Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-08-11 | 252 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
О п р е д е л е н и е 1. Число называется пределом функции , где , в точке (или при стремлении точки к точке ), если для любого сколь угодно малого найдется такое число что для всех точек из , удовлетворяющих условию , справедливо неравенство:
Используется одно из обозначений:
или при
З а м е ч а н и е 1. В приведенном выше определении каким угодно способом, то есть по любой кривой, лежащей в и соединяющей точки и
С в о й с т в а п р е д е л а
С в о й с т в о 1. Если функция имеет предел в точке то этот предел единственный.
С в о й с т в о 2. Пусть функции и определены в некоторой окрестности точки и имеют конечные пределы в этой точке. Тогда в точке существуют пределы функций где в При этом имеют место равенства:
(1)
О п р е д е л е н и е 2. Число называется пределом функции , где , при , если для любого сколь угодно малого найдется такое число что при всех удовлетворяющих условию справедливо неравенство:
При этом используют одно из обозначений:
О п р е д е л е н и е 3. Говорят, что функция , где , имеет вточке предел, равный , если для любого сколь угодно большого найдется такое число что при всех удовлетворяющих условию справедливо неравенство:
При этом используют одно из обозначений:
П р и м е р 1. Вычислить предел:
Р е ш е н и е. Так как в данном примере
то по формуле (1) находим:
О т в е т:
П р и м е р 2. Вычислить предел:
Р е ш е н и е.
О т в е т:
П р и м е р 3. Вычислить предел:
Р е ш е н и е. а) Пусть по оси Тогда
и
б) Пусть по оси Тогда
и
Следовательно, при функция предела не имеет.
О т в е т: предел не существует.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
О п р е д е л е н и е 4. Функция , где , называется непрерывной в точке если в этой точке существует предел функции и он равен числу то есть выполняется равенство:
|
или
Часто используют другое определение, эквивалентное предыдущему.
О п р е д е л е н и е 5. Функция , где , называется непрерывной в точке если бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции то есть выполняется равенство:
где полное приращение функции в точке
О п р е д е л е н и е 6. Функция , где , называется непрерывной на множестве если она непрерывна в каждой точке
О п р е д е л е н и е 7. Если функция , где , не является непрерывной в точке то точка называется точкой разрыва функции
З а м е ч а н и е 1. Для функции нескольких переменных сохраняют силу теоремы о непрерывности элементарных функций, арифметических действиях над непрерывными функциями, теорема о непрерывности сложной функции, которые изучались ранее в теории функции одной переменной.
П р и м е р 4. Найти точки непрерывности и разрыва функции .
Р е ш е н и е. Функция определена во всех точках плоскости , кроме начала координат. Очевидно, если то справедливо равенство: Следовательно, функция непрерывна в любой точке области определения. Точка – точкой разрыва, т.к.
О т в е т: непрерывна в области ; точка разрыва.
П р и м е р 5. Найти точки разрыва функции .
Р е ш е н и е. Эта функция определена во всех точках плоскости за исключением точек единичной окружности с центром в начале координат. Любая точка области определения - точка непрерывности функции. Любая точка единичной окружности является точкой разрыва исходной функции. Действительно, если лежит на окружности , то есть , то справедливо равенство:
Поэтому окружность - линия разрыва функции.
О т в е т: все точки единичной окружности .
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!