Простота» Природы, телеология и принцип наименьшего действия

Необходимо предварительно ознакомить читателя с широко используемыми в настоящее время в науке понятиями «простота», «красота», «целесообразность», а также принципами экономии, оптимальности в современном представлении. Эти аспекты наряду с золотыми «противоположностями» имеют непосредственное отношение к анализу деятельности сердца человека и млекопитающих, представленному нами в 2-4 главах.

В начале этого раздела в качестве своеобразного эпиграфа следовало бы привести слова лауреата Нобелевской премии Р. Фейнмана [187]: «Вы не найдете в природе ничего простого, все в ней перепутано и слито. А наша любознательность требует найти во всем этом простоту (отмечено нами. В.Ц.), требует, чтобы мы ставили вопросы, пытались ухватить суть вещей и понять их многоликость как возможный итог действия сравнительно небольшого количества, на все лады сочетающихся между собою». Эта мысль высказана выдающимся физиком полвека назад. Однако и в наши дни «простота» природы по-прежнему находится в центре внимания естественных наук. Стремление к простоте, ясности и универсальности всегда лежало в основе теоретического естествознания. С точки зрения диалектики сложность неотделима от простоты. Как считает российский философ Н.Ф. Овчинников [114, с. 328], «сложность природы не может быть понята в самой себе без того, чтобы человеческая мысль не нашла скрытую за ней простоту самой природы».

Математическая «простота» все чаще становится синонимом «красоты». В.М. Волькенштейн сформулировал признаки «красоты» в науке: 1) эстетическое впечатление возникает только в связи целесообразным, трудным преодолением; 2) красиво сведение сложного к простоте (отмечено нами. В.Ц.); 3) всякое математическое оформление научных достижений, если оно наглядно и гармонично, вызывает эстетическое наслаждение» [по 40, с. 35]. Академик Л.А. Арцимович предложил универсальное правило при оценке решения проблемы: «Самое правильное – самое простое». Сложность систем может быть представлена внешне весьма простыми математическими отношениями. Тем не менее, простая с виду математическая формула иногда вмещает в себя десятки страниц научного текста.

Вспомним, философские постулаты пифагоризма заключались в признании гармоничности, простоты и красоты всего сущего, начиная с Космоса и заканчивая микромиром. В подтверждение последнего признака можно было бы привести высказывания многих великих ученых (Платон, Н. Коперник, Г. Галилей, У. Гамильтон, В. Гейзенберг, М. Планк, А. Эйнштейн и др.). Среди многих выдающихся ученых нашего времени начинает преобладать представление о том, что красивые и гармоничные формулы и уравнения вызывают большее доверие к их достоверности, чем математические выражения, не обладающие этими достоинствами. В наши дни «простота» все чаще отождествляется с «красотой» представляемой теории (красиво сведение сложного к простоте). Академик А.Б. Мигдал (1911-1991) писал по этому поводу: «В физике последнего времени на первый план переместилось понятие красоты теории. Красота теории имеет в физике почти определяющее значение» [107]. Лауреат Нобелевской премии П. Дирак (1902-1984) также был убежден в том, что «физические законы должны обладать красотой» [56, с. 5]. Отметим, одной из главных задач нашей книги является показать математическую «красоту» и «простоту» структуры и организации сердца человека и млекопитающих.

Прежде чем обратиться к выявлению математической основы гармонии живых систем, следует рассмотреть некоторую аналогию между математикой, «простотой» и «красотой» природы. Многие столетия ученые самых различных областей знаний стремились представить установленные закономерности простыми формулами или простыми числовыми отношениями. На основе этих традиций и возник один из основных критериев истины – «простота», родились крылатые выражения: «Все гениальное – просто», «Природа стремится к простоте». Еще в 14 веке францисканский монах и философ У. Оккама (1285-1349) был убежден в том, что «чем ближе мы находимся к некоторой истине, тем проще оказываются законы, выражающие эту истину» [по 50, с. 140]. Ему же принадлежит утверждение: «То, что можно объяснить посредством меньшего, напрасно выражать посредством большего». В трактовке А. Эйнштейна это означает: «Все должно быть сделано настолько просто, насколько возможно, но не проще этого». Мысль о том, что «природа действует простейшим образом», т.е. наиболее экономно, принадлежит И. Бернулли (1667-1748). Это утверждение послужило источником многих научных идей и методических приемов. Отметим, однако, тезис «природа любит простоту» и в наши дни все еще оспаривается и подвергается сомнению среди части ученого сообщества. Но еще в начале 20 века великий французский математик А. Пуанкаре (1854-1912) писал по этому поводу: «…даже те, кто не верит более в простоту природы, принуждены поступать таким образом, как если бы они разделяли эту веру; обойти эту необходимость значило бы сделать невозможным всякое обобщение, а, следовательно, и всякую науку» [по 174, с. 275]. Ведь если не руководствоваться критерием простоты, то невозможно выбрать какое-либо теоретическое обобщение из множества различных вполне осуществимых обобщений. Иначе говоря, Пуанкаре утверждал, что во всех случаях надо исходить из гипотезы простоты природы. Поиск «простоты» в своей основе предполагает целенаправленный (телеологический) подход к изучаемому объекту. Таким образом, конечная цель научного исследования состоит в выявлении «простоты» там, где еще недавно царил хаос. Этот принцип построения физических теорий впоследствии стали называть «принципом простоты». Полученные при этом математические выражения отображают «простоту» и «красоту» Природы.

Современный анализ практически невозможен без использования математики, поскольку математика - наиболее эффективное средство для решения возникающих проблем. Не подлежит сомнению, что критерий истинной науки состоит в его отношении к математике. Выдающийся математик 20 века Г. Вейль писал по этому поводу: «В природе существует внутренне присущая ей скрытая гармония, отражающаяся в наших умах в виде простых (отмечено нами. В.Ц.) математических законов. Именно этим объясняется, почему природные явления удается предсказывать с помощью комбинации наблюдений и математического анализа. Сверх всяких ожиданий убеждение (я бы лучше сказал – мечта!) о существовании гармонии в природе находит все новые и новые подтверждения в истории физики» » [по 79, с. 399]. Вейль был уверен, что математика отражает порядок, существующий в природе. Ни один закон природы ученый не может «выдумать» – он лишь находит его в окружающем его мире. То же самое и в математике: математический закон ученый может найти лишь в природе. По мнению выдающегося физика Ю. Вигнера (1902-1995), «утверждение о том, что природа выражает свои законы на языке математики... в наши дни ...верно более чем когда–либо» [33, с. 192]. Важнейшая особенность математики состоит в том, что с древнейших времен и до наших дней развитие ее понятий и методов исходит из опыта. М. Клайн по этому поводу пишет: «Математические понятия и аксиомы берут свое начало из наблюдений реального мира (отмечено нами. В.Ц.)» [79, с. 378]. За много веков человек создал такие великие построения, как евклидова геометрия, птоломеева система мира, механика Ньютона, теория электромагнитного поля, теория относительности, квантовая теория. Математика является неотъемлемой частью всех этих и многих других теорий, их основой и сущностью, инструментом науки, который сложное и многообразное делает простым и единообразным. Важнейшая роль математики заключается в том, что она «…выполняет миссию посредника между человеком и природой» [79, с. 383]. Об эффективности математики в естественных науках при описании природы высказывались многие выдающиеся физики и математики: А. Пуанкаре, А. Эйнштейн, Г.Вейль, В. Гейзенберг, П. Дирак, Э. Шредингер и многие другие.

Возникает вопрос, что же могло обусловить столь тесную связь реальных физических объектов с формулами и теориями абстрактной математики? По-видимому, те принципы, которые были заложены в качестве исходных при возникновении и развитии математики. Начало возникновения математики скрыто в глубине тысячелетий. Казалось бы, невозможно установить те исходные принципы, которые составили общую исходную методическую основу математики. Определенные истоки понимания этого содержатся в книге М. Клайна [79, с. 48]: «…у греков, начиная с 6 в. до н. э., сложилось определенное миропонимание, сущность которого сводится к следующему. Природа устроена рационально, а все явления протекают по точному и неизменному плану, который, в конечном счете, является математическим». Из этой цитаты видно, что древними математиками в качестве исходной была принята телеологическая гипотеза о рациональном, целесообразном устройстве мира. Тем самым, они как бы заложили тысячелетний опыт по проверке результативности телеологического принципа (принципа о целесообразном устройстве мира) в развитии науки. Утверждая телеологичность математики, П. Дирак отмечал глубинную связь математики и физики: «Математик играет в игру, правила которой он изобрел сам, а физик – где их изобретает Природа, но постепенно становится все более очевидным, что правила, которые математика считает интересными, совпадают с теми, что задает природа» [56]. В основе такого подхода к объекту лежит предположение, что цель есть «разумный акт», осуществляемый в Природе ее объективными силами. Учение о целях получило обозначение «Телеология». В той мере, в какой цель есть несомненно существующий факт, телеология несомненно имеет научное значение, представляя собой объяснение этого факта. Наш современник академик Н.Н. Моисеев писал по этому поводу: «…Общей закономерностью у сознательного целеполагания и несознательного функционирования самоуправляемой системы любой природы является направленность к достижению определенного результата» [108, с. 80]. Согласно телеологическому подходу любая живая система в течение своей эволюции имеет свою цель (совершенство). Многие современные биологи до сих пор несколько пренебрежительно относятся к телеологии. Тем не менее, широко известно шутливое утверждение: «Телеология - дама, без которой не может прожить ни один биолог, но с которой он, однако, стыдится появляться в обществе».

В настоящее время основу целенаправленного подхода к объекту составляют экстремальные принципы. Следует вспомнить при этом, что аспекты экстремальности привлекали внимание математиков с древних времен. Например, пифагорейцы обращали особое внимание на уникальные геометрические объекты – круг (окружность) и шар (сфера). Круг является единственной фигурой, у которой максимум площади имеет место при минимальном периметре; шар имеет максимум объема при минимальной поверхности. Идея экстремальности свойств геометрических объектов в дальнейшем нашла свое отражение в поисках и выявлении общих принципов экстремальности в механике и различных разделах физики. По мнению И.А. Ассеева [5, с. 215], «наука только тогда достигает теоретического уровня развития, когда начинает активно использовать экстремальные (отмечено нами. В.Ц.) принципы для формулировки своих основных теоретических положений и на этой основе широко применять экстремальные математические методы». Справедливость этого утверждения подтверждается историей механики и физики – наук, достигших наиболее высокого развития, а также успехами в построении теоретической кибернетики и биологии. Проблема выявления экстремальных принципов и законов расхода энергии движущимися объектами уходит своими корнями в далекое прошлое. Впервые эффект экстремальности был установлен французским математиком Ферма (1601-1665). Было установлено, что луч света всегда распространяется в пространстве между двумя точками по тому пути, по которому время его прохождения меньше, чем по любому из всех других путей, соединяющих эти точки. Из всех возможных луч «выбирает» такую траекторию, при которой время движения минимально. Этот феномен в дальнейшем получил название - принцип Ферма. Принцип Ферма является исходным принципом геометрической оптики. Как отмечено Д.В. Сивухиным [145, с. 47], при обосновании этого принципа «Ферма руководствовался телеологическими соображениями, согласно которым природа действует целенаправленно, она не может быть расточительной и должна достигать своих целей с наименьшими (отмечено нами. В.Ц.) затратами средств». Ученые 18 века были убеждены в том, совершенная Вселенная не терпит напрасных затрат и поэтому каждое действие природы должно быть наименьшим из всех возможных. В 1740 г. французский ученый П. Мопертьюи (1698-1759) при анализе траекторий движения планет установил принцип наименьшего действия (ПНД). Этот принцип был сформулирован следующим образом: «Количество действия, необходимое для того, чтобы произвести некоторое изменение в природе, является наименьшим возможным» [110, с. 5]. (Величина «действия» выражается произведением энергии на время). Величайший математик 18 века Л. Эйлер (1707-1783) в 1744 г. преобразовал принцип наименьшего действия в принцип экстремального действия, который имеет два принципиально различающихся решения: минимальное и максимальное. Дальнейшее прогрессивное развитие экстремального принципа в физике в приложении не к отдельным точкам, а к системам принадлежит Ж. Лагранжу (1736-1813). Принцип наименьшего действия по существу стал центральным принципом вариационного исчисления – новой области математического анализа, основателем которого стал Лагранж, опирающийся на труды Эйлера. Из обобщенного принципа наименьшего действия удалось получить решение многих задач механики. Впоследствии было показано, что разработки Лагранжа имеют отношение только к классической механике и не пригодны для использования в других разделах физики. Последующие усовершенствования понимания принципа наименьшего действия и математического его выражения были выполнены ирландским ученым У.Р. Гамильтоном (1805-1865). Гамильтон одним из первых обнаружил близость по своей сущности принципа наименьшего действия принципу Ферма. На основе представлений о единстве мира, о красоте и гармонии природы  он связывал этот принцип с общим методом Лагранжа в теоретической физике, подчеркивая особую важность этого метода. Формулировку принципа наименьшего действия Гамильтон дает в вариационной форме, исходя из представлений об экстремумах, подобно своим предшественникам – Эйлеру и Лагранжу. Наиболее точно и понятно принцип наименьшего действия, отображенный в уравнениях Гамильтона, выразил А. Пуанкаре [125, с. 103]: «Все перемены, какие могут происходить с телами природы, управляются двумя экспериментальными законами: 1) сумма кинетической и потенциальной энергии не меняются. Это принцип сохранения энергии; 2) если система тел в момент t₀ имеет конфигурацию А, а в момент t₁ конфигурацию В, то переход от первой конфигурации ко второй всегда совершается таким путем, что среднее значение разности между двумя видами энергии за промежуток времени от…до является величиной самой малой из всех возможных».

Следует отметить, что в математическом отношении уравнения Лагранжа и Гамильтона представляются тождественными, но по физической сущности они принципиально различаются. Уравнение Гамильтона, отобразившее наиболее полно принцип наименьшего действия, обеспечило возможность успешного использования его не только в классической механике, но и в других разделах физики. Экстремальные принципы поражают не только своей общностью, но ифундаментальной ролью в построении различных разделов теоретического естествознания и, особенно, теоретической физики. В наши дни особая важность принципа наименьшего действия для теоретической физики уже не вызывает сомнений. Исходными положениями основных разделов физики являются экстремальные принципы, которые надежно установлены на основе эмпирических обобщений и математического анализа. Лауреат Нобелевской премии М. Борн (1882-1970) отмечал, что «свойства минимальности мы встречаем во всех разделах физики и они являются не только верными, но и крайне целесообразными…для формулировки физических законов» [22, с. 113]. Ниже представлено основополагающее «присутствие» принципа наименьшего действия в основных разделах современной физики.

Возникновение специальной и общей теории относительности явилось важнейшим этапом развития теоретической физики. Теория относительности выявила ограниченность основных исходных положений классической механики. Исключение составил принцип наименьшего действия в форме Гамильтона. В основном уравнении геометродинамики – уравнение Эйнштейна – Гамильтона – Якоби [178] - в неявном виде отображен принцип наименьшего действия. В общей теории относительности 4-мерная симметрия пространства-времени остается в силе. Эта симметрия, выполняющая очень важную роль в теории относительности, находится в согласии с принципом наименьшего действия. В связи с этим величина действия является наиболее универсальной величиной, характеризующей одновременное изменение системы в пространстве-времени.

Уравнения Гамильтона имеют отношение и к другим разделам физики. «Основные уравнения квантовой электродинамики – уравнения Дирака и Паули содержат гамильтониан» [14, с. 150]. Аналитически величину неопределенности законом неопределенности Гейзенберга также удалось выразить на основе уравнения Гамильтона. В основные уравнения квантовой механики – уравнения Шредингера – гамильтониан входит в виде оператора [96]. В качестве основы исходного уравнения Шредингера использована волновая функция классической оптики (выводимая из принципа Ферма), в которую введен в качестве оператора гамильтониан. Рассматривая развитие физических представлений в квантовой механике, П. Дирак отмечает: «Интересно, однако, что квантовое состояние не просто соответствует классическому состоянию. Оно соответствует целому набору классических состояний, связанных друг с другом особым математическим способом…Каждое квантовое состояние отвечает одному из гамильтоновых семейств классических состояний» [56, с. 72]. Заметим, что квант действия – постоянная Планка - имеет ту же размерность, что и величина «действие» по принципу наименьшего действия.

Макроэлектродинамическая теория Максвелла не содержит в явном виде подобных принципов, но она также по существу феноменальна. Связь макроэлектродинамических уравнений Максвелла и Гамильтона показана Д. Тер Хааром [182]. Все основные аналитические зависимости и законы геометрической оптики выводятся из принципа Ферма, согласно которому луч света, распространяясь из одной точки в другую, проходит траекторию, соответствующую наименьшему времени прохождения. Принцип Ферма по своей сущности тождественен принципу наименьшего действия [97]. Закон электромагнитной инерции Ленца также можно рассматривать как принцип минимизации перехода магнитной энергии в электрическую энергию и наоборот. В этом отношении он явно тождественен принципу наименьшего действия, которым определяется минимизация перехода в механических процессах потенциальной энергии в кинетическую и наоборот [141].

Принцип наименьшего действия широко используется в современной физике и системном анализе. Всеобщность и универсальность принципа наименьшего действия для физики заключается в том, что он является вариационным принципом. Сложность объяснения «присутствия» экстремальных принципов в природе состоит в том, что их невозможно вывести из более общих принципов и законов, так как в общей формулировке они сами являются предельно общими. Все попытки вывести экстремальные принципы из физических законов и принципов оказались несостоятельными. Отметим, принцип наименьшего действия дает полную физическую характеристику движения системы, в то время как закон сохранения и превращения энергии рассматривает протекание явлений во времени. С математической точки зрения неодинаковое значение обоих принципов состоит в том, что принцип сохранения, применяемый к конкретному случаю, дает только одно уравнение. Тогда как для полного изучения необходимо столько уравнений, сколько имеется независимых координат. Принцип наименьшего действия в каждом конкретном случае дает как раз столько уравнений, сколько имеется независимых координат.

Наконец, мы можем обратить внимание читателя на «присутствие» принципа экстремальности в биологии. По мнению М. Планка (1858-1947), «принцип наименьшего действия в понятие причинности вводит совершенно новую мысль: к causa efficients – причине, которая действует из настоящего в будущее и представляет более поздние обстоятельства как обусловленные прежними, добавляет causa finalis, которая, напротив, делает предпосылкой будущее, а именно определенно направленную цель, а отсюда выводит течение процессов, ведущих к этой цели». «Развитие физики, отмечает далее Планк, привело к формулировкам, имеющим выраженный телеологический (отмечено нами. В. Ц.) характер. Но это не внесло ничего нового или противоположного в закономерности природы. Просто речь идет о другой по форме, а по сути дела совершенно равноправной точке зрения» [305, S. 25]. Планк пришел к обобщающему выводу о том, что «…высшим физическим законом, венцом всей системы является …принцип наименьшего действия» [120, с. 68]. Можно сказать, что все энергетические принципы, составляющие основу физики, по своей сущности являются природными механизмами энергоэкономности. И. Пригожин [123] показал, что для объяснения физических основ жизни не требуется создания новой физики с введением новых констант, как это потребовалось при создании механики микромира. Пригожин отмечал, что «классическая или квантовая физика описывает мир как обратимый и статичный» [124, с. 8]. Поскольку биология объясняет эволюцию мира живой природы, нельзя говорить об обратимости эволюционных процессов в организме. По мнению известного биофизика А.А. Блюменфельда (1921-2002), «проблемы, возникающие при рассмотрении упорядоченности биологических структур, ее создания и эволюции, не лежат в области физики», поскольку «физика не претендует на объяснение природы...(она) пытается объяснить лишь закономерности в поведении различных объектов» [16, с. 45]. Биология сводима к физике лишь в том смысле, что физические законы раскрывают основу энергетики биологических процессов. Добавим, что перенесение из физики в биологию экстремальных (оптимальных) принципов, связанных с энергией, позволило использовать в этой науке экстремальные математические методы. Заложенные в них идеи «простоты», оптимальности и экономии энергии как нельзя лучше соответствуют давнему представлению о совершенстве и целесообразности живой природы. В 2, 3 и 4 главах нами будут представлены внешне «простые» математические формулы, которые отражают гармонию «противоположностей», энергооптимальность и экономию строительного вещества в сердечных системах сердца человека и млекопитающих.