевают, что исходом наблюдения является любой результат s (элементарное событие) из соответствующего подмножества S (т.е. – происходит s S).

Пример 2: При бросании 2-х костей Z состоит из 36 элементарных исходов, каждый из которых это – пара чисел (a,b), где a – число очков на первой кости, b – на второй кости.

Событие D заключающееся в том, что выпал дубль будет состоять из 6 исходов: D = {(1,1), (2, 2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}.

Событие В, заключающееся в том, что ∑ очков окажется меньше 6, будет следующее подмножество: В =

Пример 3: Выбор 3-х делегатов из 5-и кандидатов (a,b,c,d,e). Результаты выборов могут быть любыми из всевозможного числа вариантов[1], равного 10 ().

Событию K – что кандидат “a” окажется среди 3-х отобранных – соответствует подмножество K= .

Событие – что в числе 3-х делегатов будут выбраны кандидаты b и d – состоит из элементов

Событие M – что выбранным будет или b или d будет подмножество

Достоверное событие состоит в осуществлении хотя бы одного исхода из Z. Невозможному же событию соответствует пустое множество; оно заключается в том, что ни один исход из пространства Z не осуществляется.

 

Дополнеием события S называется событие состоящее в неосуществлении (исключении) события S и обозначаемое, обычно, через .

 

Для двух событий из пространственных всех возможных исходов Z используют следующие понятия и определения.

Объединением событий и называется событие (), состоящее в осуществлении хотя бы одного из этих событий или .

Пересечением событий и (записываемое в виде ) называется совмещение событий и ; оно состоит в (одновременном) осуществлении обеих событий и , и .

События и называются несовместными (несовместимыми), если наступление одного исключает возможность появления другого.

(Пример таких событий: исходы - орел и - решка при бросании одной монеты).

Для несовместных событий пересечение соответствующих подмножеств будет пусто , а для совместных событий (при которых наступление одного не исключает наступления другого) оно - - содержит совокупность тех элементарных событий (исходов), которые благоприятствуют наступлению и первого, и второго события.

 

1. Классическое определение вероятности (простых) событий

Для количественного описания реализации тех или иных случайных событий вводится отображение пространства событий на множество вещественных чисел:

Возможность появление случайного события A - при реализации комплекса условий B - называется вероятностью этого события и обозночается через или, чаще всего, - P(A).

Данное понятие является фактически весовой функцией такого отображения, сопоставляющей каждому событию в качестве веса некоторое вещественное число.

 

Вероятность достоверного событие принимается равным 1, а вероятность невозможного событие - равным 0. Любым другим событиям, которые при данном комплексе условий могут произойти (а могут и не произойти) ставится в соответствии значения вероятности находящиеся в интервале между 0 и 1.

 

В классической теории вероятности (развивающейся с древнейших времен) используется два способа определения вероятности событий:

1. Статистический (частотный) способ определения вероятности. Он основан на регистрации появления интересующего события при многократных наблюдениях в один и тех же условиях:

Если n- число всех наблюдений (испытаний), а m- число появление интересующего нас события А в этих наблюдениях, то вероятность данного событие определяется формулой

.

На практике невозможно реализовать бесконечное значение n и данная формула дает точный прогноз только в теоретическом смысле. Поэтому в практических расчетах ограничиваются некоторым конечным числом n=N испытаний (наблюдений) и соответствующим числом (частотой) m=N_m повторений интересующего события (А). При этом

в качестве вероятности берется относительная частота появления данного события, называемое частотной вероятностью

Очевидно, эта формула будет приближенной, а прогноз вероятности по ней будет тем точнее, чем больше будет значение N.

 

При статистическом способе определения вероятности иногда используется понятие априорной вероятности, которая находится, как указано, на основе сбора статистических данных об интересующем нас событии или явлении. Этот способ дает достаточно точный прогноз, только в том случае, когда и в настоящем (будущем) времени будут соблюдены те же самые условия, которые имели место в прошлом. Однако это выполняется не всегда, поэтому важное для расчетов значение приобретает уточнение действительных условий, имеющих место в настоящем времени наблюдения интересующего события. Соответствующая вероятность, найденная как с учетом прошедших статистических данных, так и на основе специально восставленных (уточняющих) экспериментов называется апостериорной вероятностью.

 

2. Классический (комбинаторный) способ.

Если n-общее число исходов при данном наблюдении, а событию “A” благоприятствуют m-исходов, тогда вероятность этого событие определяется формулой:

.

При таком определении используется принцип равновозможности или равновероятноси элементарных исходов, когда нет оснований для предпочтения того или иного исхода.

Пример: Для рассмотренных выше событий D, B, L, M значения их вероятности, найденные по этой формуле, будут:

, , ,

ЛЕК.2