Наибольшее и наименьшее значения функции

В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ

 

В замкнутой области непрерывная функция достигает наибольшего и наименьшего значений, называемых глобальными экстремумами функции в . Они достигаются либо во внутренних точках области (тогда это критические точки функции ), либо на границе (тогда это одни из точек, претендующих на условный экстремум функции ).

Схема поиска глобальных экстремумов:

· Найти критические точки функции , являющиеся внутренними точками области ;

· найти точки на границе области , «подозрительные» на условный экстремум функции

· вычислить значения функции в каждой из найденных точек;

· из полученных чисел выбрать наибольшее (обозначаемое или ) и наименьшее (обозначаемое или ).

 

П р и м е р 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

в области

Р е ш е н и е. Область изображена на рисунке.

 

у

3

 

х=0 у =3- х

О у =0 3 х

1) Найдем критические точки функции внутри области

2) Найдем критические точки сужения функции на границе

Поэтому откуда Следовательно,

3) Найдем критические точки сужения функции на границе

Поэтому откуда Следовательно,

4) Найдем критические точки сужения функции на границе

Так как , то . При этом Следовательно,

5) Вычислим функцию в точках и «угловых» точках границы:

 

Из полученных семи чисел выбираем наибольшее и наименьшее:

О т в е т: наибольшее значение функции в области равно 6 и достигается в точках наименьшее значение функции в области равно -1 и достигается в точке

 

ПРИМЕРЫ

Определить условные экстремумы функций:

1. при 2. при

3. при 4. при

5.. при 6. при

7. Из всех треугольников с одинаковым периметром определить тот, площадь которого наибольшая.

8. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике если

9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области и .

ОТВЕТЫ

 

 

1. при 2. при

3. при при

4. при 5. при при

6. при 7. Равносторонний треугольник со стороной

8. во всех точках отрезков и при

9. при при

§ 9. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

 

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

 

Рассмотрим функцию (или ), определенную в некоторой замкнутой области . Разобьем область какими-нибудь линиями на областей , которые могут пересекаться только по своим границам. Обозначим площадь области через . Тогда

, где - площадь области .

В каждой из областей выберем произвольным образом точку . Вычислим значение функции в точке .

Определение 1. Сумма вида

(1)

называется двойной интегральной суммой для функции в области . Число называется диаметром разбиения области на части.

Определение 2. Если существует конечный предел двойной интегральной суммы (1) при стремлении диаметра разбиения к нулю и этот предел не зависит ни от способа разбиения области на части, ни от выбора в них промежуточных точек , то этот предел называется двойным интегралом от функции по области , а сама функция называется интегрируемой в области .

Для двойного интеграла используется обозначение: . Тогда

. (2)

 

Теорема 1 (достаточное условие существования двойного интеграла).Пусть функция непрерывна в замкнутой области . Тогда она интегрируема на области и существует ее двойной интеграл по области .

Пусть функция непрерывна в области и

.

Тогда в формуле (1) слагаемое представляет собой с геометрической точки зрения объем цилиндрического тела с основанием , площадь которого , и высотой .

Двойная интегральная сумма (1), как сумма объемов указанных элементарных цилиндров, равна объему некоторого ступенчатого цилиндрического тела. Тогда предел (2) при (то есть ) совпадает с объемом тела, ограниченного снизу областью , сверху – поверхностью , сбоку - цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси , а направляющей служит граница области .

Замечание 1. Если непрерывная функция не сохраняет знак в области , то двойной интеграл с геометрической точки зрения есть алгебраическая сумма объемов, учитываемых с «+» или «-» в зависимости от того, лежит поверхность выше или ниже плоскости .

 

СВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

На двойные интегралы переносятся все основные свойства обыкновенного (однократного) определенного интеграла.

Свойство 1. Пусть функция интегрируема в области , где и пересекаются только по своим границам. Тогда функция интегрируема отдельно в и в , причем справедливо равенство:

.

Свойство 2. Если функции и интегрируемы в области , то в будут интегрируемы также следующие функции:

1) ;

2) , где ;

3) ;

4) ;

5) если .

При этом для функций 1) – 3) справедливы соотношения:

.

С в о й с т в о 3. Если функции и интегрируемы в области и , то справедливо неравенство:

.

С в о й с т в о 4. Если функция интегрируема в области и , то справедливо неравенство:

, если .

С в о й с т в о 5. , где - площадь области .

С в о й с т в о 6. , где - объем тела, ограниченного снизу областью , принадлежащей плоскости , сверху - поверхностью , сбоку - цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси , а направляющей служит граница области .

Свойство 7 (о среднем значении). Пусть функция непрерывна в области . Тогда найдется хотя бы одна точка , в которой выполняется равенство: .

З а м е ч а н и е 2. Если дополнительно , то с геометрической точки зрения из свойства 7 заключаем: двойной интеграл от функции по области равен объему некоторого цилиндра с основанием , высотой , где - определенная точка из , с образующими, параллельными оси и выходящими из точек границы области .