Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2017-08-11 | 398 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Для примера рассмотрим функцию двух переменных , определенную в некоторой окрестности точки .
Пусть настолько малы, что
, .
О п р е д е л е н и е 8. Частным приращением по х функции в точке называется выражение:
О п р е д е л е н и е 9. Частным приращением по у функции в точке называется выражение:
О п р е д е л е н и е 10. Полным приращением функции в точке называется выражение:
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ
О п р е д е л е н и е 11. Частной производной по х функции в точке называется конечный предел отношения частного приращения к приращению при стремлении к нулю, если этот предел существует.
Используют обозначения: или
Следовательно, имеем:
О п р е д е л е н и е 12. Частной производной по у функции в точке называется конечный предел отношения частного приращения к приращению при стремлении к нулю, если этот предел существует.
Используют обозначения: или
Следовательно, имеем:
З а м е ч а н и е 2. Из определения частных производных вытекает метод их вычисления: чтобы найти нужно продифференцировать выражение по по считая величину (величину постоянной.
З а м е ч а н и е 3. Понятия частных приращений, полного приращения, частных производных для функции любого числа переменных вводятся аналогично.
З а м е ч а н и е 4. Процедура вычисления частных производных функции нескольких переменных сводится к вычислению обыкновенной производной этой функции по одной из переменных при условии, что остальные переменные выступают в роли параметров.
Отсюда следует, что правила вычисления частных производных совпадают с правилами, действующими для функции одной переменной. Однако требуется каждый раз помнить, по какой переменной вычисляется производная, а какие переменные при этом мысленно фиксируются.
|
П р и м е р 6. Для функции найти частные приращения и полное приращение в точке
Р е ш е н и е. Воспользовавшись определением, вычисляем в точке приращения функции :
Поэтому в точке находим:
О т в е т:
П р и м е р 7. Найти частные производные функции
(2)
и вычислить их значения в точке .
Р е ш е н и е. Считая в формуле (2) переменную постоянной, находим:
При нахождении считаем в формуле (2) переменную постоянной. Тогда находим:
Значения частных производных в точке вычислим, подставив в найденные выше формулы и
О т в е т:
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ
О п р е д е л е н и е 13. Функция называется дифференцируемой в точке , если в этой точке ее полное приращение представимо в виде:
(3)
где при и не зависят от
Т е о р е м а 1 (о связи дифференцируемости и непрерывности). Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.
Т е о р е м а 2 (о связи дифференцируемости с существованием частных производных). Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке она имеет частные производные по и которые равны, соответственно, А и В:
Т е о р е м а 3 (достаточное условие дифференцируемости). Если функция имеет в некоторой окрестности точки непрерывные частные производные по и то функция дифференцируема в точке и в формуле (3) имеем:
З а м е ч а н и е 5. В случае функции большего (чем два) числа переменных понятие дифференцируемой функции вводится аналогично. При этом естественным образом обобщаются свойства, отмеченные в теоремах 1-3.
О п р е д е л е н и е 14. Функция называется дифференцируемой в области , если она дифференцируема в любой его точке.
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Т е о р е м а 4. Пусть функции дифференцируемы в некоторой точке а функция дифференцируема в соответствующей точке Тогда сложная функция , как функция переменных и дифференцируема в точке и ее частные производные в этой точке вычисляются по формулам:
|
(4)
З а м е ч а н и е 6. Для случая функций большего (чем два) числа переменных формулы (4) обобщаются естественным образом. Например, если
где то имеют место аналогичные равенства:
П р и м е р 8. Вычислить если где
Р е ш е н и е. Находим:
Тогда по формулам вычисления частных производных сложной функции получаем:
О т в е т:
7. ПОЛНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ
Т е о р е м а 5. Пусть функции дифференцируемы в некоторой точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке Тогда сложная функция , как функция одной переменной , дифференцируема в точке и ее так называемая полная производная в этой точке вычисляется по формуле:
.
С л е д с т в и е. Пусть функция дифференцируема в некоторой точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке , где . Тогда сложная функция , как функция переменной , дифференцируема в точке и ее полная производная в этой точке вычисляется по формуле:
Пример 9. Найти полную производную , если и , .
Решение. В данном случае
, , , .
Поэтому, воспользовавшись формулой вычисления полной производной, находим:
Ответ:
П р и м е р 10. Найти (частную производную) и (полную производную), если где
Р е ш е н и е. Вычисляем:
Поэтому находим полную производную:
О т в е т:
8. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ
О п р е д е л е н и е 15. Полным дифференциалом функции в точке называется выражение вида:
(5)
где и независимые переменные.
З а м е ч а н и е 7 (свойство инвариантности формы полного дифференциала). Формула (5) справедлива и в случае, когда зависимые переменные.
Например, пусть , где независимые переменные. В этом случае полный дифференциал функции в точке , где вычисляется по формуле (5), причем
где
З а м е ч а н и е 8. Правила дифференцирования функции одной переменной сохраняют силу и для функции любого числа переменных. Например, от скольких бы аргументов не зависели функции и справедливы равенства:
З а м е ч а н и е 9. В точке с точностью до бесконечно малых слагаемых высшего порядка относительно можно приближенно считать: то есть
П р и м е р 11. Найти полный дифференциал функции
Р е ш е н и е. Предварительно находим: Тогда, воспользовавшись формулой (5), вычисляем
О т в е т:
|
Пример 12. Найти полный дифференциал функции
Решение. В данном случае , . Поэтому по формуле (5) находим: .
Ответ: .
П р и м е р 13. Вычислить приближенно число
Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию Пусть Тогда Вычисляем:
Следовательно, по свойству дифференциала верно приближенное равенство:
О т в е т:
|
|
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!