Лекции по теории вероятностей и математической статистике

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

 

ЛЕК.1

Часть 1. Представления и методы теории вероятности

 

1. Исходные понятия

Важнейшим понятием, лежащим в основе теории вероятности и математической статистики является СОБЫТИЕ, под которым понимается всякий возможный результат (факт), который может произойти (или не произойти) в результате наблюдения /либо эксперимента.

Событие, которое относительно некоторого комплекса может произойти, а может и не произойти, называют случайным событием.

Событие считается достоверным, если можно указать комплекс условий, при каждой реализации которых оно неизбежно происходит.

Событие, которое заведомо не может произойти (при реализации данного комплекса условий) называется невозможным событием.

 

В результате наблюдений (испытаний) при данном комплексе условий могут иметь место различные результаты (исходы) и каждый из них называют элементарным событием.

Всю совокупность возможных исходов наблюдения /эксперимента/ называют множеством /или пространством/ элементарных событий (исходов).

 

ЛЕК.2

 

ЛЕК.3

Независимые события

События A и B называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от исхода другого, в противном случаи они называются зависимыми.

Пример 4: При бросании 2-х костей число очков выпадающей на каждой кости не зависит от того, какое число выпадет (или выпало) на другой кости. Или - сумма получаемых очков при каждом таком испытании не зависит от исхода в предыдущем испытании.

Пример 5:В урне 3 белых и 3 черных шара. В случае, когда шары вынимаются без возврата, вероятность выбора белый шар до испытания будет равной Вероятность же

выбора белого шара после испытании будет зависить от исхода этого (первого) испытания:

Если исход 1 испытания –белый шар, то эта вероятность будет 2/5, если же исход 1 испытания - черный шар, то 3/5.

Пусть A и B - независимые события, тогда (независимо от событие B) для события A будет благоприятствовать - элементарных исходов из всех возможных исходов и при любом из этих результатов событию B будет благоприятствовать - исходов из общего числа возможных исходов . При этом (одновременному) наступлению и события A и события B -по правилу произведения комбинаторики- будут соответствовать исходов, а общее число всех возможных исходов будет равно . Следовательно вероятность наступления такого события будет равна:

,

Т.о. вероятность совмещения (одновременного наступления) 2-х независимых событий определяется так называемой формулой умножения вероятностей:

.

Эта формула легко обобщается и на случай n независимых событий :

Если - независимые событие, то

Пример 6: Устройство состоит из трех соединенных последовательно элементов.

Пусть A_i – режим безотказной работу устройства i, (i=I,II,III) и вероятность безотказной работы элемента I равна , элемента II- , а элемента III -

При этом безотказная работа всего устройства будет состоять в событии , а ее вероятность будет

 

Условная вероятность

Если событие A и B зависимы друг от друга (см. приведенный пример 5 выше), то вероятность реализации события B (после наступление A) будет отличаться от вероятности P(B) данного события B, вычисленной без учета события A.

Вероятность события B, найденная при условии, что событие A произошло, называется условной вероятностью и обозначается через P(B/A) или

Используя классический подход нетрудно показать, что для таких (зависимых) событий справедливы соотношения

При этом

и в тоже время -

Откуда следует, что

вероятность совмещения (одновременного наступления) зависимых событий A и B будет определяться следующей формулой умножения вероятностей зависимых событий

 

 

Из этой формулы при найденных каким-то образом вероятностях и (или - P(B)) находится

формула для вероятности условных событий:

 

В частности для рассмотренного выше примера 5 будем иметь:

A - белый шар при первой попытке;

B - белый шар при второй попытке.

Тогда вероятность выбора 2-х белых шаров будет:

Если же изъятые шары возвращаются в урну, то события A и В будут уже независимыми, причем:

, и

Приведенная выше формула умножения вероятностей также обобщается

для любого числа зависимых событий:

Учитывая такие соотношения, для объединения событий А и В получаем

общую формулу сложения вероятностей:

 

Для рассмотра выше примера 3 имеем B/A= - здесь 2 исхода для события В -при условии, что событие A (для которого в свою очередь благоприятны 6 из 36 всех возможных исходов) уже произошло. В то же время A/B= - здесь также два исхода для события A –при условии, что событие В (для которого соответственно благоприятны 10 из всех возможных 36 исходов) уже произошло. При этом для условных событий находим следующие значения их вероятности: P_A(B)=2/6 и - P_B(A)=2/10, а для вероятности (одновременного) наступления и события А и события В, согласно указанным формулам умножения будет:

или .

Как видно эти результаты совпадают с найденным ранее классическим способом.

Далее, по обобщенной формуле сложения вероятностей, также получаем результат

также совпадающий с ранее найденным по классическому способу.

 

ЛЕК.4

 

Основные соотношения

 

Любое событие А и его дополнение несовместны; они дополняют друг друга до полного пространства событий () и поэтому ;

отсюда следует, что

в частности –

.

Используя свойство ассоциативности дизъюнктивной суммы A₁+ A₂+ A₃=A₁+(A₂+ A₃ ) и аксиому 3, для попарно несовместных событий будем иметь

 

P(A₁+ A₂+ A₃) = P(A₁)+P(A₂+ A₃) = P(A₁)+P(A₂)+P(A₃).

 

В соответствии с этим записывается теорема сложения для любого числа n несовместных событий:

.

Рассмотрим два события A и B. Соответствующие им множества A и B разбивают весь универсум на четыре непересекающиеся подмножества (см. рис.), каждое из которых будет соответствовать определенному событию:

 

 

Через эти части можно записать, что (аналогично ),

а также -

 

Слагаемые в правых частях этих равенств не пересекаются и потому, согласно аксиоме 3, будут справедливы следующие формулы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

;

5) .

Учитывая приведенные формулы 1 и 2, для двух совместных событий легко получить:

Поскольку вероятность любых событий A и B больше или равна нулю (в том числе ) то из трех последних соотношений следует:

 

В случае, когда A и B несовместны, и эти неравенства переходят в равенства.

Далее, условная вероятность события B (определяемая при условии выполнения события A), по определению, принимается равной

 

Отсюда следует, что:

для зависимых событий - ;

 

для независимых событий -

 

ЛЕК.5

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

 

ЛЕК.1